03.02. Βασικοί γεωμετρικοί τόποι

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

18 Αύγουστος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι

1.1 Κύκλος, Μεσοκάθετος και Διχοτόμος

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΟΠΩΝ

1. Η έννοια του Γεωμετρικού Τόπου

Στη Γεωμετρία, Γεωμετρικός Τόπος ονομάζεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου (ή του χώρου) τα οποία έχουν μια κοινή, χαρακτηριστική ιδιότητα.

Για να αποδείξουμε ότι ένα γεωμετρικό σχήμα \(U\) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \(M\) που έχουν μια ιδιότητα \(P\), απαιτείται αυστηρά η διπλή αποδεικτική υποχρέωση:

  1. Το Ευθύ Θεώρημα (ή Ευθεία Πρόταση): Κάθε σημείο \(M\) που έχει την ιδιότητα \(P\) ανήκει στο σχήμα \(U\). \[M \in \{ \text{Σημεία με ιδιότητα } P \} \implies M \in U\]
  2. Το Αντίστροφο Θεώρημα (ή Αντίστροφη Πρόταση): Κάθε σημείο \(M\) που ανήκει στο σχήμα \(U\) έχει την ιδιότητα \(P\). \[M \in U \implies M \in \{ \text{Σημεία με ιδιότητα } P \}\]

Αν παραλειφθεί οποιοδήποτε από τα δύο αυτά μέρη, η απόδειξη του γεωμετρικού τόπου είναι ελλιπής και μαθηματικά μη έγκυρη.

2. Ο Κύκλος ως Γεωμετρικός Τόπος

Ορισμός:

Έστω ένα σταθερό σημείο \(O\) του επιπέδου και ένα σταθερό θετικό ευθύγραμμο τμήμα με μήκος \(R\). Κύκλος με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(R\), ο οποίος συμβολίζεται ως \((O, R)\), ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \(M\) του επιπέδου που απέχουν από το σημείο \(O\) απόσταση ίση με \(R\).

\[OM = R\]

  • Ευθύ:

Κάθε σημείο \(M\) του κύκλου \((O, R)\) απέχει απόσταση \(R\) από το κέντρο \(O\) (από τον ορισμό του κύκλου ως σχήματος).

  • Αντίστροφο:

Κάθε σημείο \(M\) του επιπέδου που απέχει απόσταση \(OM = R\) από το σταθερό σημείο \(O\), ανήκει εξ ορισμού στον κύκλο \((O, R)\).

3. Η Μεσοκάθετος Ευθυγράμμου Τμήματος ως Γεωμετρικός Τόπος

Ορισμός:

Μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος \(AB\) ονομάζεται η ευθεία \(\mu\) η οποία είναι κάθετη στο τμήμα \(AB\) και διέρχεται από το μέσο του \(O\).

Ευθύ Θεώρημα

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.

Υπόθεση: Ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) με μέσο \(O\). Ευθεία \(\mu \perp AB\) στο σημείο \(O\). Σημείο \(M\) πάνω στην ευθεία \(\mu\).

Συμπέρασμα: \(MA = MB\).

Απόδειξη:

  • Αν το σημείο \(M\) συμπίπτει με το μέσο \(O\), τότε προφανώς \(OA = OB\) από τον ορισμό του μέσου.

  • Αν το σημείο \(M\) είναι διάφορο του \(O\), συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(MOA\) και \(MOB\):

    1. \(OA = OB\) (διότι το \(O\) είναι μέσο του \(AB\)).
    2. \(MO\) κοινή πλευρά.
    3. \(\widehat{MOA} = \widehat{MOB} = 90^\circ\) (διότι \(\mu \perp AB\)).

    Τα τρίγωνα \(MOA\) και \(MOB\) είναι ορθογώνια και ίσα, έχοντας τις δύο κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία (Π-Γ-Π). Επομένως, θα έχουν και τις υποτείνουσές τους ίσες, δηλαδή \(MA = MB\).

Αντίστροφο Θεώρημα

Κάθε σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του.

Υπόθεση: Ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) με μέσο \(O\). Σημείο \(M\) του επιπέδου τέτοιο ώστε \(MA = MB\).

