09. Εξισώσεις \(1^{ου}\) βαθμού

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

9 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

12 Ιούλιος 2026

1 Εξισώσεις \(1^{ου}\) βαθμού

1.1 Η Εξίσωση αx + β = 0

Θεωρία και Ορισμοί

Κάθε εξίσωση της μορφής \(\alpha x + \beta = 0\) ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με άγνωστο το \(x\). Στην εξίσωση αυτή:

  • Το γράμμα \(x\) ονομάζεται άγνωστος.
  • Ο αριθμός \(\alpha\) ονομάζεται συντελεστής του αγνώστου.
  • Ο αριθμός \(\beta\) ονομάζεται σταθερός όρος.

Λύση ή ρίζα της εξίσωσης ονομάζεται κάθε πραγματικός αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο \(x\), επαληθεύει την ισότητα.

Επίλυση και Διερεύνηση

Η επίλυση της εξίσωσης \(\alpha x + \beta = 0\) γίνεται μετατρέποντάς την αρχικά στη μορφή \(\alpha x = -\beta\). Ανάλογα με τις τιμές των \(\alpha\) και \(\beta\), διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

  1. Αν \(\alpha \neq 0\): Η εξίσωση έχει μοναδική λύση την \(x = -\dfrac{\beta}{\alpha}\).
  2. Αν \(\alpha = 0\): Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(0x = -\beta\) και διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις:
    • Αν \(\beta \neq 0\): Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει καμία λύση, αφού κανένας αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με το 0 δεν δίνει αποτέλεσμα διάφορο του μηδενός.
    • Αν \(\beta = 0\): Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(0x = 0\) και ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη. Αυτό σημαίνει ότι αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\) (έχει άπειρες λύσεις).

Παραμετρική Μορφή

Όταν οι συντελεστές \(\alpha\) και \(\beta\) μιας εξίσωσης δεν είναι συγκεκριμένοι αριθμοί αλλά εκφράζονται με τη βοήθεια άλλων μεταβλητών (γραμμάτων), τότε η εξίσωση ονομάζεται παραμετρική. Τα γράμματα αυτά ονομάζονται παράμετροι.

Για να λύσουμε μια παραμετρική εξίσωση:

  1. Εκτελούμε τις πράξεις και χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ώστε να τη φέρουμε στη μορφή \(A \cdot x = B\), όπου \(A\) και \(B\) είναι παραστάσεις των παραμέτρων.
  2. Διερευνούμε τις περιπτώσεις για τις οποίες το \(A\) είναι μηδέν ή διάφορο του μηδενός, όπως περιγράφηκε παραπάνω.

1.1.1 Παραδείγματα

  • Αριθμητική εξίσωση: \(2x + 8 = 0 \Leftrightarrow 2x = -8 \Leftrightarrow x = -4\) (Μοναδική λύση).

  • Αδύνατη εξίσωση: \(0x = -8\). Κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει, άρα είναι αδύνατη.

  • Παραμετρική εξίσωση: Για την εξίσωση \((\lambda^2 - 4)x = \lambda + 2\):

    • Αν \(\lambda \neq 2\) και \(\lambda \neq -2\), τότε \(x = \dfrac{\lambda + 2}{(\lambda-2)(\lambda+2)} = \dfrac{1}{\lambda - 2}\).

    • Αν \(\lambda = -2\), τότε \(0x = 0\) (Ταυτότητα).

    • Αν \(\lambda = 2\), τότε \(0x = 2\) (Αδύνατη).

  • Το Πρόβλημα «Ένας πατέρας είναι σήμερα 54 ετών και ο γιος του είναι 23 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου του;»

Βήματα Επίλυσης

1. Ορισμός του αγνώστου:

Έστω \(x\) ο αριθμός των ετών που πρέπει να περάσουν.

2. Προσδιορισμός των μελλοντικών ηλικιών:

  • Σε \(x\) χρόνια, ο πατέρας θα είναι \(54 + x\) ετών.

