1 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες Συνάρτησης
1.1 Μονοτονία Συνάρτησης
1.1.1 Ορισμοί
Ορισμοί
Γνησίως αύξουσα συνάρτηση: Μια συνάρτηση \(f\) λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \(\Delta\) του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε \(x_1, x_2 \in \Delta\) με \(x_1 < x_2\) ισχύει \(f(x_1) < f(x_2)\).
Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ γράφουμε \(f \mathrel{\substack{\uparrow \\[-0.6ex] \wedge}} Δ\).
Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση: Μια συνάρτηση \(f\) λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα \(\Delta\) του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε \(x_1, x_2 \in \Delta\) με \(x_1 < x_2\) ισχύει \(f(x_1) > f(x_2)\).
Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση ƒ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ γράφουμε \(f \mathrel{\substack{\vee \\[-0.6ex] \downarrow}} \Delta\).
- Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα \(\Delta\) ονομάζεται γνησίως μονότονη στο \(\Delta\).
1.1.2 Παραδείγματα
Παράδειγμα 1 (Γνησίως αύξουσα):
Έστω η συνάρτηση \(f(x) = 2x - 3\) στο \(\mathbb{R}\).
Για οποιαδήποτε \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) με \(x_1 < x_2\), έχουμε: \[x_1 < x_2 \implies 2x_1 < 2x_2 \implies 2x_1 - 3 < 2x_2 - 3 \implies f(x_1) < f(x_2)\]
Άρα, η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
Παράδειγμα 2 (Γνησίως φθίνουσα):
Έστω η συνάρτηση \(g(x) = -2x + 5\) στο \(\mathbb{R}\).
Για οποιαδήποτε \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) με \(x_1 < x_2\), έχουμε: \[x_1 < x_2 \implies -2x_1 > -2x_2 \implies -2x_1 + 5 > -2x_2 + 5 \implies g(x_1) > g(x_2)\]
Άρα, η \(g\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\).
1.1.3 Μονοτονία της συνάρτησης \(f(x) = \alpha x + \beta\)
Για τη γραμμική συνάρτηση \(f(x) = \alpha x + \beta\) με \(\alpha \neq 0\):
Αλλάξτε την τιμή των α και β από τους αντίστοιχους δρομείς
Αν \(\alpha > 0\): Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
Αν \(\alpha < 0\): Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\).
1.2 Ελάχιστο και Μέγιστο Συνάρτησης (Ακρότατα)
1.2.1 Ορισμοί
Ορισμοί
(Ολικό) Ελάχιστο: Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(A\), λέμε ότι παρουσιάζει στο \(x_0 \in A\) (ολικό) ελάχιστο όταν ισχύει \(f(x) \ge f(x_0)\) για κάθε \(x \in A\). Το \(x_0\) ονομάζεται θέση ελαχίστου, ενώ η τιμή \(f(x_0)\) ονομάζεται ολικό ελάχιστο ή ελάχιστο της \(f\) (\(\min f(x)\)).
(Ολικό) Μέγιστο: Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(A\), λέμε ότι παρουσιάζει στο \(x_0 \in A\) (ολικό) μέγιστο όταν ισχύει \(f(x) \le f(x_0)\) για κάθε \(x \in A\). Το \(x_0\) ονομάζεται θέση μεγίστου, ενώ η τιμή \(f(x_0)\) ονομάζεται ολικό μέγιστο ή μέγιστο της \(f\) (\(\max f(x)\)).
Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης ονομάζονται ολικά ακρότατα της συνάρτησης.
1.2.2 Παραδείγματα Συναρτήσεων
- Συνάρτηση με μόνο ελάχιστο: Η \(f(x) = x^2\) στο \(\mathbb{R}\) παρουσιάζει ελάχιστο στο \(x_0 = 0\), το \(f(0) = 0\), αφού \(x^2 \ge 0 = f(0)\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Δεν παρουσιάζει μέγιστο.
- Συνάρτηση με μόνο μέγιστο: Η \(g(x) = -x^2 + 1\) στο \(\mathbb{R}\) παρουσιάζει μέγιστο στο \(x_0 = 0\), το \(g(0) = 1\), αφού \(-x^2 + 1 \le 1 = g(0)\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Δεν παρουσιάζει ελάχιστο.
