11. Η εξίσωση \(2^{ου}\) βαθμού

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

9 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

12 Ιούλιος 2026

1 Η εξίσωση \(2^{ου}\) βαθμού

1.1 Η Εξίσωση \(\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0, \alpha \neq 0\)

1.1.1 1. Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμός: Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή \(\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0\), όπου \(\alpha, \beta, \gamma\) είναι πραγματικοί αριθμοί και \(\alpha \neq 0\), ονομάζεται δευτεροβάθμια εξίσωση ή εξίσωση 2ου βαθμού.

  • Συντελεστές: Ο αριθμός \(\alpha\) είναι ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου, ο \(\beta\) είναι ο συντελεστής του πρωτοβάθμιου όρου και ο \(\gamma\) είναι ο σταθερός όρος.

  • Διακρίνουσα (\(\Delta\)): Η ποσότητα \(\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma\) καθορίζει το πλήθος των ριζών της εξίσωσης.

  • Επίλυση:

    • Αν \(\Delta > 0\), η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες: \(x_{1,2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}\).
    • Αν \(\Delta = 0\), η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα: \(x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}\).
    • Αν \(\Delta < 0\), η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (είναι αδύνατη στο \(\mathbb{R}\)).

  • Τύποι Vieta: Το άθροισμα (\(S\)) και το γινόμενο (\(P\)) των ριζών δίνονται από τους τύπους \(S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha}\) και \(P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha}\). Η εξίσωση μπορεί να γραφεί και στη μορφή \(x^2 - Sx + P = 0\).

1.1.2 Παραδείγματα

  1. Ελλιπής μορφή (\(\gamma=0\)): \(x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0\) ή \(x = 2\).
  2. Ελλιπής μορφή (\(\beta=0\)): \(3x^2 = 12 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\).
  3. Πλήρης μορφή (\(\Delta > 0\)): \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Εδώ \(\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1\). Οι ρίζες είναι \(x_1 = 3\) και \(x_2 = 2\).
  4. Διπλή ρίζα (\(\Delta = 0\)): \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Εδώ \(\Delta = 0\), άρα \(x = -\dfrac{-6}{2} = 3\).



1.2 Διτετράγωνη

Σημείωση

Η επίλυση της διτετράγωνης εξίσωσης (της μορφής \(\alpha x^4 + \beta x^2 + \gamma = 0\), με \(\alpha \neq 0\)) πραγματοποιείται με τη μέθοδο της αντικατάστασης, χρησιμοποιώντας μια βοηθητική μεταβλητή (όπως το \(\omega\)), ώστε η εξίσωση να αναχθεί σε δευτεροβάθμια.

Ακολουθούν τα βήματα της διαδικασίας:

  1. Θέση βοηθητικής μεταβλητής: Θέτουμε \(\omega = x^2\). Επειδή το \(x^2\) εκπροσωπεί το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού, πρέπει απαραίτητα να ισχύει ο περιορισμός \(\omega \geq 0\).
  2. Μετασχηματισμός της εξίσωσης: Επειδή \(x^4 = (x^2)^2 = \omega^2\), η αρχική εξίσωση παίρνει τη μορφή: \[\alpha \omega^2 + \beta \omega + \gamma = 0\] Αυτή ονομάζεται επιλύουσα της διτετράγωνης εξίσωσης.
  3. Επίλυση της δευτεροβάθμιας ως προς \(\omega\): Λύνουμε την εξίσωση \(\alpha \omega^2 + \beta \omega + \gamma = 0\) χρησιμοποιώντας τη διακρίνουσα (\(\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma\)) και τους γνωστούς τύπους για να βρούμε τις ρίζες \(\omega_1\) και \(\omega_2\).
  4. Υπολογισμός του \(x\) (Αντικατάσταση): Για κάθε τιμή του \(\omega\) που βρήκαμε, επιστρέφουμε στη σχέση \(\omega = x^2\) και λύνουμε ως προς \(x\):
    • Αν μια ρίζα \(\omega\) είναι θετική (\(\omega > 0\)), τότε προκύπτουν δύο αντίθετες πραγματικές ρίζες για το \(x\): \(x = \pm \sqrt{\omega}\).
    • Αν μια ρίζα \(\omega\) είναι μηδέν (\(\omega = 0\)), τότε προκύπτει η ρίζα \(x = 0\) (διπλή).
    • Αν μια ρίζα \(\omega\) είναι αρνητική (\(\omega < 0\)), τότε η εξίσωση \(x^2 = \omega\) είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Πλήθος Ριζών:

Το πλήθος των πραγματικών ριζών της διτετράγωνης εξίσωσης εξαρτάται από το είδος των ριζών της επιλύουσας:

  • Αν η επιλύουσα έχει δύο θετικές ρίζες, η διτετράγωνη έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες.

  • Αν η επιλύουσα έχει μία θετική και μία αρνητική ρίζα, η διτετράγωνη έχει δύο πραγματικές ρίζες.

  • Αν η επιλύουσα έχει δύο αρνητικές ρίζες ή δεν έχει πραγματικές ρίζες (\(\Delta < 0\)), η διτετράγωνη δεν έχει πραγματικές ρίζες.

1.2.1 Παράδειγμα

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα επίλυσης διτετράγωνης εξίσωσης είναι η εξίσωση \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\).

Ακολουθούν τα αναλυτικά βήματα της επίλυσης:

  1. Θέση βοηθητικής μεταβλητής: Επειδή η εξίσωση περιέχει το \(x^4\) (που είναι ίσο με \((x^2)^2\)) και το \(x^2\), την ονομάζουμε διτετράγωνη. Θέτουμε \(x^2 = u\), οπότε η εξίσωση μετασχηματίζεται σε δευτεροβάθμια ως προς \(u\) (την ονομαζόμενη επιλύουσα): \[u^2 - 5u - 36 = 0\]

  2. Επίλυση της δευτεροβάθμιας ως προς \(u\):

    • Υπολογισμός Διακρίνουσας (\(\Delta\)): Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma\) με \(\alpha=1, \beta=-5\) και \(\gamma=-36\). \[\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\]
    • Εύρεση Ριζών του \(u\): Επειδή \(\Delta > 0\), η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες: \[u_{1,2} = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm 13}{2}\] Άρα προκύπτουν: \(u_1 = 9\) και \(u_2 = -4\).

  3. Επιστροφή στη μεταβλητή \(x\) (Αντικατάσταση):

    • Για την τιμή \(u_1 = 9\), έχουμε: \[x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{9} \Rightarrow \mathbf{x = 3 \text{ ή } x = -3}\]
    • Για την τιμή \(u_2 = -4\), έχουμε: \[x^2 = -4\] Αυτή η περίπτωση είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, καθώς το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι πάντα μη αρνητικό (\(x^2 \geq 0\)).

  4. Τελικές Λύσεις: Οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί \(3\) και \(-3\).

Ένα άλλο παράδειγμα είναι η εξίσωση \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\), όπου θέτοντας \(x^2 = y\) προκύπτουν οι λύσεις \(y = 2\) ή \(y = 4\).

Στην περίπτωση αυτή, επειδή και οι δύο τιμές του \(y\) είναι θετικές, προκύπτουν τέσσερις πραγματικές ρίζες: \(x = \pm \sqrt{2}\) και \(x = \pm 2\).

1.3 τύποι του Vieta

Σημείωση

Οι τύποι του Vieta συνδέουν τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης (\(\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0, \alpha \neq 0\)) απευθείας με τους συντελεστές της και είναι εξαιρετικά χρήσιμοι για την εύρεση των ριζών, την κατασκευή εξισώσεων και τον υπολογισμό παραστάσεων.

1. Οι Βασικοί Τύποι

Αν \(x_1\) και \(x_2\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης, τότε το άθροισμα (\(S\)) και το γινόμενο (\(P\)) των ριζών δίνονται από τις σχέσεις:

  • Άθροισμα: \(S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha}\).