  • Σε \(x\) χρόνια, ο γιος θα είναι \(23 + x\) ετών.

3. Κατάστρωση της εξίσωσης:

Σύμφωνα με το πρόβλημα, η μελλοντική ηλικία του πατέρα (\(54 + x\)) θα πρέπει να είναι ίση με το διπλάσιο της ηλικίας του γιου (\(2(23 + x)\)). Επομένως, η εξίσωση είναι:

\(54 + x = 2(23 + x)\)

4. Επίλυση της εξίσωσης:

  • Εκτελούμε την επιμεριστική ιδιότητα στο δεξί μέλος:

    \(54 + x = 46 + 2x\)

  • Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους (μεταφέροντας το \(x\) στο δεξί μέλος και το 46 στο αριστερό):

    \(54 - 46 = 2x - x\)

  • Υπολογίζουμε τη διαφορά: \(8 = x\)

Συμπέρασμα: Η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από αυτή του γιου του μετά από 8 χρόνια.

Άλλα παραδείγματα προβλημάτων

  • Πρόβλημα Διαδοχικών Αριθμών: Βρείτε τρεις διαδοχικούς περιττούς αριθμούς που το άθροισμά τους είναι 33.

    (Εξίσωση: \(x + (x + 2) + (x + 4) = 33\)).

  • Πρόβλημα Εργασίας: Δύο εργάτες σκάβουν ένα κτήμα σε 6 ημέρες. Ο πρώτος μόνος του το σκάβει σε 10 ημέρες. Πόσες ημέρες χρειάζεται ο δεύτερος μόνος του;.

  • Πρόβλημα Αναλογιών: Το άθροισμα των ηλικιών δύο αδελφών είναι 21 έτη. Αν διαιρέσουμε την ηλικία του μεγαλύτερου με του μικρότερου, το πηλίκο είναι 2 και το υπόλοιπο 3.

1.2 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού

Οι εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού είναι μορφές που αρχικά φαίνονται πιο σύνθετες (κλασματικές, ανωτέρου βαθμού, με απόλυτα ή ριζικά), αλλά μέσω κατάλληλων αλγεβρικών χειρισμών καταλήγουν στη μορφή \(\alpha x + \beta = 0\).

1.2.1 Παραδείγματα

  1. Εξίσωση με κλάσματα (Απαλοιφή παρονομαστών): Να λυθεί η εξίσωση: \(\dfrac{x+2}{3} + \dfrac{x+3}{4} = \dfrac{x+4}{5} + \dfrac{x+5}{6}\).
    • Βήμα 1: Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών (\(3, 4, 5, 6\)), το οποίο είναι το \(60\).
    • Βήμα 2: Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το \(60\): \(20(x+2) + 15(x+3) = 12(x+4) + 10(x+5)\).
    • Βήμα 3: Εκτελούμε τις πράξεις: \(20x + 40 + 15x + 45 = 12x + 48 + 10x + 50\).
    • Βήμα 4: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους: \(35x - 22x = 98 - 85 \Rightarrow 13x = 13 \Rightarrow \mathbf{x = 1}\).
  2. Εξίσωση ανωτέρου βαθμού (Παραγοντοποίηση): Να λυθεί η εξίσωση: \((x-4)x^2 + 2x(x-4) + (x-4) = 0\).
    • Βήμα 1: Παρατηρούμε τον κοινό παράγοντα \((x-4)\) και τον βγάζουμε έξω: \((x-4)(x^2 + 2x + 1) = 0\).
    • Βήμα 2: Αναγνωρίζουμε την ταυτότητα \((x+1)^2\): \((x-4)(x+1)^2 = 0\).
    • Βήμα 3: Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \(\alpha \cdot \beta = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0\) ή \(\beta = 0\).
    • Λύσεις: \(x-4=0 \Rightarrow \mathbf{x=4}\) ή \(x+1=0 \Rightarrow \mathbf{x=-1}\).
  3. Κλασματική εξίσωση (Άγνωστος στον παρονομαστή): Να λυθεί η εξίσωση: \(\dfrac{x+1}{x^2+x} + \dfrac{x}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{x}\).
    • Βήμα 1: Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές: \(\dfrac{x+1}{x(x+1)} + \dfrac{x}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{x}\).
    • Βήμα 2: Θέτουμε περιορισμούς: \(x \neq 0\) και \(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\).
    • Βήμα 3: Μετά την απλοποίηση του πρώτου κλάσματος και την απαλοιφή παρονομαστών με το Ε.Κ.Π. \(x(x+1)^2\), η εξίσωση ανάγεται σε πρωτοβάθμια: \((x+1)^2 - x^2 = 0 \Rightarrow 2x+1 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -1/2}\).