- Συνάρτηση με μέγιστο και τοπικό ελάχιστο: \(y=-x^4+x^2+3\)
- Συνάρτηση που δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο: Η ευθεία \(k(x) = 3x + 2\) στο \(\mathbb{R}\) είναι γνησίως αύξουσα σε ανοικτό πεδίο ορισμού και δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
1.3 Για να έχει μια πολυωνυμική συνάρτηση και μέγιστο και ελάχιστο,
διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το πεδίο ορισμού της και το αν αναφερόμαστε σε ολικά ή τοπικά ακρότατα:
1.3.1 Ολικά Ακρότατα (σε Κλειστό Διάστημα)
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \(\mathbb{R}\) (ανοικτό πεδίο ορισμού), καμία πολυωνυμική συνάρτηση δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο:
Οι περιττού βαθμού (π.χ. \(f(x)=x^3\)) τείνουν στο \(+\infty\) και στο \(-\infty\), οπότε δεν έχουν κανένα ολικό ακρότατο.
Οι άρτιου βαθμού (π.χ. \(f(x)=x^2\)) έχουν μόνο ολικό ελάχιστο (αν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι θετικός) ή μόνο ολικό μέγιστο (αν είναι αρνητικός).
Όμως, αν περιορίσουμε το πεδίο ορισμού σε ένα κλειστό διάστημα \([\alpha, \beta]\), τότε η συνάρτηση αποκτά και ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο.
1.3.2 Παραδείγματα
Παράδειγμα 1 (Πολυώνυμο 2ου Βαθμού σε Κλειστό Διάστημα)
Έστω η συνάρτηση: \[f(x) = x^2 \quad \text{με πεδίο ορισμού } A = [-1, 2]\]
Ελάχιστο: Επειδή \(x^2 \ge 0\) για κάθε \(x \in [-1, 2]\) και \(f(0) = 0\), η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση \(x_0 = 0\), το \(\min f(x) = f(0) = 0\).
Μέγιστο: Για τις τιμές του διαστήματος \([-1, 2]\), η μεγαλύτερη τιμή προκύπτει στο δεξί άκρο \(x = 2\), όπου \(f(2) = 2^2 = 4\). Επειδή \(f(x) \le 4\) για κάθε \(x \in [-1, 2]\), η \(f\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση \(x_0 = 2\), το \(\max f(x) = f(2) = 4\).
Παράδειγμα 2 (Γραμμικό Πολυώνυμο σε Κλειστό Διάστημα)
Έστω η συνάρτηση: \[g(x) = 2x + 1 \quad \text{με πεδίο ορισμού } A =\left[1,5\right]\]
Ελάχιστο: Στο αριστερό άκρο \(x = 1\), έχουμε \(g(1) = 3\), άρα \(\min g(x) = g(1) = 3\).
Μέγιστο: Στο δεξί άκρο \(x = 5\), έχουμε \(g(5) = 11\), άρα \(\max g(x) = g(5) = 11\).
1.3.3 Τοπικά Ακρότατα (στο \(\mathbb{R}\))
Αν αναφερόμαστε σε τοπικά ακρότατα (δηλαδή ακρότατα σε περιοχές του πεδίου ορισμού στο \(\mathbb{R}\)), τότε ένα πολυώνυμο 3ου βαθμού (ή ανώτερου) μπορεί να παρουσιάζει και τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο.
Παράδειγμα 3 (Πολυώνυμο 3ου Βαθμού στο \(\mathbb{R}\))
Έστω η συνάρτηση: \[h(x) = x^3 - 3x \quad \text{με πεδίο ορισμού } A = \mathbb{R}\]
Τοπικό Μέγιστο: Παρουσιάζει στο \(x_0 = -1\) με τιμή \(h(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2\).
Τοπικό Ελάχιστο: Παρουσιάζει στο \(x_0 = 1\) με τιμή \(h(1) = 1^3 - 3(1) = -2\).
1.4 Η εύρεση των ακροτάτων
(ολικού μεγίστου και ολικού ελάχιστου) μιας συνάρτησης γίνεται είτε με γραφικό τρόπο (μέσω της μελέτης της γραφικής της παράστασης) είτε με αλγεβρικό τρόπο (με τη βοήθεια αλγεβρικών προσαρμογών και ανισοτήτων).
1.4.1 Γραφικός Τρόπος Ευρέσεως Ακροτάτων
Στον γραφικό τρόπο, παρατηρούμε τη γραφική παράσταση \(C_f\) της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της:
Ολικό Ελάχιστο: Αναζητούμε το χαμηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης. Αν το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες \((x_0, y_0)\), τότε η θέση ελαχίστου είναι το \(x_0\) και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι το \(y_0 = f(x_0)\), διότι \(f(x) \ge f(x_0)\) για κάθε \(x \in A\).