  • Γινόμενο: \(P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha}\).

Με τη βοήθεια αυτών των τύπων, η αρχική εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί στην ισοδύναμη μορφή: \[\mathbf{x^2 - Sx + P = 0}\].

2. Πώς βρίσκουμε τις ρίζες

Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι χρήσης των τύπων για την εύρεση των ριζών:

  • Όταν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο: Αν ξέρουμε ότι δύο αριθμοί έχουν άθροισμα \(S\) και γινόμενο \(P\), τότε αυτοί οι αριθμοί είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης \(x^2 - Sx + P = 0\).
    • Παράδειγμα: Για να βρούμε δύο αριθμούς με άθροισμα \(S=4\) και γινόμενο \(P=2\), λύνουμε την εξίσωση \(x^2 - 4x + 2 = 0\), η οποία δίνει τις ρίζες \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2}\).
  • Διαισθητική εύρεση (για απλές περιπτώσεις): Σε πολλές ασκήσεις (κυρίως όταν \(\alpha=1\)), μπορούμε να βρούμε τις ρίζες «με το μάτι», αναζητώντας δύο αριθμούς που το άθροισμά τους να είναι ο αντίθετος του \(\beta\) και το γινόμενό τους ο σταθερός όρος \(\gamma\).

3. Άλλες Εφαρμογές

Οι τύποι Vieta χρησιμοποιούνται επίσης για:

  • Υπολογισμό συμμετρικών παραστάσεων: Μπορούμε να βρούμε την τιμή παραστάσεων όπως το \(x_1^2 + x_2^2\) ή το \(x_1^3 + x_2^3\) χωρίς να λύσουμε την εξίσωση, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις:

    • \(x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P\).
    • \(x_1^3 + x_2^3 = S(S^2 - 3P)\).

  • Προσδιορισμό προσήμου των ριζών: Χωρίς να λύσουμε την εξίσωση, μπορούμε να καταλάβουμε αν οι ρίζες είναι ομόσημες ή ετερόσημες (από το πρόσημο του \(P\)) και ποια είναι η απόλυτα μεγαλύτερη (από το πρόσημο του \(S\)).

  • Κατασκευή νέας εξίσωσης: Αν γνωρίζουμε τις ρίζες μιας εξίσωσης, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια νέα εξίσωση που οι ρίζες της να είναι, για παράδειγμα, οι αντίστροφες ή οι αντίθετες των αρχικών.

1.4 Με απόλυτες τιμές

Σημείωση

Η επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού που περιέχουν απόλυτες τιμές γίνεται συνήθως με δύο βασικές μεθόδους, ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης: τη μέθοδο της αντικατάστασης (βοηθητική μεταβλητή) και τη μέθοδο των περιπτώσεων (διαστήματα προσήμου).

1. Μέθοδος Αντικατάστασης (Βοηθητική Μεταβλητή)

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν ο άγνωστος εμφανίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε η εξίσωση να μπορεί να πάρει τη μορφή \(\alpha |f(x)|^2 + \beta |f(x)| + \gamma = 0\). Για την επίλυση, βασιζόμαστε στην ιδιότητα ότι \(x^2 = |x|^2\) για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\).

Βήματα επίλυσης:

  1. Μετασχηματισμός: Γράφουμε τον όρο του τετραγώνου ως απόλυτη τιμή στο τετράγωνο (π.χ. \(x^2 \rightarrow |x|^2\) ή \((x-1)^2 \rightarrow |x-1|^2\)).

  2. Θέση μεταβλητής: Θέτουμε μια νέα μεταβλητή, έστω \(\omega = |f(x)|\), με τον απαραίτητο περιορισμό \(\omega \geq 0\), καθώς η απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητική.

  3. Επίλυση δευτεροβάθμιας: Λύνουμε τη νέα εξίσωση \(\alpha \omega^2 + \beta \omega + \gamma = 0\) ως προς \(\omega\).