Συμπέρασμα: Το \(M\) ανήκει στη μεσοκάθετο \(\mu\) του \(AB\).

Απόδειξη:

  • Αν το \(M\) ανήκει στην ευθεία \(AB\), επειδή \(MA = MB\), το \(M\) πρέπει αναγκαστικά να συμπίπτει με το μέσο \(O\) του τμήματος, το οποίο εξ ορισμού ανήκει στη μεσοκάθετο.

  • Αν το \(M\) βρίσκεται εκτός της ευθείας \(AB\), το τρίγωνο \(MAB\) είναι ισοσκελές με \(MA = MB\). Στο ισοσκελές αυτό τρίγωνο, φέρουμε τη διάμεσο \(MO\) προς τη βάση \(AB\).

    Σύμφωνα με το θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου, η διάμεσος προς τη βάση είναι και ύψος.

    Επομένως, \(MO \perp AB\) στο μέσο του \(O\).

    Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία \(MO\) ταυτίζεται με τη μεσοκάθετο \(\mu\) του τμήματος \(AB\). Άρα, το σημείο \(M\) ανήκει στη μεσοκάθετο \(\mu\).

4. Η Διχοτόμος Γωνίας ως Γεωμετρικός Τόπος

Ορισμός:

Διχοτόμος μιας κυρτής γωνίας \(\widehat{xOy}\) ονομάζεται η εσωτερική ημιευθεία \(Oz\) η οποία έχει αρχή την κορυφή \(O\) της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

\[\widehat{xOz} = \widehat{zOy}\]

Ευθύ Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της.

Υπόθεση: Γωνία \(\widehat{xOy}\) με διχοτόμο \(Oz\). Σημείο \(M\) πάνω στην \(Oz\). Αποστάσεις \(MA \perp Ox\) και \(MB \perp Oy\).

Συμπέρασμα: \(MA = MB\).

Απόδειξη:

Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα \(OAM\) (\(\widehat{A} = 90^\circ\)) και \(OBM\) (\(\widehat{B} = 90^\circ\)):

  1. \(OM\) κοινή υποτείνουσα.

  2. \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (διότι η \(Oz\) είναι διχοτόμος της \(\widehat{xOy}\)).

Τα ορθογώνια τρίγωνα \(OAM\) και \(OBM\) έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες, επομένως είναι ίσα.

Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι και οι απέναντι κάθετες πλευρές τους είναι ίσες, δηλαδή \(MA = MB\).

Αντίστροφο Θεώρημα

Κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της ανήκει στη διχοτόμο της.

Υπόθεση: Γωνία \(\widehat{xOy}\). Εσωτερικό σημείο \(M\) με αποστάσεις \(MA \perp Ox\) και \(MB \perp Oy\) τέτοιες ώστε \(MA = MB\).

Συμπέρασμα: Η ημιευθεία \(OM\) είναι η διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{xOy}\).

Απόδειξη:

Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα \(OAM\) (\(\widehat{A} = 90^\circ\)) και \(OBM\) (\(\widehat{B} = 90^\circ\)):

  1. \(OM\) κοινή υποτείνουσα.

  2. \(MA = MB\) (από υπόθεση, ίσες κάθετες πλευρές).

Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες, άρα είναι ίσα. Από την ισότητά τους προκύπτει η ισότητα των ομόλογων γωνιών τους:

\[\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\]

Συνεπώς, η ημιευθεία \(OM\) διχοτομεί τη γωνία \(\widehat{xOy}\), δηλαδή το \(M\) ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας.

1.2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ)

Παράδειγμα 1

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από δύο σταθερά σημεία \(A\) και \(B\).

Δείτε και τα μαθήματα 14, 15, 16, 17 και 18 από την Γεωμετρία της Α τάξης Γυμνασίου

Ανάλυση:

Έστω \(M\) το κέντρο ενός τυχαίου κύκλου που διέρχεται από τα σταθερά σημεία \(A\) και \(B\).