Ολικό Μέγιστο: Αναζητούμε το ψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης. Αν το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες \((x_1, y_1)\), τότε η θέση μεγίστου είναι το \(x_1\) και η μέγιστη τιμή είναι το \(y_1 = f(x_1)\), διότι \(f(x) \le f(x_1)\) για κάθε \(x \in A\).
Παράδειγμα Γραφικής Ανάγνωσης
Έστω η συνάρτηση \(f(x) = -x^2 + 4x - 1\) ορισμένη στο κλειστό διάστημα \(A =\left[0,4\right]\).
Σχεδιάζοντας τη παραβολή, η κορυφή της βρίσκεται στο σημείο \(A(2, 3)\), το οποίο είναι το ψηλότερο σημείο της καμπύλης στο \(A\). Συνεπώς, η \(f\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση \(x_0 = 2\), με μέγιστη τιμή \(f(2) = 3\).
Στα άκρα του διαστήματος \(x = 0\) και \(x = 4\), η συνάρτηση παίρνει την τιμή \(f(0) = f(4) = -1\), που αντιστοιχεί στα χαμηλότερα σημεία της γραφικής παράστασης στα \(B\) και \(Γ\). Συνεπώς, η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στις θέσεις \(x = 0\) και \(x = 4\), με ελάχιστη τιμή \(\min f(x) = -1\).
1.4.2 Αλγεβρικός Τρόπος Ευρέσεως Ακροτάτων
Στον αλγεβρικό τρόπο, χρησιμοποιούμε γνωστές ανισοτικές ιδιότητες (όπως \(x^2 \ge 0\) ή \(|x| \ge 0\)) για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση φράσσεται από μία σταθερή τιμή.
Α) Μέθοδος Συμπλήρωσης Τετραγώνου (για Δευτεροβάθμιες Συναρτήσεις)
Κάθε συνάρτηση της μορφής \(f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma\) με \(\alpha \neq 0\) μετασχηματίζεται στη μορφή: \[f(x) = \alpha \left( x + \frac{\beta}{2\alpha} \right)^2 - \frac{\Delta}{4\alpha}\]
Αν \(\alpha > 0\): Επειδή \(\left( x + \dfrac{\beta}{2\alpha} \right)^2 \ge 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), προκύπτει ότι \(f(x) \ge -\dfrac{\Delta}{4\alpha}\).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση \(x_0 = -\dfrac{\beta}{2\alpha}\), με ελάχιστη τιμή \(f(x_0) = -\dfrac{\Delta}{4\alpha}\).
Αν \(\alpha < 0\): Επειδή \(\alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2\alpha} \right)^2 \le 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), προκύπτει ότι \(f(x) \le -\dfrac{\Delta}{4\alpha}\). Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση \(x_0 = -\dfrac{\beta}{2\alpha}\), με μέγιστη τιμή \(f(x_0) = -\dfrac{\Delta}{4\alpha}\).
Αναλυτικό Αλγεβρικό Παράδειγμα
Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης \(f(x) = x^2 - 6x + 10\) στο \(\mathbb{R}\).
Λύση:
Μετασχηματίζουμε τον τύπο της συνάρτησης συμπληρώνοντας το τετράγωνο: \[f(x) = x^2 - 6x + 9 + 1 = (x - 3)^2 + 1\]
Για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει: \[(x - 3)^2 \ge 0 \implies (x - 3)^2 + 1 \ge 1 \implies f(x) \ge 1\]
Επειδή για \(x_0 = 3\) έχουμε \(f(3) = (3 - 3)^2 + 1 = 1\), ισχύει \(f(x) \ge f(3)\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Συνεπώς, η \(f\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση \(x_0 = 3\), το \(\min f(x) = f(3) = 1\).
1.5 Άρτια και Περιττή Συνάρτηση - Συμμετρίες
1.5.1 Άρτια Συνάρτηση
Ορισμός
- Μια συνάρτηση \(f\), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο \(A\), λέγεται άρτια, όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(-x \in A\) (το \(A\) είναι συμμετρικό ως προς το \(0\)) και \(f(-x) = f(x)\).
Συμμετρία: Η γραφική παράσταση \(C_f\) μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα \(y'y\).
Παράδειγμα: Η συνάρτηση \(f(x) = x^4 - 2x^2\) με \(A = \mathbb{R}\) είναι άρτια, διότι: \[f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)\]
Συνεπώς, η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα \(y'y\).