1.2.2 Παραδείγματα με απόλυτα

Σημείωση

Μια εξίσωση με απόλυτη τιμή της μορφής \(|f(x)| = \theta\), όπως η άσκηση (\(|2x - 3| = 5\)), λύνεται με βάση τις εξής βασικές ιδιότητες:

1. Η Βασική Ιδιότητα Αν ένας πραγματικός αριθμός \(\theta\) είναι θετικός (\(\theta > 0\)), τότε η εξίσωση \(|x| = \theta\) έχει δύο λύσεις: \(x = \theta\) ή \(x = -\theta\).

Στην περίπτωση που η παράσταση μέσα στο απόλυτο είναι πιο σύνθετη, η ιδιότητα γενικεύεται ως εξής: \(|f(x)| = \theta \Leftrightarrow f(x) = \theta\) ή \(f(x) = -\theta\).

2. Βήματα Επίλυσης για την Άσκηση \(|2x - 3| = 5\)

  • Βήμα 1: Απαλλαγή από το απόλυτο. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα και “σπάμε” την εξίσωση σε δύο απλές πρωτοβάθμιες εξισώσεις:
    1. \(2x - 3 = 5\)
    2. \(2x - 3 = -5\)
  • Βήμα 2: Επίλυση των εξισώσεων.
    • Για την πρώτη: \(2x = 5 + 3 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow \mathbf{x = 4}\).
    • Για τη δεύτερη: \(2x = -5 + 3 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow \mathbf{x = -1}\).

Συμπέρασμα: Οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 4 και -1.

Η επίλυση εξισώσεων με δύο απόλυτες τιμές

1. Εξισώσεις της μορφής \(|f(x)| = |g(x)|\)

Όταν η εξίσωση έχει τη μορφή δύο απολύτων που είναι ίσα μεταξύ τους, χρησιμοποιείται η βασική ιδιότητα: \(|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow f(x) = g(x)\) ή \(f(x) = -g(x)\).

Παράδειγμα: Για την εξίσωση \(|3x - 12| = |2x - 3|\), οι λύσεις προκύπτουν από τις εξής δύο περιπτώσεις:

  • \(3x - 12 = 2x - 3 \Rightarrow x = 9\).
  • \(3x - 12 = -(2x - 3) \Rightarrow 3x - 12 = -2x + 3 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3\).

2. Εξισώσεις με διαφορετικά απόλυτα (π.χ. \(|f(x)| + |g(x)| = k\))

Όταν στην εξίσωση υπάρχουν περισσότερα από ένα διαφορετικά απόλυτα (και ενδεχομένως ο άγνωστος \(x\) και εκτός απολύτων), η επίλυση απαιτεί την απαλλαγή από τα απόλυτα μέσω της μελέτης του προσήμου των παραστάσεων που βρίσκονται μέσα σε αυτά.