Εφόσον ο κύκλος διέρχεται από τα \(A\) και \(B\), τα ευθύγραμμα τμήματα \(MA\) και \(MB\) αποτελούν ακτίνες του ίδιου κύκλου, συνεπώς ισχύει: \[MA = MB\]

Από τη χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου, εφόσον το σημείο \(M\) ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος \(AB\), ανήκει υποχρεωτικά στη μεσοκάθετο ευθεία \(\mu\) του τμήματος \(AB\).

Σύνθεση & Αντίστροφο:

Έστω τυχαίο σημείο \(N\) πάνω στη μεσοκάθετο \(\mu\) του τμήματος \(AB\).

Από την ιδιότητα της μεσοκαθέτου προκύπτει ότι \(NA = NB\).

Αν γράψουμε τον κύκλο \((N, NA)\) με κέντρο το \(N\) και ακτίνα \(d = NA\), ο κύκλος αυτός θα διέρχεται εξ ορισμού και από το σημείο \(B\) (αφού \(NB = NA = d\)).

Συνεπώς, το σημείο \(N\) είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα \(A\) και \(B\).

Γεωμετρικός Προσδιορισμός:

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος ευθεία \(\mu\) του ευθυγράμμου τμήματος \(AB\).

Παράδειγμα 2

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών \(A\) των τριγώνων \(AB\Gamma\) που έχουν σταθερή τη βάση \(B\Gamma = a\) και σταθερή τη διάμεσο \(AM = m\).

Ανάλυση:

Έστω \(AB\Gamma\) ένα τρίγωνο με σταθερή βάση \(B\Gamma = a\).

Το μέσο \(M\) της βάσης \(B\Gamma\) είναι ένα σταθερό σημείο του επιπέδου, καθώς τα άκρα \(B\) και \(\Gamma\) είναι σταθερά.

Η διάμεσος \(AM\) έχει σταθερό μήκος ίσο με \(m\).

Συνεπώς, η απόσταση της μεταβλητής κορυφής \(A\) από το σταθερό σημείο \(M\) παραμένει σταθερή και ίση με \(m\): \[MA = m\]

Από τον ορισμό του κύκλου ως γεωμετρικού τόπου, η κορυφή \(A\) οφείλει να κινείται σε κύκλο με κέντρο το σταθερό σημείο \(M\) και ακτίνα \(m\).

Διερεύνηση & Όρια:

Επειδή οι κορυφές \(A, B, \Gamma\) πρέπει να ορίζουν τρίγωνο, η κορυφή \(A\) δεν μπορεί να είναι συνευθειακή με τα \(B\) και \(\Gamma\).

Τα σημεία τομής του κύκλου \((M, m)\) με τον φορέα της βάσης \(B\Gamma\) πρέπει να εξαιρεθούν από τον γεωμετρικό τόπο, διότι σε αυτές τις θέσεις το τρίγωνο εκφυλίζεται σε ευθύγραμμο τμήμα.

Γεωμετρικός Προσδιορισμός: Ο γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος \((M, m)\) με κέντρο το μέσο \(M\) της βάσης \(B\Gamma\) και ακτίνα \(m\), εξαιρουμένων των δύο σημείων τομής του κύκλου αυτού με την ευθεία \(B\Gamma\).

Παράδειγμα 3

Δίνεται κύκλος \((O, R)\) και \(N\) τυχαίο σημείο του. Στην προέκταση της ακτίνας \(ON\) λαμβάνουμε σημείο \(M\) τέτοιο ώστε \(ON = NM\). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του \(M\) καθώς το \(N\) διαγράφει τον κύκλο.

Ανάλυση:

Το σημείο \(O\) είναι σταθερό (κέντρο του δοσμένου κύκλου).

Το σημείο \(N\) κινείται στον κύκλο \((O, R)\), επομένως η απόστασή του από το \(O\) είναι σταθερή: \[ON = R\]

Το σημείο \(M\) βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας \(ON\) έτσι ώστε \(ON = NM\).

Συνεπώς, η απόσταση του σημείου \(M\) από το σταθερό κέντρο \(O\) είναι: \[OM = ON + NM = R + R = 2R\]

Επειδή η απόσταση του μεταβλητού σημείου \(M\) από το σταθερό σημείο \(O\) είναι σταθερή και ίση με \(2R\), το σημείο \(M\) ανήκει σε κύκλο με κέντρο το \(O\) και ακτίνα \(2R\).