1.5.2 Περιττή Συνάρτηση
Ορισμός
- Μια συνάρτηση \(f\), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο \(A\), λέγεται περιττή, όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(-x \in A\) και \(f(-x) = -f(x)\).
Συμμετρία: Η γραφική παράσταση \(C_f\) μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\).
Παράδειγμα: Η συνάρτηση \(g(x) = 2x^3 - 5x\) με \(A = \mathbb{R}\) είναι περιττή, διότι: \[g(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) = -2x^3 + 5x = -(2x^3 - 5x) = -g(x)\]
Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το \(O(0,0)\).
1.6 Ασκήσεις και Προβλήματα
1.6.1 Θέμα Α: Μονοτονία Συνάρτησης
Να εξεταστούν ως προς τη μονοτονία στο \(\mathbb{R}\) οι συναρτήσεις: \[\text{α) } f(x) = 4x - 5, \quad \text{β) } g(x) = 3 - 2x\]
Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης \(f(x) = 3x^2 + 2\) στο διάστημα \([0, +\infty)\) και στο \((-\infty, 0]\).
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0, +\infty)\) και στο \((-\infty, 0)\).
- Εκφώνηση
Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου \(\lambda \in \mathbb{R}\) ώστε η συνάρτηση \(f(x) = (2\lambda - 6)x + 1\) να είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\).
Λύση
Η συνάρτηση είναι της μορφής: \[f(x) = \alpha x + \beta\] όπου \(\alpha = 2\lambda - 6\) και \(\beta = 1\).
Συνθήκη Μονοτονίας
Μια γραμμική συνάρτηση \(f(x) = \alpha x + \beta\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\) αν και μόνο αν ο συντελεστής διεύθυνσης \(\alpha\) είναι αρνητικός: \[\alpha < 0\]
Επίλυση Ανίσωσης
Εφαρμόζουμε τη συνθήκη για \(\alpha = 2\lambda - 6\): \[2\lambda - 6 < 0\]
Προσθέτουμε το \(6\) και στα δύο μέλη: \[2\lambda < 6\]
Διαιρούμε με το \(2\) (καθώς \(2 > 0\), η φορά της ανίσωσης παραμένει ίδια): \[\lambda < 3\]
Απάντηση
Οι τιμές της παραμέτρου \(\lambda \in \mathbb{R}\) ώστε η συνάρτηση να είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\) είναι: \[\lambda < 3 \quad \text{ή} \quad \lambda \in (-\infty, 3)\]
- Εκφώνηση
Να εξεταστεί η μονοτονία της συνάρτησης \(f(x) = 2x + |x - 1|\) στα διαστήματα \((-\infty, 1]\) και \([1, +\infty)\).
Λύση
Για να εξετάσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης: \[f(x) = 2x + |x - 1|\] απαλείφουμε αρχικά την απόλυτη τιμή με βάση το πρόσημο της παράστασης \(x - 1\).
Από τον ορισμό της απόλυτης τιμής: \[|x - 1| = \begin{cases} -(x - 1) = -x + 1, & \text{αν } x \le 1 \\ x - 1, & \text{αν } x \ge 1 \end{cases}\]
1. Στο διάστημα \((-\infty, 1]\)
Για κάθε \(x \in (-\infty, 1]\), ισχύει \(x - 1 \le 0\), επομένως: \[f(x) = 2x - (x - 1) = 2x - x + 1 = x + 1\]
Η συνάρτηση είναι γραμμική της μορφής \(f(x) = \alpha x + \beta\) με κλίση: \[\alpha = 1 > 0\]
- Συμπέρασμα: Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((-\infty, 1]\).
(Εναλλακτικά με τον ορισμό: Για \(x_1, x_2 \in (-\infty, 1]\) με \(x_1 < x_2 \implies x_1 + 1 < x_2 + 1 \implies f(x_1) < f(x_2)\)).
2. Στο διάστημα \([1, +\infty)\)
Για κάθε \(x \in [1, +\infty)\), ισχύει \(x - 1 \ge 0\), επομένως: \[f(x) = 2x + (x - 1) = 3x - 1\]
Η συνάρτηση είναι γραμμική της μορφής \(f(x) = \alpha x + \beta\) με κλίση: \[\alpha = 3 > 0\]
- Συμπέρασμα: Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([1, +\infty)\).
(Εναλλακτικά με τον ορισμό: Για \(x_1, x_2 \in [1, +\infty)\) με \(x_1 < x_2 \implies 3x_1 < 3x_2 \implies 3x_1 - 1 < 3x_2 - 1 \implies f(x_1) < f(x_2)\)).
