1 Αριθμητική πρόοδος
1.1 Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος
Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) ονομάζεται μια ακολουθία στην οποία κάθε όρος της, με εξαίρεση τον πρώτο, προκύπτει από τον προηγούμενο με την πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού \(\omega\). Ο σταθερός αυτός αριθμός \(\omega\) ονομάζεται διαφορά της προόδου.
1.2 Θεωρία και Ορισμοί
Αναδρομικός Τύπος: Μια ακολουθία \((\alpha_\nu)\) είναι αριθμητική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει η σχέση: \(\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + \omega\) ή ισοδύναμα \(\alpha_{\nu+1} - \alpha_\nu = \omega\) για κάθε θετικό ακέραιο \(\nu\).
Γενικός Όρος (\(\alpha_\nu\)): Ο \(\nu\)-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(\alpha_1\) και διαφορά \(\omega\) δίνεται από τον τύπο: \(\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\omega\). Ο τύπος αυτός επιτρέπει την εύρεση οποιουδήποτε όρου αν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά.
Αριθμητικός Μέσος: Τρεις αριθμοί \(\alpha, \beta, \gamma\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ο μεσαίος όρος είναι ο αριθμητικός μέσος των άλλων δύο, δηλαδή: \(\beta = \frac{\alpha + \gamma}{2}\) ή \(2\beta = \alpha + \gamma\).
Άθροισμα \(\nu\) Πρώτων Όρων (\(S_\nu\)): Το άθροισμα των πρώτων \(\nu\) όρων μιας Α.Π. υπολογίζεται από τους τύπους:
- \(S_\nu = \dfrac{\nu}{2}(\alpha_1 + \alpha_\nu)\).
- \(S_\nu = \dfrac{\nu}{2}[2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega]\).
Είδη Προόδου: Αν \(\omega > 0\) η πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα, αν \(\omega < 0\) είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν \(\omega = 0\) η πρόοδος είναι σταθερή.
1.3 Παραδείγματα διαφόρων περιπτώσεων
- Απλή Α.Π.: Στην ακολουθία 3, 5, 7, … έχουμε \(\alpha_1 = 3\) και \(\omega = 5 - 3 = 2\).
- Εύρεση όρου: Σε Α.Π. με \(\alpha_1 = 2\) και \(\omega = 5\), ο 15ος όρος είναι \(\alpha_{15} = 2 + (15 - 1) \cdot 5 = 72\).
- Παρεμβολή όρων: Για να παρεμβάλουμε 5 αριθμούς ανάμεσα στο 10 και το 64 ώστε να έχουμε Α.Π., θεωρούμε \(\alpha_1 = 10\) και \(\alpha_7 = 64\) (αφού έχουμε \(1+5+1=7\) όρους συνολικά), οπότε βρίσκουμε \(\omega = 9\) και οι όροι είναι 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64.
των πρώτων \(\nu\) όρων μιας ακολουθίας (\(S_\nu\)) εξαρτάται από το είδος της προόδου στην οποία ανήκουν οι όροι της:
1. Αριθμητική Πρόοδος
Σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο \(\alpha_1\), διαφορά \(\omega\) και \(\nu\)-οστό όρο \(\alpha_\nu\), το άθροισμα των πρώτων \(\nu\) όρων δίνεται από δύο βασικούς τύπους:
Όταν γνωρίζουμε τον πρώτο και τον τελευταίο (\(\nu\)-οστό) όρο: \(S_\nu = \dfrac{\alpha_1 + \alpha_\nu}{2} \cdot \nu\).
Όταν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά \(\omega\): \(S_\nu = \dfrac{2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega}{2} \cdot \nu\).
Ειδική Περίπτωση: Το άθροισμα των πρώτων \(\nu\) διαδοχικών θετικών ακεραίων (\(1 + 2 + 3 + ... + \nu\)) υπολογίζεται από τον τύπο: \(S_\nu = \dfrac{\nu(\nu+1)}{2}\).
2. Γενική Περίπτωση Ακολουθίας
Για οποιαδήποτε ακολουθία \((\alpha_\nu)\), το άθροισμα των πρώτων \(\nu\) όρων ορίζεται απλώς ως το άθροισμα των τιμών τους: \(S_\nu = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + ... + \alpha_\nu\).
Αν μια ακολουθία ορίζεται αναδρομικά, όπως για παράδειγμα η ακολουθία Fibonacci (\(1, 1, 2, 3, 5, ...\)), ο υπολογισμός του αθροίσματος συχνά απαιτεί την εύρεση κάθε όρου ξεχωριστά πριν προστεθούν, καθώς δεν υπάρχει πάντα ένας απλός κλειστός τύπος στο επίπεδο των βασικών Μαθηματικών.