Αντίστροφο:

Έστω \(M'\) ένα τυχαίο σημείο του κύκλου \((O, 2R)\), δηλαδή \(OM' = 2R\).

Θεωρούμε το σημείο \(N'\) πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα \(OM'\) τέτοιο ώστε \(ON' = \dfrac{OM'}{2} = R\).

Επειδή \(ON' = R\), το σημείο \(N'\) ανήκει στον αρχικό κύκλο \((O, R)\).

Επίσης, επειδή \(ON' = R\) και \(OM' = 2R\), προκύπτει ότι \(N'M' = OM' - ON' = R\), δηλαδή \(ON' = N'M'\).

Συνεπώς, το \(M'\) ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του γεωμετρικού τόπου.

Γεωμετρικός Προσδιορισμός: Ο γεωμετρικός τόπος του \(M\) είναι ένας ομόκεντρος κύκλος \((O, 2R)\) με διπλάσια ακτίνα από τον αρχικό.

1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1 (Κύκλος)

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των ακτίνων δοσμένου κύκλου \((O, R)\).

Ευθύ:

Έστω \(ON\) μια τυχαία ακτίνα του κύκλου \((O, R)\), οπότε \(ON = R\) (σταθερό).

Θεωρούμε το μέσο \(M\) της ακτίνας \(ON\). Τότε ισχύει: \[OM = \frac{ON}{2} = \frac{R}{2}\]

Επειδή το σημείο \(O\) είναι σταθερό (κέντρο του κύκλου) και η απόσταση \(OM\) του μεταβλητού σημείου \(M\) από το \(O\) είναι σταθερή και ίση με \(\dfrac{R}{2}\), το σημείο \(M\) ανήκει σε κύκλο με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(\dfrac{R}{2}\).

Αντίστροφο:

Έστω \(M'\) ένα τυχαίο σημείο του κύκλου \((O, \dfrac{R}{2})\), δηλαδή \(OM' = \dfrac{R}{2}\).

Προεκτείνουμε το ευθύγραμμο τμήμα \(OM'\) κατά ίσο τμήμα \(M'N' = OM' = \dfrac{R}{2}\).

Τότε το σημείο \(N'\) απέχει από το \(O\) απόσταση: \[ON' = OM' + M'N' = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R\]

Συνεπώς, το \(N'\) είναι σημείο του δοσμένου κύκλου \((O, R)\) και το \(M'\) είναι εξ ορισμού το μέσο της ακτίνας \(ON'\).

Συμπέρασμα: Ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των ακτίνων του κύκλου \((O, R)\) είναι ένας ομόκεντρος κύκλος με κέντρο το \(O\) και ακτίνα ίση με το μισό της ακτίνας του αρχικού κύκλου, δηλαδή ο κύκλος \((O, \dfrac{R}{2})\).

Άσκηση 2 (Συνδυαστική)

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \(X\) του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο σταθερά σημεία \(A\) και \(B\) και ταυτόχρονα απέχουν σταθερή απόσταση \(d\) από ένα τρίτο σταθερό σημείο \(\Delta\).

Λύση

  1. Ανάλυση των Συνθηκών:

Το σημείο \(X\) πρέπει να πληροί ταυτόχρονα δύο ανεξάρτητες γεωμετρικές συνθήκες:

  • Συνθήκη 1: Το \(X\) ισαπέχει από τα σταθερά σημεία \(A\) και \(B\) (\(XA = XB\)). Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη είναι η μεσοκάθετος ευθεία \(\mu\) του ευθυγράμμου τμήματος \(AB\).

  • Συνθήκη 2: Το \(X\) απέχει σταθερή απόσταση \(d\) από το σταθερό σημείο \(\Delta\) (\(\Delta X = d\)). Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη είναι ο κύκλος \(C(\Delta, d)\) με κέντρο το \(\Delta\) και ακτίνα \(d\).