Τελικό Συμπέρασμα
Στο διάστημα \((-\infty, 1]\), η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
Στο διάστημα \([1, +\infty)\), η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
(Σημείωση: Επειδή η \(f\) είναι συνεχής στο \(x = 1\) με \(f(1) = 2\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ολόκληρο το \(\mathbb{R}\)).
1.6.2 Θέμα Β: Ακρότατα Συνάρτησης
Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) της συνάρτησης \(f(x) = 2x^2 + 5\) στο \(\mathbb{R}\).
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση \(g(x) = -3x^2 + 6x - 1\) παρουσιάζει μέγιστο για \(x = 1\), το οποίο και να υπολογιστεί.
Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης \(h(x) = 3x - 4\) όταν
- α. \(x \in \left(-\infty,3\right]\).
- β. \(x \in \left[1,4\right)\)
- γ. \(x \in \left[-1,2\right]\)
- δ. \(x \in \left[-2,+\infty\right)\)
- Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση \(f(x) = |x - 3| + 2\) παρουσιάζει ελάχιστο, ορίζοντας τη θέση και την τιμή του ελαχίστου.
- Εκφώνηση
Να εξεταστεί αν η συνάρτηση \(f(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}\) παρουσιάζει μέγιστο στο \(\mathbb{R}\).
Λύση
Ορισμός Μέγιστου Συνάρτησης
Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(A\) παρουσιάζει στο σημείο \(x_0 \in A\) μέγιστο (ολικό μέγιστο) το \(f(x_0)\), αν για κάθε \(x \in A\) ισχύει: \[f(x) \le f(x_0)\]
Πεδίο Ορισμού
Επειδή \(x^2 \ge 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), έχουμε: \[x^2 + 1 \ge 1 > 0 \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}\]
Επομένως, ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται ποτέ και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: \[A = \mathbb{R}\]
Εύρεση της Μέγιστης Τιμής
Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x \in \mathbb{R}\), ισχύει: \[x^2 \ge 0\]
Προσθέτουμε το \(1\) και στα δύο μέλη: \[x^2 + 1 \ge 1\]
Επειδή και τα δύο μέλη είναι θετικά, αντιστρέφοντας τους όρους αλλάζει η φορά της ανισότητας: \[\frac{1}{x^2 + 1} \le \frac{1}{1} = 1\]
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον θετικό αριθμό \(2\): \[\frac{2}{x^2 + 1} \le 2\]
Δηλαδή, για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει: \[f(x) \le 2 \quad (1)\]
Έλεγχος αν η τιμή επιτυγχάνεται στο \(\mathbb{R}\)
Ελέγχουμε αν υπάρχει \(x_0 \in \mathbb{R}\) τέτοιο ώστε \(f(x_0) = 2\): \[f(x_0) = 2 \iff \frac{2}{x_0^2 + 1} = 2 \iff x_0^2 + 1 = 1 \iff x_0^2 = 0 \iff x_0 = 0\]
Πράγματι, για \(x_0 = 0 \in \mathbb{R}\), έχουμε: \[f(0) = \frac{2}{0^2 + 1} = 2\]
Συμπέρασμα
Επειδή:
\(f(x) \le 2\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\)
\(f(0) = 2\)
σύμφωνα με τον ορισμό, η συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο \(x_0 = 0\), με μέγιστη τιμή το \(M = 2\).
1.6.3 Θέμα Γ: Άρτιες & Περιττές Συναρτήσεις - Συμμετρίες
Να εξεταστεί αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: \[\text{α) } f(x) = 3x^4 - x^2 + 5, \quad \text{β) } g(x) = x^5 + 2x\]
Να εξεταστεί ως προς τη συμμετρία η συνάρτηση \(h(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}\) στο \(\mathbb{R}\).
Υπόδειξη
για \(x=2 \implies h(2)=\dfrac{8}{5}\)
για \(x=-2 \implies h(-2)=-\dfrac{8}{5}\)
Άρα \(h(-x)= ............. \implies\) …………………….
- Να αιτιολογηθεί γιατί η συνάρτηση \(f(x) = x^2 + 2x\) δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Υπόδειξη
για \(x=2 \implies f(2)=4+4=8=f(-4)\)
για \(x=-2 \implies f(-2)=4-4=0\)
Άρα \(h(-x) \ne ............. \implies\) …………………….
- Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = \sqrt{9 - x^2}\). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της, να αποδειχθεί ότι είναι άρτια και να ερμηνευτεί γεωμετρικά το αποτέλεσμα.