Η μεθοδολογία περιλαμβάνει τα εξής βήματα::

  1. Εύρεση των ριζών: Βρίσκουμε τις τιμές του \(x\) που μηδενίζουν κάθε παράσταση μέσα σε απόλυτο (π.χ. λύνουμε \(f(x)=0\) και \(g(x)=0\)).
  2. Δημιουργία διαστημάτων: Τοποθετούμε αυτές τις τιμές στον άξονα των πραγματικών αριθμών, χωρίζοντάς τον σε επιμέρους διαστήματα.
  3. Προσδιορισμός προσήμων: Σε κάθε διάστημα, προσδιορίζουμε αν οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα είναι θετικές ή αρνητικές (συχνά με τη βοήθεια ενός πίνακα προσήμων).
  4. Επίλυση ανά διάστημα: Για κάθε διάστημα χωριστά, αντικαθιστούμε τα απόλυτα με την αντίστοιχη παράσταση (τον εαυτό της αν είναι θετική, την αντίθετή της αν είναι αρνητική) και λύνουμε την απλή εξίσωση που προκύπτει.
  5. Έλεγχος λύσεων: Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ανήκει στο συγκεκριμένο διάστημα που εξετάζουμε. Αν δεν ανήκει, η λύση απορρίπτεται.
  6. Τελική λύση: Η συνολική λύση της εξίσωσης είναι η ένωση των δεκτών λύσεων από όλα τα διαστήματα.

Παράδειγμα: Στην εξίσωση \(3|x - 1| + 2|x - 2| - |x - 3| = 0\), οι τιμές που μηδενίζουν τα απόλυτα είναι οι \(1, 2\) και \(3\). Εξετάζουμε την εξίσωση στα διαστήματα \((-\infty, 1)\), \([1, 2)\), \([2, 3)\) και \([3, +\infty)\), ελέγχοντας σε κάθε περίπτωση ποια λύση είναι δεκτή.

1.2.3 Ειδικές Περιπτώσεις

  • Άθροισμα απολύτων ίσο με μηδέν: Αν η εξίσωση είναι της μορφής \(|f(x)| + |g(x)| = 0\), τότε επειδή κάθε απόλυτο είναι \(\ge 0\), η ισότητα ισχύει μόνο αν ταυτόχρονα \(f(x)=0\) και \(g(x)=0\).
  • Χρήση βοηθητικού αγνώστου: Αν οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα είναι ίδιες (π.χ. \(x^2 - 3|x| + 2 = 0\)), μπορούμε να ϑέσουμε \(|x| = \omega\) (με \(\omega \ge 0\)) και να λύσουμε την εξίσωση ως προς \(\omega\).

1.3 Ασκήσεις

  1. Να λυθεί η εξίσωση: \(3x - 8 = 13\).

  2. Να λυθεί η εξίσωση: \(\dfrac{x-1}{2} + 10 = 0\).

  3. Να λυθεί η εξίσωση: \(|2x - 3| = 5\).

  4. Για ποιες τιμές των \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) η εξίσωση \((\lambda - 2)x = \mu - 1\) είναι ταυτότητα και για ποιες είναι αδύνατη;.

  5. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση \(\lambda^2(x - 1) = x - \lambda\) για τις διάφορες τιμές του \(\lambda \in \mathbb{R}\).

  6. Πράξεις και αναγωγή: Να λυθεί η εξίσωση \((x-3)^2 + 2x - 4 = x(x-2) + 6\).

  7. Αριθμητική με κλάσματα: Να λυθεί η εξίσωση \(\dfrac{x-2}{3} + \dfrac{11}{2} = \dfrac{1-2x}{4}\).

  8. Παραγοντοποίηση: Να λυθεί η εξίσωση \((x^2-5)(x-1) + x - 1 = 0\).

  9. Κλασματική: Να λυθεί η εξίσωση \(\dfrac{4}{x+2} - \dfrac{7}{x+3} = \dfrac{37}{x^2+5x+6}\).

  10. Με απόλυτες τιμές: Να λυθεί η εξίσωση \(|2x - 3| = |x + 1|\).

  11. Παραμετρική: Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση \(\lambda^2(x-1) = 3\lambda x - 2(x+\lambda)\) για τις διάφορες τιμές του \(\lambda \in \mathbb{R}\).

  12. Σύνθετη κλασματική: Να λυθεί η εξίσωση \(\dfrac{x+1}{x-1} + \dfrac{x-6}{x+2} = 2\).