των πρώτων \(\nu\) όρων μιας αριθμητικής προόδου (\(S_\nu\)) στηρίζεται σε μια έξυπνη μέθοδο πρόσθεσης των όρων της ακολουθίας, η οποία συχνά αποδίδεται στον μαθηματικό Gauss.
τα βήματα για την απόδειξη των δύο βασικών τύπων:
1. Εξαγωγή του πρώτου τύπου: \(S_\nu = \dfrac{\alpha_1 + \alpha_\nu}{2} \cdot \nu\)
Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην ιδιότητα ότι το άθροισμα δύο όρων που “ισαπέχουν” από τους άκρους όρους είναι σταθερό και ίσο με το άθροισμα των άκρων όρων.
Βήμα 1: Γράφουμε το άθροισμα των \(\nu\) όρων με την κανονική τους σειρά: \(S_\nu = \alpha_1 + (\alpha_1 + \omega) + (\alpha_1 + 2\omega) + \dots + \alpha_\nu\) (Σχέση 1)
Βήμα 2: Γράφουμε το ίδιο άθροισμα με την αντίστροφη σειρά, ξεκινώντας από τον τελευταίο όρο \(\alpha_\nu\) και αφαιρώντας κάθε φορά τη διαφορά \(\omega\): \(S_\nu = \alpha_\nu + (\alpha_\nu - \omega) + (\alpha_\nu - 2\omega) + \dots + \alpha_1\) (Σχέση 2)
Βήμα 3: Προσθέτουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη. Παρατηρούμε ότι σε κάθε ζευγάρι όρων, οι διαφορές \(\omega\) αλληλοαναιρούνται (π.χ. \((\alpha_1 + \omega) + (\alpha_\nu - \omega) = \alpha_1 + \alpha_\nu\)): \(2S_\nu = (\alpha_1 + \alpha_\nu) + (\alpha_1 + \alpha_\nu) + \dots + (\alpha_1 + \alpha_\nu)\)
Βήμα 4: Επειδή έχουμε συνολικά \(\nu\) τέτοια ζεύγη, το άθροισμα στο δεξί μέλος είναι \(\nu \cdot (\alpha_1 + \alpha_\nu)\): \(2S_\nu = \nu(\alpha_1 + \alpha_\nu)\)
Συμπέρασμα: Διαιρώντας με το 2, προκύπτει ο τύπος: \(S_\nu = \dfrac{\alpha_1 + \alpha_\nu}{2} \cdot \nu\)
2. Εξαγωγή του δεύτερου τύπου: \(S_\nu = \dfrac{2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega}{2} \cdot \nu\)
Αυτός ο τύπος είναι εξαιρετικά χρήσιμος όταν δεν γνωρίζουμε τον τελευταίο όρο \(\alpha_\nu\), αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά \(\omega\) και τον πρώτο όρο \(\alpha_1\).
Βήμα 1: Ξεκινάμε από τον προηγούμενο τύπο \(S_\nu = \dfrac{\nu}{2} (\alpha_1 + \alpha_\nu)\).
Βήμα 2: Αντικαθιστούμε τον τελευταίο όρο \(\alpha_\nu\) με τον τύπο του γενικού όρου της αριθμητικής προόδου, που είναι: \(\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\omega\)
Βήμα 3: Η αντικατάσταση δίνει: \(S_\nu = \dfrac{\nu}{2} [\alpha_1 + (\alpha_1 + (\nu - 1)\omega)]\)
Βήμα 4: Κάνοντας την απλή πρόσθεση \(\alpha_1 + \alpha_1 = 2\alpha_1\) μέσα στην παρένθεση, καταλήγουμε στον τύπο: \(S_\nu = \dfrac{2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega}{2} \cdot \nu\)
Ειδική Περίπτωση: Άθροισμα των πρώτων \(\nu\) φυσικών αριθμών
Για την ακολουθία \(1, 2, 3, \dots, \nu\) (όπου \(\alpha_1=1\) και \(\alpha_\nu=\nu\)), ο τύπος απλοποιείται στην πασίγνωστη μορφή: \(S = \dfrac{\nu(\nu+1)}{2}\)
Έστω η ακολουθία αριθμών 1, 5, 9, … και θέλουμε να βρούμε το άθροισμα των πρώτων 100 όρων της (\(S_{100}\)).