Υπόδειξη
\(-3\le x \le 3\)
για \(x=2 \implies f(2)=\sqrt{5}\)
για \(x=-2 \implies f(-2)=\sqrt{5}\)
Άρα \(f(-x)= ............. \implies\) …………………….
\(y^2=9-x^2 \implies x^2+y^2=3^2 \implies\) ………………….
- Εκφώνηση
Αν μια συνάρτηση \(f\) με συμμετρικό πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}\) είναι περιττή, να αποδειχθεί ότι διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δηλαδή \(f(0) = 0\).
Λύση
1: Χρήση του ορισμού της περιττής συνάρτησης
Εφόσον το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\) είναι το \(\mathbb{R}\) και η συνάρτηση είναι περιττή, σύμφωνα με τον ορισμό ισχύει: \[f(-x) = -f(x) \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}\]
2: Εφαρμογή για \(x = 0\)
Επειδή ο αριθμός \(0\) ανήκει στο πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}\), θέτουμε στη σχέση του ορισμού όπου \(x\) το \(0\): \[f(-0) = -f(0)\]
Επειδή \(-0 = 0\), η σχέση γράφεται: \[f(0) = -f(0)\]
3: Επίλυση ως προς \(f(0)\)
Προσθέτουμε το \(f(0)\) και στα δύο μέλη της ισότητας: \[f(0) + f(0) = 0\] \[2f(0) = 0\]
Διαιρούμε με το \(2\): \[f(0) = 0\]
Συμπέρασμα
Αποδείχθηκε ότι \(f(0) = 0\), το οποίο σημαίνει γεωμετρικά ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) διέρχεται από το σημείο \((0, 0)\), δηλαδή από την αρχή των αξόνων.
Έστω συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού το διάστημα \(A = (-\alpha, \alpha)\), όπου \(\alpha > 0\).
Το \(0\) ανήκει στο πεδίο ορισμού:
Επειδή \(\alpha > 0\), ισχύει: \[-\alpha < 0 < \alpha \implies 0 \in A\]
Εφαρμογή του ορισμού της περιττής συνάρτησης:
Αφού η \(f\) είναι περιττή, για κάθε \(x \in A\) ισχύει: \[f(-x) = -f(x)\]
Θέτουμε \(x = 0\):
Εφόσον \(0 \in A\), μπορούμε να θέσουμε \(x = 0\): \[f(-0) = -f(0)\] \[f(0) = -f(0)\] \[2f(0) = 0 \implies f(0) = 0\]
Γενικό Συμπέρασμα
Για οποιαδήποτε περιττή συνάρτηση \(f\) με συμμετρικό πεδίο ορισμού \(A\):
Αν \(0 \in A\) (όπως στο \(\mathbb{R}\), στο \([-\alpha, \alpha]\), ή στο \((-\alpha, \alpha)\)), τότε πάντα ισχύει \(f(0) = 0\) (διέρχεται από την αρχή των αξόνων).
Αν \(0 \notin A\) (για παράδειγμα στο \(A = \mathbb{R}^*\) ή στο \(A = (-\alpha, 0) \cup (0, \alpha)\), όπως στην \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)), τότε το \(f(0)\) απλώς δεν ορίζεται, οπότε η συνάρτηση δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
- Αν η συνάρτηση \(f\) είναι άρτια και παρουσιάζει ελάχιστο στο \(x_0 = 3\) με τιμή \(f(3) = 2\), να βρεθεί η τιμή της \(f\) στο \(x_0 = -3\).
1.6.4 Θέμα Δ: Σύνθετες Ασκήσεις & Προβλήματα
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = \alpha x^2 + \beta\). Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία \(A(1, 4)\) και \(B(2, 10)\):
α) Να υπολογιστούν τα \(\alpha, \beta\).
β) Να εξεταστεί αν η \(f\) είναι άρτια ή περιττή.
γ) Να βρεθούν τα ακρότατά της στο \(\mathbb{R}\).
Έστω η συνάρτηση \(f(x) = x^2 - 4x + 5\):
α) Να γραφεί στη μορφή \(f(x) = (x - \alpha)^2 + \beta\).
β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία στα διαστήματα \((-\infty, 2]\) και \([2, +\infty)\).
γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της.
- Πρόβλημα Μεγιστοποίησης Εμβαδού:
Ένας αγρότης θέλει να περιφράξει μια ορθογώνια περιοχή δίπλα σε έναν τοίχο χρησιμοποιώντας συρματόπλεγμα μήκους \(40 \text{ m}\) (χωρίς περίφραξη στον τοίχο). Αν \(x\) είναι το πλάτος της περιφραγμένης έκτασης:
α) Να εκφραστεί το εμβαδόν \(E(x)\) ως συνάρτηση του \(x\).