  13. Να λύσετε τις εξισώσεις:

  • α. \(5x - 2(3x - 4) = 2x - 10\)
  • β. \(\frac{2-x}{3} - \frac{x+2}{2} = \frac{x-6}{6} + \frac{1}{2}\)
  • γ. \(\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = \frac{x}{6} - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}\)
  • δ. \(2,4(x-2) + 3,5 - 0,5x = 9,1\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(3(2x-5) - 4(2x-5) = 7\)
  • β. \(3x - \dfrac{4-x}{2} = \dfrac{5x}{2} - 2\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(\lambda \in \mathbb{R}\):
  • α. \((\lambda + 3)x = \lambda + 3\)
  • β. \((\lambda - 1)x = \lambda\)
  • γ. \(\lambda(\lambda + 2)x = \lambda + 2\)
  1. Σε ένα ορθογώνιο \(AB\Gamma\Delta\) με (AB=8) και (AΔ=6), θεωρούμε σημείο (M) πάνω στην (AΔ) ώστε (AM=x).
  • α. Να βρείτε το (x) ώστε τα εμβαδά των τριγώνων (MAB) και (MΓΔ) να είναι ίσα.
  • β. Αποδείξτε ότι όπου και αν είναι το Μ το άθροισμα των εμβαδών τους είναι πάντα 24.

Λύση

\[E_1=\frac12\cdot8\cdot x=4x\],

\[E_2=\frac12\cdot8\cdot(6-x)=24-4x\].

…… συνεχίστε ………

  1. Σε τρίγωνο (ABΓ) με βάση (BΓ=12) και ύψος (AΔ=6), θεωρούμε σημείο (M) πάνω στο ύψος (AΔ) ώστε (AM=x).

α. Να βρείτε το (x) ώστε τα τρίγωνα (MBΓ) και (\(ABΓ\setminus MBΓ=\text{το χωρίο ΑΒΜΓΑ}\)) να έχουν ίσα εμβαδά.

β. Να βρείτε το (x) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου (MBΓ) να είναι (18).


\(E_{MBΓ}=\frac12\cdot12\cdot(6-x)=36-6x\)

……. συνεχίστε ……………

  1. Ένας κύβος έχει ακμή (6). Στην κατακόρυφη ακμή (AA’) παίρνουμε σημείο (Ε) ώστε (AΕ=x).
    Ένα επίπεδο παράλληλο προς την βάση ΑΒΓΔ, που περνάει από το σημείο Ε, χωρίζει τον κύβο σε δύο παραλληλεπίπεδα.

α. Να εκφράσετε τον όγκο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που έχει ύψος (AΕ=x).

β. Να βρείτε το (x) ώστε οι δύο όγκοι που προκύπτουν να είναι ίσοι.



  1. Από κεφάλαιο \(6.000\) € ένα μέρος κατατέθηκε με επιτόκιο \(4\%\) και το υπόλοιπο με επιτόκιο \(6\%\). Στο τέλος του χρόνου οι συνολικοί τόκοι ήταν \(320\) €. Ποιο ποσό τοκίστηκε με κάθε επιτόκιο;

  2. Να επιλυθούν οι τύποι ως προς τη μεταβλητή που ζητείται:

  • α. \(E = \dfrac{1}{2}\alpha \cdot \upsilon\) (ως προς \(\upsilon\))
  • β. \(P = 2\alpha + 2\beta\) (ως προς \(\alpha\))
  • γ. \(V=πρ^2υ\) (ως προς υ)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(x^2(x-3) + 4x(x-3) + 4(x-3) = 0\)
  • β. \((x-5)^2 - (5-x)(2+x) = 0\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(x(x^2 - 4) - x^3 + 2x^2 = 0\)
  • β. \((x+2)^2 + x^2 - 4 = 0\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(x(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\)
  • β. \((x^2-1)(x-2) = (x^2-4)(x-1)\)

  1. Να λύσετε την εξίσωση: \[(x+1)^3 - x^2 - x = 0\]

  2. Να λύσετε τις εξισώσεις:

  • α. \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\)
  • β. \(x^3 - x^2 - (3x-2)(x-1) = 0\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{2}{x^2-2x}\)
  • β. \(\dfrac{x+2}{x^2-4} + \dfrac{1}{x^2-4x+4} = 0\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x+3} = \dfrac{4}{x^2-9}\)
  • β. \(\dfrac{2}{x+1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x^2+x}\)

  1. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς περιττούς ακέραιους τέτοιους ώστε το άθροισμα των τετραγώνων τους να ισούται με \(83\).