  4. Αντικατάσταση και τελικές λύσεις:

    • Για κάθε λύση \(\omega \geq 0\), λύνουμε την εξίσωση \(|f(x)| = \omega\), η οποία δίνει \(f(x) = \omega\) ή \(f(x) = -\omega\).
    • Αν προκύψει \(\omega < 0\), η περίπτωση αυτή απορρίπτεται ως αδύνατη.

Παράδειγμα: Στην εξίσωση \(x^2 - 3|x| + 2 = 0\), ϑέτουμε \(|x| = \omega\) (\(\omega \geq 0\)) και έχουμε \(\omega^2 - 3\omega + 2 = 0\). Οι ρίζες είναι \(\omega = 1\) ή \(\omega = 2\) (και οι δύο δεκτές). Άρα \(|x| = 1 \Rightarrow x = \pm 1\) και \(|x| = 2 \Rightarrow x = \pm 2\).

2. Μέθοδος των Περιπτώσεων (Εξαγωγή Απολύτων)

Αυτή η μέθοδος είναι γενικότερη και εφαρμόζεται όταν υπάρχουν διαφορετικά απόλυτα ή όταν ο άγνωστος βρίσκεται και εκτός απολύτου χωρίς να επιτρέπεται εύκολη αντικατάσταση.

Βήματα επίλυσης:

  1. Εύρεση ριζών: Βρίσκουμε τις τιμές του \(x\) που μηδενίζουν τις παραστάσεις μέσα στα απόλυτα.

  2. Δημιουργία διαστημάτων: Τοποθετούμε αυτές τις τιμές στον άξονα των πραγματικών αριθμών, χωρίζοντάς τον σε διαστήματα.

  3. Πίνακας προσήμων: Προσδιορίζουμε το πρόσημο κάθε παράστασης μέσα στα απόλυτα για κάθε διάστημα.

  4. Επίλυση ανά διάστημα:

    • Σε κάθε διάστημα, «βγάζουμε» τα απόλυτα εφαρμόζοντας τον ορισμό: αν η παράσταση είναι ϑετική, μένει ως έχει· αν είναι αρνητική, αλλάζει πρόσημο.
    • Λύνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση που προκύπτει.
    • Επαλήθευση: Κρατάμε μόνο τις λύσεις που ανήκουν στο διάστημα το οποίο εξετάζουμε.

  5. Τελικό σύνολο λύσεων: Η συνολική λύση είναι η ένωση των δεκτών λύσεων από όλα τα διαστήματα.

Παράδειγμα: Στην εξίσωση \(x^2 - 3|x - 1| - 1 = 0\), εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

  • Αν \(x \geq 1\): Η εξίσωση γίνεται \(x^2 - 3(x - 1) - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\). Οι ρίζες είναι \(x = 1\) και \(x = 2\), οι οποίες είναι και οι δύο δεκτές.

  • Αν \(x < 1\): Η εξίσωση γίνεται \(x^2 - 3[-(x - 1)] - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0\). Οι ρίζες είναι \(x = -4\) (δεκτή) και \(x = 1\) (απορρίπτεται γιατί εξετάζουμε \(x < 1\)).

1.5 Ασκήσεις

  1. Να λυθεί η εξίσωση: \(15x^2 - 11x + 2 = 0\).

  2. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^2 + 1993x - 1994 = 0\).

  3. Να βρεθεί η διακρίνουσα και οι ρίζες της: \(4x^2 + 7x + 3 = 0\).

  4. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^2 - \sqrt{2}x - 8 = 0\).

  5. Να εξετάσετε αν έχει πραγματικές ρίζες η εξίσωση: \(x^2 + x + 1 = 0\).

  6. Διτετράγωνη: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) (θέτουμε \(x^2 = \omega\)).

  7. Με απόλυτα: \(x^2 - 3|x| + 2 = 0\) (θέτουμε \(|x| = \omega\)).

  8. Κλασματική: \(\dfrac{x+1}{x^2+x} + \dfrac{x}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{x}\).

