22. Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση καμπύλης – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Η κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση μιας καμπύλης επιτρέπει τη δημιουργία νέων γραφικών παραστάσεων βασισμένων σε μια αρχική συνάρτηση αναφοράς, όπως η \(f(x) = x^2\) ή η \(f(x) = |x|\).

1.1 Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης

Κατακόρυφη Μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = \phi(x) + c\), με \(c > 0\), προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(\phi\) κατά \(c\) μονάδες προς τα πάνω.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = \phi(x) - c\), με \(c > 0\), προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(\phi\) κατά \(c\) μονάδες προς τα κάτω.

Συμβουλή

Μετακινήστε τον δρομέα πάνω - κάτω

Πως μετατοπίζεται η \(f(x)=φ(x)+c\) όταν το c είναι θετικό;
Πως μετατοπίζεται η \(f(x)=φ(x)+c\) όταν το c είναι αρνητικό;
Τι συμβαίνει όταν c=0

1.2 Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Οριζόντια Μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = \phi(x - c)\), με \(c > 0\), προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(\phi\) κατά \(c\) μονάδες προς τα δεξιά.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = \phi(x + c)\), με \(c > 0\), προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(\phi\) κατά \(c\) μονάδες προς τα αριστερά.

Συμβουλή

Μετακινήστε τον δρομέα δεξιά - αριστερά

Πως μετατοπίζεται η \(f(x)=φ(x+c)\) όταν το c είναι θετικό;
Πως μετατοπίζεται η \(f(x)=φ(x+c)\) όταν το c είναι αρνητικό;
Τι συμβαίνει όταν c=0

1.3 Συνδυασμένη Μετατόπιση

Συνδυασμένη Μετατόπιση

Όταν μια συνάρτηση έχει τη μορφή \(f(x) = \phi(x \pm c) \pm k\), η καμπύλη προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις (μία οριζόντια και μία κατακόρυφη) της αρχικής συνάρτησης \(\phi\).

1.4 Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Έστω η συνάρτηση \(\phi(x) = x^2\). Η \(f(x) = x^2 + 2\) είναι η παραβολή μετατοπισμένη κατά 2 μονάδες προς τα πάνω, ενώ η \(g(x) = x^2 - 2\) είναι μετατοπισμένη κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.
Παράδειγμα 2: Έστω η συνάρτηση \(\phi(x) = |x|\). Η γραφική παράσταση της \(f(x) = |x - 2| + 1\) προκύπτει μετατοπίζοντας τη \(\phi\) κατά 2 μονάδες δεξιά και 1 μονάδα πάνω.
Παράδειγμα 3: Για τη συνάρτηση \(\phi(x) = 2x^2 - 1\), ο τύπος της συνάρτησης που προκύπτει από μετατόπιση 3 μονάδες αριστερά και 2 μονάδες κάτω είναι \(f(x) = 2(x + 3)^2 - 3\).

1.5 Ασκήσεις

Δίνεται η συνάρτηση \(\phi(x) = -\dfrac{x^2}{2}\). Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις \(f(x) = -\dfrac{x^2}{2} + 2\) και \(g(x) = -\dfrac{x^2}{2} - 2\).
Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση \(\phi(x) = -x^2\), να παραστήσετε γραφικά τις \(f(x) = -(x - 2)^2\) και \(g(x) = -(x + 2)^2\).
Περιγράψτε πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της \(f(x) = (x - 1)^2 + 2\) από τη συνάρτηση \(\phi(x) = x^2\).
Δίνεται η συνάρτηση \(\phi(x) = |x|\). Να σχεδιάσετε τις \(f(x) = |x| + 2\) και \(g(x) = |x| - 2\).
Βάσει της \(\phi(x) = |x|\), να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των \(h(x) = |x + 3|\) και \(q(x) = |x - 4|\).
Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της \(f(x) = |x - 3| + 2\) εκτελώντας δύο διαδοχικές μετατοπίσεις στην αρχική \(y = |x|\).
Να σχεδιάσετε την \(g(x) = |x + 2| - 3\) ξεκινώντας από την \(y = |x|\) και εξηγώντας τα βήματα των μετατοπίσεων.
Δίνονται οι συναρτήσεις \(φ_1(x)=2x^2-3\) και \(φ_2(x)=0,5x^2+3\). Να σχεδιάσετε τις \(f(x) = φ_1(x) + 1\), \(g(x) = φ_1(x+2)\), \(h(x) = φ_2(x) - 1\) και \(r(x) = φ_2(x-2)\).
Για την παρακάτω πολύκλαδη συνάρτηση φ(x) να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις :

α. \(ƒ(x) = φ(x) -1\) και \(g(x) = φ(x) +1\)
β. \(h(x) = φ(x + 2)\) και \(r(x) = φ(x -2)\)
γ. \(w(x) = φ(x + 3) - 2\) και \(p(x) = φ(x - 3) + 2\).

