25. Μελέτη της συνάρτησης \(f(x)=α/x\)

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Μελέτη της συνάρτησης \(f(x)=\dfrac{α}{x}\)

1.1 Μελέτη της συνάρτησης \(g(x) = \dfrac{1}{x}\)

Η συνάρτηση αυτή αποτελεί την ειδική περίπτωση της \(f(x) = \dfrac{α}{x}\) για \(α = 1 > 0\).

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Πεδίο Ορισμού: Η συνάρτηση ορίζεται για κάθε \(x \neq 0\). Άρα, \(A = \mathbb{R}^* = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\).

  • Σύνολο Τιμών: Το σύνολο των τιμών είναι επίσης το \(f(A) = \mathbb{R}^*\), καθώς για \(x \neq 0\) η τιμή \(y = \dfrac{1}{x}\) δεν μπορεί να είναι μηδέν.

  • Συμμετρία: Είναι περιττή συνάρτηση, διότι για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(-x \in A\) και \(g(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -g(x)\). Η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\).

  • Μονοτονία: Επειδή \(\alpha = 1 > 0\), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα \((-\infty, 0)\) και \((0, +\infty)\). Προσοχή: Δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της, αλλά κατά διαστήματα.

  • Ακρότατα: Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατα.

  • Σημεία Τομής: Δεν τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).

  • Ασύμπτωτες: Οι άξονες \(x'x\) και \(y'y\) είναι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης.

  • Γραφική Παράσταση: Είναι μια καμπύλη που ονομάζεται υπερβολή και βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.

ΣυμβουλήΟδηγία

Στην παρακάτω ενσωματωμένη μικροεφαρμογή geogebra

Επιλέξτε τον δρομέα και σύρετε μέχρι το α = 1

Πατήστε Shift + > για να αυξήσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α.

Πατήστε Shift + < για να μειώσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α.

Παραδείγματα \(\ \ \ g(x)=\dfrac{1}{x}\)

  1. Υπολογισμός τιμών: \(g(1)=1\), \(g(2)=0,5\) και \(g(0,5)=2\).
  2. Έλεγχος αν το σημείο \(M(4, 0,25)\) ανήκει στην \(C_g\): Ισχύει \(g(4) = \dfrac{1}{4} = 0,25\), άρα ανήκει.
  3. Συμπεριφορά στο άπειρο: Καθώς το \(x \to +\infty\), η τιμή \(\dfrac{1}{x} \to 0\).
  4. Συμπεριφορά κοντά στο μηδέν: Καθώς το \(x \to 0^+\), η τιμή \(\dfrac{1}{x} \to +\infty\).
  5. Συμμετρικό σημείο: Το συμμετρικό του \(A(2, 0,5)\) ως προς το \(O(0,0)\) είναι το \(A'(-2, -0,5)\), το οποίο επίσης ανήκει στην \(C_g\) λόγω της περιττής ιδιότητας.

Ασκήσεις

  1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της \(h(x) = \dfrac{1}{g(x)}\).
  2. Λύστε την εξίσωση \(g(x) = 5\).
  3. Λύστε την ανίσωση \(g(x) > 2\).
  4. Δείξτε αλγεβρικά ότι η \(g\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0, +\infty)\).
  5. Βρείτε τα κοινά σημεία της \(C_g\) με την ευθεία \(y = x\).
  6. Υπολογίστε την παράσταση \(A = g(1) + g(2) - g(1/2)\).
  7. Εξετάστε αν η ευθεία \(y = 0\) τέμνει τη γραφική παράσταση της \(g\).
  8. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(k(x) = \sqrt{g(x)}\).
  9. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση
    • της \(f(x) = g(x-1)\) (οριζόντια μετατόπιση)
    • της \(f(x) = g(x+2)\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.
  10. Λύστε την εξίσωση \(g(x) = g(x^2)\) για \(x \in A\).
  11. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση
    • της \(f(x) = g(x-2)\) (οριζόντια μετατόπιση)
    • της \(f(x) = g(x+1)\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.
  12. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση
    • της \(f(x) = g(x)-1\) (κατακόρυφη μετατόπιση)
    • της \(f(x) = g(x)+2\)
    • της \(f(x) = g(x)-4\)
    • της \(f(x) = g(x)+4\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.