β) Να βρεθούν οι διαστάσεις που μεγιστοποιούν το εμβαδόν καθώς και η μέγιστη τιμή του.
Λύση:
α) Έκφραση του εμβαδού \(E(x)\) ως συνάρτηση του \(x\)
Έστω ότι η ορθογώνια περιοχή έχει:
Δύο πλευρές κάθετες στον τοίχο, καθεμία με μήκος (πλάτος) \(x\) (σε \(\text{m}\)).
Μία πλευρά παράλληλη προς τον τοίχο, με μήκος \(y\) (σε \(\text{m}\)).
Η τέταρτη πλευρά είναι ο τοίχος, οπότε δεν χρειάζεται συρματόπλεγμα.
Το συνολικό μήκος του συρματοπλέγματος είναι \(40\text{ m}\), επομένως: \[2x + y = 40 \implies y = 40 - 2x\]
Επειδή τα μήκη των πλευρών πρέπει να είναι θετικά:
\(x > 0\)
\(y > 0 \implies 40 - 2x > 0 \implies 2x < 40 \implies x < 20\)
Άρα, το πεδίο ορισμού είναι \(x \in (0, 20)\).
Το εμβαδόν \(E\) του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο: \[E = x \cdot y\]
Αντικαθιστώντας το \(y = 40 - 2x\), έχουμε: \[E(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x, \quad x \in (0, 20)\]
β) Εύρεση των διαστάσεων που μεγιστοποιούν το εμβαδόν και η μέγιστη τιμή του
Η συνάρτηση του εμβαδού: \[E(x) = -2x^2 + 40x\] είναι ένα τριώνυμο 2ου βαθμού της μορφής \(\alpha x^2 + \beta x + \gamma\) με \(\alpha = -2\), \(\beta = 40\) και \(\gamma = 0\).
Επειδή \(\alpha = -2 < 0\), η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στην κορυφή της παραβολής: \[x_0 = -\frac{\beta}{2\alpha} = -\frac{40}{2(-2)} = -\frac{40}{-4} = 10\text{ m}\]
Το \(x_0 = 10\) ανήκει στο διάστημα \((0, 20)\).
Υπολογισμός του άλλου μήκους (\(y\)): \[y = 40 - 2(10) = 40 - 20 = 20\text{ m}\]
Υπολογισμός του μέγιστου εμβαδού: \[E_{\max} = E(10) = 10 \cdot 20 = 200\text{ m}^2\] (ή \(E(10) = -2(10)^2 + 40(10) = -200 + 400 = 200\text{ m}^2\))
Τελική Απάντηση
α) Ο τύπος του εμβαδού είναι: \[E(x) = -2x^2 + 40x \quad \mu\epsilon \quad x \in (0, 20)\]
β) Οι διαστάσεις που μεγιστοποιούν το εμβαδόν είναι:
- Πλάτος: \(x = 10\text{ m}\) (οι δύο πλευρές κάθετες στον τοίχο)
- Μήκος: \(y = 20\text{ m}\) (η πλευρά παράλληλη στον τοίχο)
Και το μέγιστο εμβαδόν είναι \(E_{\max} = 200\text{ m}^2\).
Πρόβλημα Κέρδους Βιοτεχνίας: Το ημερήσιο κέρδος (σε ευρώ) μιας βιοτεχνίας παραγωγής \(x\) μονάδων προϊόντος δίνεται από τον τύπο \(K(x) = -x^2 + 80x - 120\) για \(x \in \mathbb{R^{+}}\).
α) Να βρεθεί πόσες μονάδες πρέπει να παραχθούν ώστε το κέρδος να γίνει μέγιστο.
β) Ποιο είναι το μέγιστο ημερήσιο κέρδος της βιοτεχνίας;
Υπόδειξη
Βρείτε το μέγιστο της \(Κ(x)\)
Για \(x_0\) μέγιστη τιμή \(K(x_0)\)
- (Μονοτονία από γραφική παράσταση)
Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων .
Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η κάθε συνάρτηση είναι:
α) γνησίως αύξουσα
β) γνησίως φθίνουσα
- (Ακρότατα από γραφική παράσταση)
Να προσδιορίσετε το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο σε κάθε μια από τις συναρτήσεις της προηγούμενης άσκησης.