.

Αντιγράψτε την εικόνα για να εργαστείτε

Έστω η συνάρτηση \(\phi(x) = x^2+3x - 1\). Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \(f\) που προκύπτει αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της \(\phi\) κατά 2 μονάδες αριστερά και 2 μονάδες κάτω.
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = x^2\). Να περιγράψετε τη μετατόπιση της συνάρτησης \(g(x) = (x - 3)^2 + 4\) σε σχέση με τη γραφική παράσταση της \(f(x)\).

Λύση:
- Το \((x - 3)\) δηλώνει οριζόντια μετατόπιση κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά.
- Το \(+ 4\) δηλώνει κατακόρυφη μετατόπιση κατά 4 μονάδες προς τα πάνω.

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = |x|\). Να περιγράψετε τη μετατόπιση της \(g(x) = |x + 2| - 5\) σε σχέση με την \(f(x)\).

Λύση:
- Το \(|x + 2| = |x - (-2)|\) δηλώνει οριζόντια μετατόπιση κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά.
- Το \(- 5\) δηλώνει κατακόρυφη μετατόπιση κατά 5 μονάδες προς τα κάτω.

Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης \(g(x)\) που προκύπτει αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της \(f(x) = x^2\) κατά 5 μονάδες προς τα αριστερά και 2 μονάδες προς τα πάνω.

Λύση:
- Για τη μετατόπιση 5 μονάδες αριστερά, αντικαθιστούμε το \(x\) με το \(x + 5\): \(f(x+5) = (x + 5)^2\).
- Για τη μετατόπιση 2 μονάδες πάνω, προσθέτουμε \(2\): \[\mathbf{g(x) = (x + 5)^2 + 2}\]

Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης \(g(x)\) που προκύπτει από τη μετατόπιση της \(f(x) = |x-4|\) κατά 4 μονάδες προς τα δεξιά και 1 μονάδα προς τα κάτω.
Δίνεται η ευθεία \(f(x) = 2x\). Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης \(g(x)\) που προκύπτει αν μετατοπίσουμε την \(f(x)\) κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και 2 μονάδες προς τα κάτω.
Να φέρετε τη συνάρτηση \(g(x) = x^2 + 6x + 5\) στη μορφή \(g(x) = (x - h)^2 + k\) και να περιγράψετε τις μετατοπίσεις της ως προς την αρχική συνάρτηση \(f(x) = x^2\).

Λύση:
- Συμπλήρωση τετραγώνου: \[g(x) = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4\]
- Μετατόπιση: Η καμπύλη μετατοπίζεται κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και 4 μονάδες προς τα κάτω.

Δίνεται η συνάρτηση \(g(x) = |x - 6| + 7\).

1. Ποιες μετατοπίσεις έχουν γίνει ως προς την \(f(x) = |x|\);
1. Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της γραφικής παράστασης;

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = |2x + 6| - 3\). Να γραφεί στη μορφή \(f(x) = a|x - h| + k\) και να περιγραφούν οι μετατοπίσεις της σε σχέση με τη συνάρτηση \(y = 2|x|\).

Λύση:
- Βγάζουμε το \(2\) κοινό παράγοντα μέσα από το απόλυτο: \[f(x) = |2(x + 3)| - 3 = 2|x + 3| - 3\]
- Μετατόπιση: Σε σχέση με τη \(y = 2|x|\), η καμπύλη έχει μετατοπιστεί 3 μονάδες προς τα αριστερά και 3 μονάδες προς τα κάτω.

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = (x - 1)^2 + 2\). Πώς πρέπει να μετατοπιστεί η \(f(x)\) ώστε να συμπέσει με τη συνάρτηση \(g(x) = (x + 2)^2 - 1\);

Λύση:
- Οριζόντια: Από το \(x - 1\) στο \(x + 2 = x - (-2)\), η μεταβολή είναι \(-2 - 1 = -3\). Άρα 3 μονάδες προς τα αριστερά.
- Κατακόρυφη: Από το \(+2\) στο \(-1\), η μεταβολή είναι \(-1 - 2 = -3\). Άρα 3 μονάδες προς τα κάτω.

Αν η γραφική παράσταση της \(f(x) = x^2 - 2x + 3\) μετατοπιστεί κατά 4 μονάδες προς τα δεξιά και 2 μονάδες προς τα κάτω, να βρεθεί ο νέος τύπος της συνάρτησης \(h(x)\).

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!