1 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης
1.1 Μονοτονία συνάρτησης
Θεωρία και Ορισμοί
- Γνησίως Αύξουσα: Μια συνάρτηση \(f\) λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \(\Delta\) του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε \(x_1, x_2 \in \Delta\) με \(x_1 < x_2\) ισχύει \(f(x_1) < f(x_2)\).
Γράφουμε \[ f^{\style{display: inline-block; transform: rotate(-90deg);}{\rightarrowtail}}Δ \]
- Γνησίως Φθίνουσα: Μια συνάρτηση \(f\) λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα \(\Delta\), όταν για οποιαδήποτε \(x_1, x_2 \in \Delta\) με \(x_1 < x_2\) ισχύει \(f(x_1) > f(x_2)\).
Γράφουμε \[ f^{\style{display: inline-block; transform: rotate(90deg);}{\rightarrowtail}}Δ \]
- Λόγος Μεταβολής: Η μονοτονία μπορεί να εξεταστεί και με τον λόγο μεταβολής
\(\lambda = \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}\).
Αν \(\lambda > 0\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα,
ενώ αν \(\lambda < 0\), είναι γνησίως φθίνουσα.
Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
1.1.1 Παραδείγματα
Γραμμική συνάρτηση: Η \(f(x) = ax + \beta\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\) αν \(a > 0\) και γνησίως φθίνουσα αν \(a < 0\).
Τετραγωνική συνάρτηση: Η \(f(x) = x^2\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \((-\infty, 0]\) και γνησίως αύξουσα στο \([0, +\infty)\).
Συνάρτηση ρίζα: Η \(f(x) = \sqrt{x}\) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της \([0, +\infty)\).
1.1.2 Ασκήσεις
- Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η \(f(x) = 2x + 1\).
- Να εξεταστεί η μονοτονία της \(g(x) = -x^3 - 2x + 1\).
- Να βρεθεί η μονοτονία της \(h(x) = x^2 - 4x + 3\) για \(x \le 2\).
- Να μελετηθεί η μονοτονία της \(f(x) = \sqrt{5-x} + 1\).
- Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση \(f(x) = \dfrac{2}{x}\) στα διαστήματα \((-\infty, 0)\) και \((0, +\infty)\).
- Να μελετηθεί η μονοτονία της \(f(x) = |x-3| + 5\).
- Να εξεταστεί η μονοτονία της συνάρτησης \(f(x) = \dfrac{x+1}{x+2}\).
- Να μελετηθεί η μονοτονία της \(f(x) = 1 - \sqrt{1-2x}\).
1.2 Ακρότατα Συνάρτησης
1.2.1 Θεωρία και Ορισμοί
Ολικό Μέγιστο: Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(A\) παρουσιάζει μέγιστο στο \(x_0 \in A\), όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(f(x) \le f(x_0)\). Η τιμή \(f(x_0)\) είναι η τεταγμένη του υψηλότερου σημείου της γραφικής παράστασης.
Ολικό Ελάχιστο: Μια συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει ελάχιστο στο \(x_0 \in A\), όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(f(x) \ge f(x_0)\). Η τιμή \(f(x_0)\) είναι η τεταγμένη του χαμηλότερου σημείου της γραφικής παράστασης.
Σημείωση: Μια συνάρτηση μπορεί να μην έχει ακρότατα, ειδικά αν είναι γνησίως μονότονη σε ανοικτό διάστημα.
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής.
Εκτός από τα ολικά ακρότατα υπάρχουν και τα τοπικά ακρότα (επόμενες τάξεις).
Μια συνάρτηση μπορεί να έχει
μόνο μέγιστο ή
μόνο ελάχιστο ή
και μέγιστο και ελάχιστο ή
ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
1.2.2 Παραδείγματα
Απόλυτη τιμή: Η \(f(x) = |2x| - 3\) έχει ελάχιστο στο \(x=0\) την τιμή \(f(0) = -3\).