- (Απόδειξη ακροτάτων με τον ορισμό)
Να αποδείξετε με βάση τον ορισμό των ακροτάτων ότι:
i) Η συνάρτηση \(f(x) = x^2 - 4x + 7\) παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο για \(x = 2\).
ii) Η συνάρτηση \(g(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 4}\) παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο για \(x = 2\).
Λύση Άσκηση 3(ii)
Πεδίο ορισμού
Για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει:
\[ x^2+4>0 \]
Επομένως το πεδίο ορισμού της \(g\) είναι:
\[ D_g=\mathbb{R} \]
Εφαρμογή του ορισμού του μέγιστου
Θα δείξουμε ότι για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει:
\[ g(x)\leq g(2) \]
Υπολογίζουμε πρώτα την τιμή της συνάρτησης στο \(x=2\):
\[ g(2)=\frac{4\cdot 2}{2^2+4} =\frac{8}{8}=1 \]
Άρα πρέπει να αποδείξουμε ότι:
\[ \frac{4x}{x^2+4}\leq 1 \]
Επειδή \(x^2+4>0\), μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με τον θετικό αριθμό \(x^2+4\) χωρίς να αλλάξει η φορά της ανίσωσης:
\[ 4x\leq x^2+4 \]
Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο δεξί μέλος:
\[ 0\leq x^2-4x+4 \]
Παραγοντοποιούμε:
\[ 0\leq (x-2)^2 \]
Η τελευταία ανίσωση είναι αληθής για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), επειδή το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικό.
Επομένως:
\[ g(x)\leq 1=g(2) \quad\text{για κάθε }x\in\mathbb{R} \]
Συμπέρασμα
Σύμφωνα με τον ορισμό του μέγιστου, η συνάρτηση \(g\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση:
\[ x_0=2 \]
και η μέγιστη τιμή της είναι:
\[ \boxed{g_{\max}=g(2)=1} \]
Δηλαδή:
\[ \boxed{\text{Η }g(x)=\frac{4x}{x^2+4}\text{ παρουσιάζει μέγιστο }1\text{ για }x=2.} \]
Με παρόμοιο τρόπο μπορείτε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο για \(x_0=-2\)
- (Άρτιες και περιττές συναρτήσεις - Πολυωνυμικές / Ρητές)
Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες, ποιες είναι περιττές και ποιες τίποτα από τα δύο:
i) \(f_1(x) = 2x^4 - 7x^2 + 3\)
ii) \(f_2(x) = 4|x| - x^2\)
iii) \(f_3(x) = |x - 2|\)
iv) \(f_4(x) = 2x^5 - x^3\)
v) \(f_5(x) = \dfrac{x^3}{2 - x}\)
vi) \(f_6(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 9}\)
25 (Άρτιες και περιττές συναρτήσεις - Ρίζες / Κλάσματα / Απόλυτα)
Ομοίως, να εξετάσετε ως προς τη συμμετρία (άρτια ή περιττή) τις συναρτήσεις:
i) \(f_1(x) = \dfrac{1}{x^2 + |x|}\)
ii) \(f_2(x) = \sqrt{x - 3}\)
iii) \(f_3(x) = |x + 2| - |x - 2|\)
iv) \(f_4(x) = \dfrac{x^3 - \dfrac{1}{x}}{x^2 + 4}\)
v) \(f_5(x) = \sqrt[3]{|x|}\)
vi) \(f_6(x) = \sqrt{9 - x^2}\)
- (Αναγνώριση άρτιας/περιττής από γεωμετρική συμμετρία)
Δίνονται τρεις καμπύλες στο επίπεδο:
Να αιτιολογήσετε ποια από τις παραπάνω καμπύλες είναι γραφική παράσταση άρτιας συνάρτησης, ποια περιττής και ποια δεν μπορεί να είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
- (Έλεγχος συμμετρίας καμπύλης με χαρακτηριστικά σημεία)
Για τις παρακάτω συναρτήσεις:
Να εξετάσετε γεωμετρικά αν είναι άρτιες, περιττές ή τίποτα από τα δύο.
- (Συμπλήρωση γραφικής παράστασης)
Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δίνεται μέρος της γραφικής παράστασης κάθε συνάρτησης.
Να σχεδιάσετε στο τετραγωνισμένο σας χαρτί συμπληρωμένες τις γραφικές παραστάσεις ώστε η κάθε συνάρτηση να είναι:
α) Άρτια (συμμετρία ως προς τον άξονα \(y'y\))
β) Περιττή (συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων \(O(0, 0)\) — υποθέτοντας ότι \(f(0) = 0\))
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!