1.2 Μελέτη της συνάρτησης \(g(x) = -\dfrac{1}{x}\)

Η συνάρτηση αυτή προκύπτει για \(\alpha = -1 < 0\).

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Πεδίο Ορισμού: \(A = \mathbb{R}^*\).

  • Σύνολο Τιμών: \(f(A) = \mathbb{R}^*\).

  • Συμμετρία: Είναι περιττή συνάρτηση (\(g(-x) = -g(x)\)), με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\).

  • Μονοτονία: Επειδή \(\alpha = -1 < 0\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα \((-\infty, 0)\) και \((0, +\infty)\).

  • Ακρότατα: Δεν υπάρχουν ακρότατα.

  • Σημεία Τομής: Κανένα σημείο τομής με τους άξονες.

  • Ασύμπτωτες: Οι άξονες \(x'x\) και \(y'y\).

  • Γραφική Παράσταση: Υπερβολή με κλάδους στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο. Είναι συμμετρική της \(y=\dfrac{1}{x}\) ως προς τον άξονα \(x'x\).

ΣυμβουλήΟδηγία

Στην παρακάτω ενσωματωμένη μικροεφαρμογή geogebra

Επιλέξτε τον δρομέα και σύρετε μέχρι το α = -1

Πατήστε Shift + > για να αυξήσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α.

Πατήστε Shift + < για να μειώσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α.

Παραδείγματα \(\ \ \ g(x)=-\dfrac{1}{x}\)

  1. Υπολογισμός τιμών: \(g(-1)=1\) και \(g(1)=-1\).
  2. Συμπεριφορά: Καθώς το \(x \to -\infty\), η τιμή \(-1/x \to 0\).
  3. Συμπεριφορά: Καθώς το \(x \to 0^+\), η τιμή \(-\dfrac{1}{x} \to -\infty\).
  4. Σχέση με \(y=\dfrac{1}{x}\): Η γραφική παράσταση της \(g(x)=-\dfrac{1}{x}\) είναι η συμμετρική της \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) ως προς τον άξονα \(x'x\).
  5. Σημείο: Το σημείο \((-2, 0,5)\) ανήκει στην \(C_g\).

Ασκήσεις

  1. Λύστε την εξίσωση \(g(x) = -1\).
  2. Λύστε την ανίσωση \(g(x) < 0\) για \(x > 0\).
  3. Βρείτε το σημείο τομής της \(C_g\) με την ευθεία \(y = -x\).
  4. Δείξτε ότι η \(g\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((-\infty, 0)\).
  5. Υπολογίστε το \(g(\dfrac{1}{x})\) ως προς \(g(x)\).
  6. Βρείτε το πεδίο ορισμού της \(h(x) = \dfrac{1}{g(x) + 1}\).
  7. Προσδιορίστε το πρόσημο της \(g(x)\) για \(x \in (-1, 0)\).
  8. Σχεδιάστε την \(f(x) = g(x) + 2\) (κατακόρυφη μετατόπιση).
  9. Βρείτε τις τιμές του \(x\) για τις οποίες \(g(x) = 1/2\).
  10. Δείξτε ότι η \(C_g\) δεν έχει κοινά σημεία με την αρχή των αξόνων.
  11. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση
    • της \(f(x) = g(x-1)\) (οριζόντια μετατόπιση)
    • της \(f(x) = g(x+2)\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.
  12. Λύστε την εξίσωση \(g(x) = g(x^2)\) για \(x \in A\).
  13. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση
    • της \(f(x) = g(x-2)\) (οριζόντια μετατόπιση)
    • της \(f(x) = g(x+1)\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.
  14. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση
    • της \(f(x) = g(x)-1\) (κατακόρυφη μετατόπιση)
    • της \(f(x) = g(x)+2\)
    • της \(f(x) = g(x)-4\)
    • της \(f(x) = g(x)+4\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.

1.3 Μελέτη της συνάρτησης \(f(x) = \dfrac{a}{x}, \alpha \neq 0\)

Αυτή είναι η γενική μορφή της συνάρτησης της αντίστροφης ανάλογης σχέσης.

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Πεδίο Ορισμού: \(A = \mathbb{R}^*\).