  9. Με ριζικά: \(x + \sqrt{x-1} = 7\).

  10. Τριγωνομετρική: \(2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\cos x - 3 = 0\) (μετατρέπεται σε δευτεροβάθμια ως προς \(\cos x\)).

  11. Αριθμητικό: Δύο αριθμοί διαφέρουν κατά 5. Το γινόμενό τους είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνο του μεγαλύτερου κατά 110. Να βρεθούν οι αριθμοί.

  12. Κίνηση (Φυσική): Δύο κινητά κινούνται στην ίδια ευθεία. Οι θέσεις τους δίνονται από τις συναρτήσεις \(S_1 = 2 + 6t\) και \(S_2 = 3 + 2t + 4t^2\). Να βρεθεί πότε συναντιούνται.

  13. Γεωμετρία (Εμβαδόν): Ένας αγρότης θέλει να αυξήσει κατά \(1/2\) το εμβαδό ενός ορθογώνιου χωραφιού (20m x 15m). Αν διπλασιάσει τη μεγάλη πλευρά, πόσο πρέπει να μεταβάλει τη μικρή;.

  14. Συνδυαστικό (Πιθανότητες): Αν οι πιθανότητες δύο ενδεχομένων \(P(A)\) και \(P(B)\) είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης \(6x^2 - 7x + 2 = 0\), να βρεθούν οι τιμές τους.

  15. Αν \(x_1, x_2\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \(x^2 - 6x + 2 = 0\), να υπολογίσετε (χωρίς να λύσετε την εξίσωση) τις παραστάσεις: α) \(x_1 + x_2\), β) \(x_1 \cdot x_2\), γ) \(x_1^2 + x_2^2\), δ) \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\).

  16. Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς \(2\) και \(-6\).

  17. Να βρεθεί η εξίσωση 2ου βαθμού της οποίας οι ρίζες \(x_1, x_2\) ικανοποιούν τις σχέσεις: \(x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 8\) και \(3(x_1 + x_2) - x_1 x_2 = -5\).

  18. Δίνεται η εξίσωση \(x^2 - 2x - 7 = 0\) με ρίζες \(x_1, x_2\). Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες \(r_1 = 2x_1\) και \(r_2 = 2x_2\).

  19. Δίνεται η εξίσωση \(x^2 - \lambda x + \lambda - 1 = 0\). Να βρείτε την τιμή του \(\lambda\) για την οποία ισχύει \(x_1^2 + x_2^2 = 6\).

  20. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^2 - 3|x| + 2 = 0\).

  21. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^2 - 7|x| + 12 = 0\).

  22. Να λυθεί η εξίσωση: \((x - 1)^2 + 4|x - 1| - 5 = 0\).

  23. Να λυθεί η εξίσωση: \(2x^2 - |x| - 1 = 0\).

  24. Να λυθεί η εξίσωση: \((x - 1)^2 = 3|x - 1| + 4\).

  25. Να λύσετε την εξίσωση: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\).

  26. Να λύσετε την εξίσωση: \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\).

  27. Να λύσετε την εξίσωση: \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\).

  28. Να λύσετε την εξίσωση: \(\alpha\beta x^4 - (\alpha^2 + \beta^2)x^2 + \alpha\beta = 0\), όπου \(\alpha\beta \neq 0\).

  29. Να λύσετε την εξίσωση: \(\dfrac{9}{x^4} + \dfrac{4}{x^2} = 5\) (θέτουμε \(\frac{1}{x^2} = \omega\)).

  30. \(\dfrac{5(x - 2)}{x + 2} - \dfrac{2x - 6}{x + 3} = 3\).

  31. \(\dfrac{2}{x} + \dfrac{2x - 3}{x - 2} + \dfrac{2 - x^2}{x^2 - 2x} = 0\).

  32. \(\dfrac{x + 1}{x - 1} + \dfrac{x - 6}{x + 2} = 2\).

  33. \(\dfrac{2x - 1}{x + 1} + \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{5x - 11}{x - 1}\).