Βήμα 1: Προσδιορισμός στοιχείων. Ο πρώτος όρος είναι \(\alpha_1 = 1\) και η διαφορά είναι \(\omega = 5 - 1 = 4\).
Βήμα 2: Επιλογή τύπου. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: \(S_\nu = \dfrac{\nu}{2}[2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega]\).
Βήμα 3: Αντικατάσταση και πράξεις. Για \(\nu = 100\): \(S_{100} = \dfrac{100}{2} [2 \cdot 1 + (100 - 1) \cdot 4]\). \(S_{100} = 50 \cdot [2 + 99 \cdot 4] = 50 \cdot [2 + 396]\). \(S_{100} = 50 \cdot 398 = \mathbf{19.900}\).
Εύρεση όρου μέσω του αθροίσματος
Αν μας δίνεται ο τύπος του αθροίσματος και θέλουμε να βρούμε έναν συγκεκριμένο όρο, χρησιμοποιούμε τη σχέση \(\alpha_\nu = S_\nu - S_{\nu-1}\).
Παράδειγμα: Αν \(S_\nu = 2\nu^2 - 6\nu\), τότε ο πρώτος όρος είναι \(\alpha_1 = S_1 = 2(1)^2 - 6(1) = -4\).
Για να βρούμε τον γενικό όρο \(\alpha_\nu\), υπολογίζουμε το \(S_{\nu-1} = 2(\nu-1)^2 - 6(\nu-1)\) και αφαιρούμε: \(\alpha_\nu = S_\nu - S_{\nu-1} = 4\nu - 8\).
1.4 Ασκήσεις
Να βρεθεί ο 31ος όρος της αριθμητικής προόδου: 1, 4, 7, ….
Να βρεθεί ο 12ος όρος της αριθμητικής προόδου: -2, -7, -12, ….
Σε μια Α.Π. \((\alpha_\nu)\) ισχύει \(\alpha_1 = -15\) και \(\alpha_7 = 9\). Να βρείτε τη διαφορά \(\omega\) και τον 11ο όρο της προόδου.
Σε μια Α.Π. \((\alpha_\nu)\) ισχύει \(\alpha_8 = -3\) και \(\omega = -2\). Να βρείτε τον πρώτο όρο \(\alpha_1\) και τον 19ο όρο.
Σε μια Α.Π. \((\alpha_\nu)\) είναι \(\alpha_5 = 11\) και \(\alpha_9 = 31\). Να βρείτε τον πρώτο όρο \(\alpha_1\) και τη διαφορά \(\omega\).
Να υπολογίσετε το άθροισμα: \(1 + 5 + 9 + ... + 197\).
Να βρείτε τον \(x\) ώστε ο αριθμός 11 να είναι ο αριθμητικός μέσος των \(1 - 5x\) και \(2x + 3\).
Δίνεται η Α.Π. 2, 7, 12, … Να εξετάσετε αν υπάρχει όρος της που να ισούται με 209.
Να βρείτε τον 200ό όρο στην Α.Π. με \(\alpha_6 = 30\) και \(\alpha_{50} = 160\).
Να εξετάσετε αν η ακολουθία με γενικό όρο \(\alpha_\nu = 2\nu + 1\) είναι αριθμητική πρόοδος.
Να βρείτε το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της Α.Π.: 5, 10, 15, ….
Να βρείτε το άθροισμα των πολλαπλασίων του 4 που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 19 και 50.
Πόσους πρώτους όρους της Α.Π. 52, 47, 42, … πρέπει να προσθέσουμε για να έχουν άθροισμα 90;.
Αν οι αριθμοί \(\alpha, \beta, \gamma\) είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί \(x = \alpha^2 - \beta\gamma\), \(y = \beta^2 - \alpha\gamma\) και \(z = \gamma^2 - \alpha\beta\) είναι επίσης διαδοχικοί όροι Α.Π..
Σε μια Α.Π. \((\alpha_\nu)\) ισχύει \(\alpha_4 + \alpha_{12} = 0\) και \(\alpha_7 + \alpha_{19} = -30\). Να βρείτε τον πρώτο όρο \(\alpha_1\) και τη διαφορά \(\omega\).