Συνεπώς, τα ζητούμενα σημεία \(X\) αποτελούν τις τομές της μεσοκαθέτου ευθείας \(\mu\) και του κύκλου \(C(\Delta, d)\).

  1. Διερεύνηση (Τομή Ευθείας και Κύκλου):

Έστω \(h\) η κάθετη απόσταση του σταθερού σημείου \(\Delta\) (κέντρου του κύκλου) από τη μεσοκάθετο ευθεία \(\mu\). Η ύπαρξη και το πλήθος των λύσεων εξαρτώνται από τη σχέση της απόστασης \(h\) με την ακτίνα \(d\) του κύκλου:

  • Αν \(h > d\): Η ευθεία \(\mu\) και ο κύκλος \(C\) δεν τέμνονται. Το πρόβλημα δεν έχει καμία λύση (ο γεωμετρικός τόπος είναι το κενό σύνολο \(\emptyset\)).

  • Αν \(h = d\): Η ευθεία \(\mu\) εφάπτεται στον κύκλο \(C\). Υπάρχει ακριβώς μία λύση (το σημείο επαφής).

  • Αν \(h < d\): Η ευθεία \(\mu\) τέμνει τον κύκλο \(C\) σε δύο διακριτά σημεία. Υπάρχουν ακριβώς δύο λύσεις (τα δύο σημεία τομής).

Άσκηση 3 (Κύκλος: Ο γεωμετρικός τόπος της ορθής γωνίας)

Εκφώνηση: Δίνεται σταθερό ευθύγραμμο τμήμα \(AB\). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \(M\) του επιπέδου από τα οποία το τμήμα \(AB\) φαίνεται υπό ορθή γωνία (δηλαδή η γωνία \(\widehat{AMB}\) είναι ίση με \(90^\circ\)).

  • Υπόθεση: Σταθερό τμήμα \(AB\). Μεταβλητό σημείο \(M\) με \(\widehat{AMB} = 90^\circ\).

  • Συμπέρασμα: Προσδιορισμός του γεωμετρικού τόπου του \(M\).

Απόδειξη:

1. Ευθύ (Το σημείο ανήκει στη γραμμή):

Έστω \(M\) ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου, δηλαδή \(\widehat{AMB} = 90^\circ\).

Θεωρούμε το τρίγωνο \(AMB\), το οποίο είναι ορθογώνιο στην κορυφή \(M\).

Αν ορίσουμε ως \(O\) το μέσο του σταθερού τμήματος \(AB\), τότε το τμήμα \(OM\) είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(AB\).

Σύμφωνα με το σχετικό θεώρημα, η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της: \[OM = \frac{AB}{2}\]

Επειδή το σημείο \(O\) είναι σταθερό (ως μέσο σταθερού τμήματος) και η απόσταση \(OM\) είναι σταθερή και ίση με \(\dfrac{AB}{2}\), το σημείο \(M\) ανήκει στον κύκλο που έχει κέντρο το \(O\) και διάμετρο \(AB\).

2. Αντίστροφο (Κάθε σημείο της γραμμής έχει την ιδιότητα):

Έστω \(M'\) ένα τυχαίο σημείο του κύκλου με κέντρο το \(O\) (μέσο του \(AB\)) και διάμετρο \(AB\), διαφορετικό από τα άκρα \(A\) και \(B\).

Τότε, η απόσταση \(OM'\) είναι ακτίνα του κύκλου, άρα: \[OM' = \frac{AB}{2}\]

Στο τρίγωνο \(AM'B\), το τμήμα \(OM'\) είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά \(AB\) και ισούται με το μισό της. Συνεπώς, το τρίγωνο \(AM'B\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την \(AB\), δηλαδή \(\widehat{AM'B} = 90^\circ\).

Γεωμετρικός Προσδιορισμός:

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \(M\) είναι ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα \(AB\), εξαιρουμένων των σημείων \(A\) και \(B\) (στα οποία το τρίγωνο εκφυλίζεται).

Άσκηση 4 (Διχοτόμος: Κέντρα εφαπτόμενων κύκλων σε γωνία)

Εκφώνηση: Δίνεται γωνία \(\widehat{xOy}\). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων \(I\) των κύκλων που εφάπτονται ταυτόχρονα και στις δύο πλευρές \(Ox\) και \(Oy\) της γωνίας.