  34. \(\dfrac{x + 8}{x - 8} - \dfrac{24}{x - 4} = 2\).

  35. Λύστε τις πλήρεις εξισώσεις:

  • α. \(3x^2 - 7x + 2 = 0\)
  • β. \(x^2 - 10x + 25 = 0\)
  • γ. \(2x^2 + 3x + 5 = 0\)
  1. Λύστε τις ελλιπείς εξισώσεις:
  • α. \(x^2 - 2,25 = 0\)
  • β. \(0,4x^2 - 2x = 0\)
  • γ. \(5x^2 + 20 = 0\)
  1. Αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες:
  • α. \(\alpha x^2 + 4x - (\alpha - 4) = 0, \alpha \neq 0\)
  • β. \(\mu x^2 + (\mu + \nu)x + \nu = 0, \mu \neq 0\)
  1. Βρείτε τις τιμές του \(k \in \mathbb{R}\):

Για ποιες τιμές του \(k\) η εξίσωση \(kx^2 + 4x + k = 0, k \neq 0\) έχει διπλή ρίζα;

  1. Δείξτε ότι είναι αδύνατη στο \(\mathbb{R}\):

Αν \(x \neq y\), δείξτε ότι η εξίσωση \((x^2 + y^2)z^2 + 2(x + y)z + 3 = 0\) είναι αδύνατη ως προς \(z\).

  1. Βρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες:
  • α. \(4\) και \(5\)
  • β. \(2\) και \(\dfrac{1}{3}\)
  • γ. \(3 - \sqrt{2}\) και \(3 + \sqrt{2}\)
  1. Βρείτε δύο αριθμούς με:
  • α. Άθροισμα 5 και γινόμενο -14.
  • β. Άθροισμα 12 και γινόμενο 35.
  1. Λύστε τις εξισώσεις (με ρίζες):
  • α. \(x^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{2})x + \sqrt{14} = 0\)
  • β. \(x^2 + (\sqrt{3} - 1)x - \sqrt{3} = 0\)
  1. Λύστε ως προς \(x\) για \(a, b \in \mathbb{R}\):

\(x^2 + 4a^2 = b^2 + 4ax\)

  1. Πρόβλημα Γεωμετρίας:

Βρείτε τις πλευρές ορθογωνίου με περίμετρο 28cm και διαγώνιο 10cm.

  1. Εξισώσεις με απόλυτες τιμές:
  • α. \(x^2 - 5|x| + 6 = 0\)
  • β. \(x^2 + 3|x| - 10 = 0\)
  • γ. \(x^2 - 9|x| + 20 = 0\)
  1. Εξίσωση με απόλυτο και παρένθεση:

\((x - 2)^2 + 3|x - 2| - 4 = 0\)

  1. Εξίσωση με αντικατάσταση (βοηθητική μεταβλητή):

\(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 - 4\left(x - \dfrac{1}{x}\right) - 5 = 0\)

  1. Ρητές (κλασματικές) εξισώσεις:
  • α. \(\dfrac{x-1}{x} + \dfrac{x}{x-1} = \dfrac{5}{2}\)
  • β. \(\dfrac{3}{x} + \dfrac{x+1}{x-1} + \dfrac{x+5}{x^2-x} = 0\)
  1. Διτετράγωνες εξισώσεις:
  • α. \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)
  • β. \(3x^4 - 2x^2 - 1 = 0\)
  • γ. \(x^4 + 5x^2 + 6 = 0\)
  1. Μεταβλητοί συντελεστές:

Δίνεται η εξίσωση \(\alpha x^2 - (\alpha^2+1)x + \alpha = 0\), με \(\alpha \neq 0\).

  • α. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα είναι \(\Delta = (\alpha^2 - 1)^2\).
  • β. Να δείξετε ότι οι ρίζες είναι οι \(\alpha\) και \(\dfrac{1}{\alpha}\).
  1. Εξίσωση με ριζικά:

Δίνεται η εξίσωση \(x^2 - (3 + \sqrt{5})x + 3\sqrt{5} = 0\).