Να βρείτε τον ν-οστό όρο των αριθμητικών προόδων:
- i). 4, 8, 12, …
- ii). 10, 8, 6, …
- iii). 3, 7, 11, …
- iv). 1, 1.5, 2, …
- v). -2, -5, -8, …
- Να βρείτε τον ζητούμενο όρο σε καθεμία από τις αριθμητικές προόδους:
- Τον \(\alpha_{12}\) της -3, 1, 5, …
- Τον \(\alpha_{15}\) της 20, 17, 14, …
- Τον \(\alpha_{25}\) της 5, 12, 19, …
- Τον \(\alpha_{30}\) της 10, 20, 30, …
- Τον \(\alpha_{40}\) της \(\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{3}{2}, ...\)
- Τον \(\alpha_{50}\) της \(\dfrac{1}{3}, 1, \dfrac{5}{3}, ...\)
- Απαντήστε στα παρακάτω
- Αν ο 5ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 15 και ο 8ος όρος είναι 24, να βρείτε τον 1ο όρο και τη διαφορά της προόδου.
- Ομοίως, αν είναι \(\alpha_4 = 20\) και \(\alpha_9 = 45\).
- Ομοίως, αν είναι \(\alpha_3 = 10\) και \(\alpha_7 = 22\).
- Απαντήστε στα παρακάτω
- Ο 4ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι -8 και ο 12ος όρος της είναι 8. Να βρείτε τον 40ο όρο της προόδου.
- Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι \(\alpha_7 = 40\) και \(\alpha_{20} = 105\), να βρείτε τον \(\alpha_{30}\).
- Απαντήστε στα παρακάτω
- Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με \(\alpha_1 = 3\) και \(\omega = 4\) ισούται με 103;
- Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με \(\alpha_1 = 50\) και \(\omega = -4\) ισούται με -50;
- Απαντήστε στα παρακάτω
- Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 20 και -60.
- Να βρείτε για ποια τιμή του x ο αριθμητικός μέσος των \(3x+2\) και \(2x+8\) είναι ίση με 15.
Αν δύο αριθμοί διαφέρουν κατά 12 και ο αριθμητικός τους μέσος είναι 18, να βρείτε τους δύο αυτούς αριθμούς.
Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 30 όρων των αριθμητικών προόδων:
- 2, 5, 8, …
- 1, 3, 5, …
- 5, 10, 15, …
- -5, 0, 5, …
- Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 60 όρων των αριθμητικών προόδων:
- 3, 1, -1, …
- \(-\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{2}, ...\)
- Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:
- \(2+6+10+...+202\)
- \(5+8+11+...+101\)
- \(-5-8-11-...-101\)
- Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από καθεμία από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους για να έχουν άθροισμα 200;
- 2, 6, 10, …
- 10, 20, 30, …
Μια σκάλα έχει 20 σκαλοπάτια. Το πρώτο σκαλοπάτι έχει ύψος 15 εκατοστά και κάθε επόμενο σκαλοπάτι είναι 1 εκατοστό ψηλότερο από το προηγούμενο. Πόσο ύψος έχει το 20ό σκαλοπάτι και ποιο είναι το συνολικό ύψος όλων των σκαλοπατιών μαζί;
Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι \(\alpha_\nu = 5 + 3\nu\). Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο \(\alpha_1\) και τη διαφορά \(\omega\).
Να βρείτε το άθροισμα:
- των πρώτων 150 περιττών αριθμών.
- των πρώτων 250 θετικών άρτιων.
- όλων των περιττών αριθμών μεταξύ 20 και 400.
- Να βρείτε το άθροισμα:
- των πολλαπλασίων του 4 μεταξύ 1 και 250.
- των πολλαπλασίων του 6 μεταξύ 20 και 300.
- Να βρείτε το άθροισμα:
- των πρώτων 25 όρων της ακολουθίας \(\alpha_\nu = 3\nu + 2\).
- των πρώτων 35 όρων της ακολουθίας \(\alpha_\nu = -2\nu + 10\).
Να βρείτε το άθροισμα των ακεραίων από 1 μέχρι 150 που δεν είναι πολλαπλάσια του 3 ή του 5.
Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου 2, 6, 10, 14, … που απαιτούνται, ώστε το άθροισμά τους να ξεπερνά το 5000.
Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, στον οποίο τα \(\alpha_1, \omega, \nu, \alpha_\nu, S_\nu\) ανήκουν σε κάθε γραμμή στην ίδια αριθμητική πρόοδο:
| \(\alpha_1\) | \(\omega\) | \(\nu\) | \(\alpha_\nu\) | \(S_\nu\) |
|---|---|---|---|---|
| 100 | -5 | 10 | ||
| 4 | 20 | 80 | ||
| 4 | 15 | 600 | ||
| 3 | 10 | 53 |
- Ένα αμφιθέατρο έχει 25 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά υπάρχουν 20 θέσεις και στην τελευταία 140 θέσεις. Το πλήθος των θέσεων αυξάνει ανά σειρά κατά τον ίδιο αριθμό. Να βρείτε πόσες θέσεις έχει συνολικά το αμφιθέατρο και πόσες θέσεις έχει η 13η σειρά.