  • Υπόθεση: Γωνία \(\widehat{xOy}\). Σημείο \(I\) στο εσωτερικό της γωνίας, το οποίο είναι κέντρο κύκλου εφαπτόμενου στις \(Ox, Oy\).

  • Συμπέρασμα: Προσδιορισμός του γεωμετρικού τόπου του \(I\).

Απόδειξη:

1. Ευθύ:

Έστω \(I\) το κέντρο ενός κύκλου που εφάπτεται στις πλευρές \(Ox\) και \(Oy\) της γωνίας.

Αν ονομάσουμε \(D\) και \(E\) τα σημεία επαφής στις δύο πλευρές αντίστοιχα, τότε οι ακτίνες \(ID\) και \(IE\) είναι κάθετες στις πλευρές: \[ID \perp Ox \quad \text{και} \quad IE \perp Oy\]

Εφόσον τα τμήματα αυτά είναι ακτίνες του ίδιου κύκλου, οι αποστάσεις του σημείου \(I\) από τις πλευρές της γωνίας είναι ίσες: \[ID = IE = R\]

Επειδή το εσωτερικό σημείο \(I\) της γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της, σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ιδιότητα, το \(I\) ανήκει στη διχοτόμο \(\delta\) της γωνίας \(\widehat{xOy}\).

2. Αντίστροφο:

Έστω \(I'\) ένα τυχαίο σημείο της διχοτόμου \(\delta\) της γωνίας \(\widehat{xOy}\) (διάφορο της κορυφής \(O\)).

Από τη χαρακτηριστική ιδιότητα της διχοτόμου, οι κάθετες αποστάσεις του \(I'\) από τις πλευρές \(Ox\) και \(Oy\), έστω \(I'D' \perp Ox\) και \(I'E' \perp Oy\), είναι ίσες: \[I'D' = I'E' = d\]

Αν γράψουμε κύκλο με κέντρο το σημείο \(I'\) και ακτίνα \(d\), ο κύκλος αυτός θα εφάπτεται στις πλευρές \(Ox\) και \(Oy\) στα σημεία \(D'\) και \(E'\) αντίστοιχα. Συνεπώς, το \(I'\) είναι κέντρο κύκλου εφαπτόμενου στις πλευρές της γωνίας.

Γεωμετρικός Προσδιορισμός:

Ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων \(I\) είναι η διχοτόμος \(\delta\) της γωνίας \(\widehat{xOy}\) (με εξαίρεση την κορυφή \(O\)).

Άσκηση 5 (Κύκλος: Προβολή σταθερού σημείου σε μεταβλητή ευθεία)

Εκφώνηση: Δίνονται δύο σταθερά σημεία \(A\) και \(B\) του επιπέδου. Μια μεταβλητή ευθεία \(\epsilon\) περιστρέφεται γύρω από το σημείο \(B\). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της προβολής \(M\) του σημείου \(A\) πάνω στην ευθεία \(\epsilon\).

  • Υπόθεση: Σταθερά σημεία \(A, B\). Ευθεία \(\epsilon\) διερχόμενη από το \(B\). Σημείο \(M \in \epsilon\) τέτοιο ώστε \(AM \perp \epsilon\).

  • Συμπέρασμα: Προσδιορισμός του γεωμετρικού τόπου του \(M\).

Απόδειξη:

1. Ευθύ:

Έστω \(M\) η προβολή του σταθερού σημείου \(A\) πάνω στη μεταβλητή ευθεία \(\epsilon\).

Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία \(AM\) είναι κάθετη στην \(\epsilon\): \[AM \perp \epsilon\]

Επειδή η ευθεία \(\epsilon\) διέρχεται από το σταθερό σημείο \(B\), το σημείο \(M\) ανήκει στην ευθεία αυτή, οπότε η ευθεία \(BM\) συμπίπτει με την \(\epsilon\).