  • α. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα είναι \(\Delta = (3 - \sqrt{5})^2\).
  • β. Να δείξετε ότι οι ρίζες είναι οι \(3\) και \(\sqrt{5}\).
  1. Εύρεση παραμέτρου για διπλή ρίζα:

Να βρείτε τις τιμές του \(k \in \mathbb{R}\) για τις οποίες η εξίσωση \(x^2 + (k-2)x + (k+1) = 0\) έχει διπλή ρίζα.

  1. Απόδειξη ιδιότητας ριζών:

Αν ο αριθμός \(\rho\) είναι η ρίζα της εξίσωσης \(\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0\) (\(a,\gamma \neq 0\)), να δείξετε ότι ο αριθμός \(-\rho\) είναι ρίζα της εξίσωσης \(\alpha x^2 - \beta x + \gamma = 0\).

  1. Λύση εξισώσεων με παραμέτρους:
  • α. \(x + \dfrac{2}{\beta} = \beta + \dfrac{2}{x}\) (\(\beta \neq 0\))
    1. \(\dfrac{x}{\mu} + \dfrac{\mu}{x} = \dfrac{\nu}{\mu} + \dfrac{\mu}{\nu}\) (\(\mu, \nu \neq 0\))
  1. Σχέση μεταξύ ριζών:

Δίνεται η εξίσωση \(x^2 - 6x + k = 0\).

  • α. Για ποιες τιμές του \(k\) η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες;
  • β. Αν η μία ρίζα είναι διπλάσια της άλλης, να βρεθούν οι ρίζες και η τιμή του \(k\).
  1. Πρόβλημα ακεραίων:

Να εξετάσετε αν υπάρχουν τρεις διαδοχικοί άρτιοι ακέραιοι που να αποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.

  1. Πρόβλημα εμβαδού (Σταυρός):

Σε ένα παραλληλόγραμμο κήπο διαστάσεων \(10m\) και \(6m\), θέλουμε να κατασκευάσουμε δύο κάθετους διαδρόμους σταυρωτά, ίδιου πλάτους \(x\). Αν το εμβαδόν των διαδρόμων πρέπει να είναι ίσο με το εμβαδόν του υπόλοιπου κήπου (γκαζόν), να βρείτε το πλάτος \(x\).

  1. Πρόβλημα κοινής εργασίας:

Μια βρύση Α γεμίζει μια δεξαμενή σε 5 ώρες λιγότερο από μια βρύση Β. Αν ανοίξουμε και τις δύο μαζί, η δεξαμενή γεμίζει σε 6 ώρες. Να βρείτε σε πόσο χρόνο γεμίζει τη δεξαμενή η κάθε βρύση μόνη της.

  1. Εύρεση παραμέτρου και επίλυση:

Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης \(x^4 - 5x^2 + \lambda = 0\) είναι ο αριθμός \(2\). Να βρείτε το \(\lambda\) και να λύσετε την εξίσωση.

1.6 Ιστορικό σημείωμα

Σημείωση

Η επίλυση της εξίσωσης \(2\)ου βαθμού, δηλαδή της μορφής \(ax^{2} + bx + c = 0\), είναι ένα από τα παλαιότερα προβλήματα στα μαθηματικά. Ας δούμε πώς έφτασαν οι άνθρωποι στη λύση που μαθαίνουμε σήμερα στο σχολείο.

1.6.1 Αρχαίοι Βαβυλώνιοι (περίπου 2.000 π.Χ.)

Οι Βαβυλώνιοι ήταν οι πρώτοι που προσπάθησαν να λύσουν τέτοια προβλήματα. Δεν χρησιμοποιούσαν γράμματα όπως εμείς (το \(x\) ή το \(y\)), αλλά περιέγραφαν το πρόβλημα με λόγια.