Λύση
Δεδομένα:
- Αριθμός όρων (σειρών): \(\nu = 25\)
- Πρώτος όρος (1η σειρά): \(\alpha_1 = 20\)
- Τελευταίος όρος (25η σειρά): \(\alpha_{25} = 140\)
Υπολογισμός συνολικών θέσεων (\(S_{25}\)): Χρησιμοποιούμε τον τύπο του αθροίσματος αριθμητικής προόδου: \[S_\nu = \frac{\nu (\alpha_1 + \alpha_\nu)}{2}\] \[S_{25} = \frac{25 (20 + 140)}{2} = \frac{25 \cdot 160}{2} = 25 \cdot 80 = 2.000\]
Εύρεση της διαφοράς (\(\omega\)): Χρησιμοποιούμε τον τύπο του γενικού όρου \(\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\omega\): \[140 = 20 + (25 - 1)\omega\] \[120 = 24\omega \Rightarrow \omega = \frac{120}{24} = 5\]
Υπολογισμός θέσεων στη 13η σειρά (\(\alpha_{13}\)): \[\alpha_{13} = \alpha_1 + (13 - 1)\omega\] \[\alpha_{13} = 20 + 12 \cdot 5 = 20 + 60 = 80\]
Μεταξύ των αριθμών 5 και 65 θέλουμε να παρεμβάλουμε άλλους 5 αριθμούς έτσι ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου. Να βρεθούν οι 5 αυτοί αριθμοί.
Να υπολογίσετε το άθροισμα: \(S = 2 + \dfrac{2\nu-2}{\nu} + \dfrac{2\nu-4}{\nu} + \dots + \dfrac{2}{\nu}\).
Λύση
Αναγνώριση της ακολουθίας:
Οι όροι είναι: \(2, \dfrac{2\nu-2}{\nu}, \dfrac{2\nu-4}{\nu}, \dots, \dfrac{2}{\nu}\).
Αν γράψουμε τον πρώτο όρο ως \(2 = \dfrac{2\nu}{\nu}\), έχουμε:
\(\dfrac{2\nu}{\nu}, \dfrac{2\nu-2}{\nu}, \dfrac{2\nu-4}{\nu}, \dots, \dfrac{2}{\nu}\).
Προσδιορισμός στοιχείων προόδου:
- Πρώτος όρος (\(\alpha_1\)): \(\dfrac{2\nu}{\nu} = 2\).
- Διαφορά (\(\omega\)): \(\dfrac{2\nu-2}{\nu} - \dfrac{2\nu}{\nu} = -\dfrac{2}{\nu}\).
- Τελευταίος όρος (\(\alpha_n\)): \(\dfrac{2}{\nu}\).
Εύρεση πλήθους όρων (\(n\)):
Χρησιμοποιούμε τον τύπο
\(\alpha_n = \alpha_1 + (n-1)\omega\):
\(\dfrac{2}{\nu} = 2 + (n-1)(-\dfrac{2}{\nu})\)
\(\dfrac{2}{\nu} - 2 = (n-1)(-\dfrac{2}{\nu})\)
\(\dfrac{2-2\nu}{\nu} = (n-1)(-\dfrac{2}{\nu})\)
Πολλαπλασιάζουμε με \(-\dfrac{\nu}{2}\):
\(n-1 = \dfrac{2\nu-2}{2} = \nu-1 \Rightarrow n = \nu\).
Υπολογισμός αθροίσματος (\(S_n\)):
\(S_n = \dfrac{n}{2} (\alpha_1 + \alpha_n)\)
\(S_n = \dfrac{\nu}{2} \left(2 + \dfrac{2}{\nu}\right) = \dfrac{\nu}{2} \left(\dfrac{2\nu+2}{\nu}\right)\)
\(S_n = \dfrac{\nu(2\nu+2)}{2\nu} = \dfrac{2\nu+2}{2} = \nu+1\).
Ένας εργάτης τοποθετεί πλακάκια σε έναν τοίχο. Στην πρώτη σειρά βάζει 40 πλακάκια και σε κάθε επόμενη σειρά βάζει 3 πλακάκια λιγότερα. Αν ο εργάτης διαθέτει 250 πλακάκια, πόσες σειρές μπορεί να φτιάξει συνολικά;
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!