  • Σύνολο Τιμών: \(f(A) = \mathbb{R}^*\).

  • Συμμετρία: Είναι περιττή συνάρτηση για κάθε \(\alpha \neq 0\), με κέντρο συμμετρίας το \(O(0,0)\).

  • Μονοτονία:

    • Αν \(\alpha > 0\), η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στα \((-\infty, 0)\) και \((0, +\infty)\).
    • Αν \(\alpha < 0\), η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στα \((-\infty, 0)\) και \((0, +\infty)\).

  • Ακρότατα: Δεν υπάρχουν.

  • Γραφική Παράσταση: Υπερβολή με ασύμπτωτες τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).

    • Αν \(\alpha > 0\): Κλάδοι στα τεταρτημόρια I και III.
    • Αν \(\alpha < 0\): Κλάδοι στα τεταρτημόρια II και IV.
ΣυμβουλήΟδηγία

Στην παραπάνω ενσωματωμένη μικροεφαρμογή geogebra

Επιλέξτε τον δρομέα και σύρετε για να αλλάξετε το α

Πατήστε Shift + > για να αυξήσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α.

Πατήστε Shift + < για να μειώσετε με βήμα 0,1 την τιμή του α.

Τι παρατηρείτε ότα α>ο και καθώς το α αυξάνεται;

Τι παρατηρείτε ότα α<ο και καθώς το α μειώνεται;

Παραδείγματα \(\ \ \ f(x)=\dfrac{α}{x}\)

  1. Έστω \(f(x) = 4/x\). Βρείτε την τιμή \(f(2)=2\).
  2. Αν η \(C_f\) διέρχεται από το \(M(2, 3)\), βρείτε το \(\alpha\): \(3 = \alpha/2 \Rightarrow \alpha = 6\).
  3. Για \(f(x) = -\dfrac{2}{x}\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
  4. Η συνάρτηση \(f(x) = \dfrac{10}{x}\) έχει ασύμπτωτη τον άξονα \(x'x\), αφού για πολύ μεγάλα \(x\), το \(f(x)\) πλησιάζει το 0.
  5. Για οποιοδήποτε \(\alpha\), η \(f\) είναι περιττή: \(f(-x) = \dfrac{a}{(-x)} = -f(x)\).

Ασκήσεις

  1. Αν \(f(x) = \dfrac{a}{x}\) και \(f(1) = 4\), βρείτε το \(\alpha\) και το \(f(8)\).
  2. Βρείτε το \(\alpha\) ώστε η \(C_f\) να διέρχεται από το σημείο \(A(-1, 2)\).
  3. Λύστε την εξίσωση \(\dfrac{4}{x} = x\).
  4. Λύστε την ανίσωση \(\dfrac{2}{x} > 1\).
  5. Για ποιες τιμές του \(\alpha\) η υπερβολή είναι γνησίως αύξουσα στο \((0, +\infty)\);.
  6. Βρείτε τα κοινά σημεία της \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) και \(g(x) = -x + 2\).
  7. Δείξτε ότι η \(f\) δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα \(y'y\).
  8. Προσδιορίστε τη μονοτονία της \(f(x) = -\dfrac{5}{x}\).
  9. Βρείτε το πεδίο ορισμού της \(h(x) = \sqrt{1 - f(x)}\) για \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).
  10. Αν \(f(x) = \dfrac{a}{x}\), δείξτε ότι \(f(x) \cdot f(\dfrac{1}{x}) = \alpha^2\).
  11. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση για α=2
    • της \(h(x) = f(x-1)\) (οριζόντια μετατόπιση)
    • της \(h(x) = f(x+2)\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.
  12. Λύστε την εξίσωση \(f(x) = f(x^2)\) για \(x \in A\) και α=3.
  13. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση για α=4
    • της \(h(x) = f(x-2)\) (οριζόντια μετατόπιση)
    • της \(h(x) = f(x+1)\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.
  14. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση για α=-2
    • της \(h(x) = f(x)-1\) (κατακόρυφη μετατόπιση)
    • της \(h(x) = f(x)+2\)
    • της \(h(x) = f(x)-4\)
    • της \(h(x) = f(x)+4\)
    • εξετάστε αν τέμνουν τους άξονες και βρείτα σημεία τομής.
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!