Δευτεροβάθμια: Η \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) έχει ελάχιστο στο \(x=2\) την τιμή \(f(2) = -1\).
Με περιορισμένο Π.Ο.: Η \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) στο \(A=[1,5]\) έχει μέγιστο το \(f(1)=1\) και ελάχιστο το \(f(5)=\dfrac{1}{5}\).
Η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) με \(x\ne0\) δεν έχει ακρότατα. Είναι φθίνουσα στο \((-\infty,0)\) και στο \((0,+\infty)\)
Η κυβική συνάρτηση \(f(x) = x^3\): Η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\). Καθώς το πεδίο ορισμού της είναι ανοικτό διάστημα (\(-\infty, +\infty\)) και η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, δεν παρουσιάζει ακρότατα.
1.2.3 Ασκήσεις
- Να βρεθούν τα ακρότατα της \(f(x) = x^2 - 4x + 5\).
- Να βρεθούν τα ακρότατα της \(f(x) = 2|x-1| - 1\).
- Να εξεταστεί αν έχει ακρότατα η \(f(x) = 2 - \sqrt{x-1}\).
- Να βρεθεί το ακρότατο της \(f(x) = 2x^4 + x^2 + 1\).
- Να προσδιοριστούν τα ακρότατα της \(f(x) = -2(x-1)^2 - 1\).
- Να βρεθεί το ελάχιστο της \(f(x) = \sqrt{x-2} + 3\).
- Να βρεθούν τα ακρότατα της \(f(x) = (1-2x^2)(5+2x^2)\).
- Να αποδειχθεί ότι η \(f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) έχει ελάχιστο.
1.3 3. Συμμετρίες Συνάρτησης
1.3.1 Θεωρία και Ορισμοί
Άρτια Συνάρτηση: Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού \(A\) λέγεται άρτια αν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(-x \in A\) και \(f(-x) = f(x)\). Η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα \(y'y\).
Περιττή Συνάρτηση: Μια συνάρτηση \(f\) λέγεται περιττή αν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(-x \in A\) και \(f(-x) = -f(x)\). Η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\).
1.3.2 Παραδείγματα
Άρτια: Η \(f(x) = x^2\) είναι άρτια διότι \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\).
Περιττή: Η \(f(x) = x^3\) είναι περιττή διότι \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\).
Σύνθετη περιττή: Η \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) είναι περιττή διότι \(f(-x) = \dfrac{-x}{(-x)^2+1} = -f(x)\).
1.3.3 Ασκήσεις
- Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η \(f(x) = ax^3 + \beta x\).
- Να εξεταστεί η συμμετρία της \(f(x) = ax^4 + \beta x^2 + \gamma\).
- Να βρεθεί αν είναι άρτια η \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{x^2-4}\).
- Να εξετάσετε τη συνάρτηση \(f(x) = x^2 + |x|\) ως προς τη συμμετρία.
- Να εξεταστεί η \(f(x) = x^3 \cdot |x|\) αν είναι περιττή.
- Να βρεθεί η συμμετρία της \(f(x) = \dfrac{1}{|x|-1}\).
- Να εξετάσετε αν η \(f(x) = \sqrt{1-4x^2}\) είναι άρτια.
- Να αποδείξετε ότι η \(h(x) = \dfrac{2x-1}{2x+1}\) δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή στο \(\mathbb{R}\).
1.4 … και μερικές ακόμη για εξάσκηση
- Σε ποια διαστήματα οι κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι:
α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα.
Τι είδους ολικά ακρότατα έχουν οι παρακάτω συναρτήσεις και ποιά είναι αυτά.
Για τις παρακάτω συναρτήσεις να βρείτε ποιες είναι άρτιες και ποιες περττές.
Να συμπληρώσετε τα παρακάτω γραφήματα ώστε οι συναρτήσεις που θα παριστάνουν να είναι
α. Άρτιες
β. Περιττές
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!