Συνεπώς, η γωνία \(\widehat{AMB}\) είναι ορθή: \[\widehat{AMB} = 90^\circ\]

Σύμφωνα με τον γεωμετρικό τόπο της ορθής γωνίας , το σημείο \(M\) οφείλει να ανήκει στον κύκλο που έχει διάμετρο το σταθερό τμήμα \(AB\).

2. Αντίστροφο:

Έστω \(M'\) ένα τυχαίο σημείο του κύκλου με διάμετρο \(AB\).

Επειδή το \(M'\) ανήκει στον κύκλο αυτό, η εγγεγραμμένη γωνία \(\widehat{AM'B}\) που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή: \[\widehat{AM'B} = 90^\circ \implies AM' \perp BM'\]

Αν θεωρήσουμε ως μεταβλητή ευθεία \(\epsilon\) την ευθεία \(BM'\), αυτή διέρχεται από το σταθερό σημείο \(B\).

Επειδή \(AM' \perp BM'\), το σημείο \(M'\) είναι η προβολή του σταθερού σημείου \(A\) πάνω στην ευθεία αυτή.

Γεωμετρικός Προσδιορισμός:

Ο γεωμετρικός τόπος των προβολών \(M\) είναι ολόκληρος ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) (εδώ συμπεριλαμβάνονται και τα σημεία \(A\) και \(B\), καθώς για την ευθεία \(\epsilon \perp AB\) στο \(B\) η προβολή είναι το \(B\), ενώ για την ευθεία \(\epsilon = AB\) η προβολή είναι το \(A\)).

Άσκηση 6 (Μεσοκάθετος: Κορυφή ισοσκελούς τριγώνου)

Εκφώνηση: Θεωρούμε όλα τα ισοσκελή τρίγωνα \(AB\Gamma\) (\(AB = A\Gamma\)) τα οποία έχουν κοινή και σταθερή βάση το ευθύγραμμο τμήμα \(B\Gamma\). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της μεταβλητής κορυφής \(A\).

Κάντε το σχήμα

  • Υπόθεση: Σταθερό τμήμα \(B\Gamma\). Μεταβλητό σημείο \(A\) εκτός της ευθείας \(B\Gamma\) τέτοιο ώστε \(AB = A\Gamma\).

  • Συμπέρασμα: Προσδιορισμός του γεωμετρικού τόπου του \(A\).

Απόδειξη:

1. Ευθύ:

Έστω \(A\) η κορυφή ενός ισοσκελούς τριγώνου \(AB\Gamma\) με σταθερή βάση \(B\Gamma\).

Εφόσον το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οι πλευρές \(AB\) και \(A\Gamma\) είναι ίσες: \[AB = A\Gamma\]

Επειδή το σημείο \(A\) ισαπέχει από τα σταθερά άκρα \(B\) και \(\Gamma\) του τμήματος \(B\Gamma\), σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ιδιότητα, το σημείο \(A\) ανήκει στη μεσοκάθετο ευθεία \(\mu\) του ευθυγράμμου τμήματος \(B\Gamma\).

2. Αντίστροφο:

Έστω \(A'\) ένα τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου ευθείας \(\mu\) του σταθερού τμήματος \(B\Gamma\), το οποίο δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία \(B\Gamma\) (δηλαδή το \(A'\) είναι διάφορο του μέσου \(M\) του \(B\Gamma\)).

Λόγω της ιδιότητας της μεσοκαθέτου, το σημείο \(A'\) ισαπέχει από τα άκρα \(B\) και \(\Gamma\): \[A'B = A'\Gamma\]

Επειδή το \(A'\) δεν είναι συνευθειακό με τα \(B\) και \(\Gamma\), ορίζεται το τρίγωνο \(A'B\Gamma\).

Εφόσον \(A'B = A'\Gamma\), το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με βάση το σταθερό τμήμα \(B\Gamma\).

Γεωμετρικός Προσδιορισμός:

Ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής \(A\) είναι η μεσοκάθετος ευθεία \(\mu\) του ευθυγράμμου τμήματος \(B\Gamma\), εξαιρουμένου του μέσου \(M\) της βάσης (στο οποίο το τρίγωνο εκφυλίζεται σε ευθύγραμμο τμήμα).