  • Η μέθοδός τους: Συνήθως έλυναν προβλήματα που αφορούσαν το εμβαδόν ενός χωραφιού. Αν ήξεραν το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών, χρησιμοποιούσαν μια μέθοδο που μοιάζει πολύ με τη σημερινή συμπλήρωση τετραγώνου.
  • Περιορισμός: Δεν γνώριζαν τους αρνητικούς αριθμούς, οπότε δέχονταν μόνο τις θετικές λύσεις.

1.6.2 Αρχαίοι Έλληνες (περίπου 300 π.Χ.)

Οι Αρχαίοι Έλληνες, με πρωτοπόρο τον Ευκλείδη, έλυναν τις εξισώσεις \(2\)ου βαθμού χρησιμοποιώντας τη Γεωμετρία.

  • Η μέθοδός τους: Αντί να κάνουν πράξεις με νούμερα, σχεδίαζαν σχήματα (τετράγωνα και ορθογώνια). Για αυτούς, το \(x^{2}\) ήταν ένα πραγματικό τετράγωνο με πλευρά \(x\).
  • Η μέθοδος αυτή ονομαζόταν «γεωμετρική άλγεβρα». Ήταν πολύ ακριβής, αλλά δύσκολη γιατί έπρεπε να είσαι πολύ καλός στο σχέδιο!

1.6.3 Ινδία: Ο Μπραχμαγκούπτα (7ος αιώνας μ.Χ.)

Ο Ινδός μαθηματικός Μπραχμαγκούπτα έκανε ένα τεράστιο βήμα. Έδωσε έναν κανόνα με λόγια που είναι σχεδόν ίδιος με τον σημερινό τύπο που χρησιμοποιούμε.

  • Ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε αρνητικούς αριθμούς στις εξισώσεις, κάτι που οι προηγούμενοι θεωρούσαν αδύνατο.
  • Επίσης, άρχισε να χρησιμοποιεί σύμβολα (συντομογραφίες λέξεων) για να κάνει τις πράξεις πιο γρήγορα.

1.6.4 Ο Άραβας Αλ Χουαρίζμι (9ος αιώνας μ.Χ.)

Ο Αλ Χουαρίζμι θεωρείται ο «πατέρας της Άλγεβρας». Η λέξη «Άλγεβρα» προέρχεται από τον τίτλο του βιβλίου του (Al-Jabr).

  • Ταξινόμηση: Χώρισε τις εξισώσεις σε \(6\) διαφορετικούς τύπους και έδωσε οδηγίες για το πώς λύνεται η καθεμία.
  • Παρόλο που χρησιμοποιούσε ακόμα λόγια και όχι σύμβολα, οι αποδείξεις του βασίζονταν στη γεωμετρία, δείχνοντας πώς «συμπληρώνεται ένα τετράγωνο».

1.6.5 Η Σύγχρονη Εποχή (16ος - 17ος αιώνας)

Μέχρι το \(1.500\) μ.Χ., οι μαθηματικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν τα σύμβολα που ξέρουμε σήμερα.

  • Ο Φρανσουά Βιέτ (François Viète) χρησιμοποίησε για πρώτη φορά γράμματα για να αναπαραστήσει όχι μόνο τον άγνωστο \(x\), αλλά και τους σταθερούς αριθμούς (\(a, b, c\)).
  • Ο Ρενέ Ντεκάρτ (René Descartes) τελειοποίησε τον τρόπο που γράφουμε τις εξισώσεις, καθιερώνοντας τον συμβολισμό του εκθέτη \(x^{2}\).

1.6.6 Η Σημερινή Μέθοδος

Σήμερα, χρησιμοποιούμε τη Διακρίνουσα (\(\Delta\)) για να βρούμε τις λύσεις αμέσως. Για την εξίσωση: \[ax^{2} + bx + c = 0\]

  1. Υπολογίζουμε τη Διακρίνουσα: \[\Delta = b^{2} - 4ac\]
  2. Βρίσκουμε τις λύσεις (ρίζες) με τον τύπο: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Αυτός ο τύπος είναι το αποτέλεσμα \(4.000\) ετών προσπάθειας από μαθηματικούς σε όλο τον κόσμο!

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!