  2. Να λύσετε τις εξισώσεις:

  • α. \(|3x - 2| = 7\)
  • β. \(|x - 5| = |2x - 1|\)
  • γ. \(|x - 1| = 3x - 2\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(\dfrac{|x|+2}{2} - \dfrac{|x|+2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
  • β. \(\dfrac{3|x|-1}{4} - \dfrac{|x|+1}{3} = 1\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(\left| \dfrac{2-x}{2+x} \right| = 3\)
  • β. \(|x-3| \cdot |x-4| = |x-3|\)
  1. Να αποδείξετε ότι η εξισώσεις:
  • α. \((x+\beta)^2 - (x-\alpha)^2 = 2\beta(\alpha+\beta)\)
  • β. \(\dfrac{x+α}{β}=\dfrac{x+β}{α}\)

έχουν πάντα λύση ως προς \(x\), για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \(\alpha, \beta\) με \(α\ne β\).

  1. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), ώστε να έχει λύση η εξίσωση \(\dfrac{x}{\alpha} + \dfrac{x}{\beta} = 2\);

  2. Πόσο καθαρό νερό πρέπει να προσθέσουμε σε \(500\text{ml}\) διαλύματος αλατιού περιεκτικότητας \(20\%\), ώστε να πάρουμε διάλυμα περιεκτικότητας \(10\%\);

Λύση

Το αρχικό διάλυμα είναι \(500\text{ ml}\) και έχει περιεκτικότητα \(20\%\). Η ποσότητα του αλατιού (που παραμένει σταθερή αφού προσθέτουμε μόνο νερό) είναι: \(\text{Αλάτι} = 500 \cdot \dfrac{20}{100} = 500 \cdot 0,2 = 100\text{ ml}\)

Έστω \(x\) τα ml του καθαρού νερού που πρέπει να προσθέσουμε. Ο συνολικός όγκος του νέου διαλύματος θα είναι \(500 + x\).

Γνωρίζουμε ότι στο νέο διάλυμα, τα \(100\text{ ml}\) αλατιού πρέπει να αποτελούν το \(10\%\) του συνολικού όγκου. Επομένως: \(100 = (500 + x) \cdot \dfrac{10}{100}\) \(100 = (500 + x) \cdot 0,1\)

\(\dfrac{100}{0,1} = 500 + x\) \(1000 = 500 + x\) \(x = 1000 - 500\) \(x = 500\text{ ml}\)

Πρέπει να προσθέσουμε 500 ml καθαρού νερού.

  1. Ένας ποδηλάτης Α ξεκινά με ταχύτητα \(15\text{km/h}\). Μετά από \(1\) ώρα, ένας δεύτερος ποδηλάτης Β ξεκινά από το ίδιο σημείο με ταχύτητα \(20\text{km/h}\). Σε πόση ώρα ο Β θα φτάσει τον Α;

Λύση

Όταν θα συναντηθούν θα έχουν διανύσει ίδιο διάστημα S αρα \(15 t = 20(t-1)\) αφού ξεκινάνει μια ώρα αργότερα.

……… συνεχίστε……………………

  1. Να λύσετε την εξίσωση \(\dfrac{x-\alpha}{x+\alpha} = \dfrac{x^2}{x^2-\alpha^2}\) για όλες τις τιμές του \(\alpha \in \mathbb{R}\).

  2. Να λύσετε την εξίσωση \(\dfrac{x^3-1}{x-1} = x^2+x+1\).

  3. Να λύσετε την εξίσωση \(|3|x|-2| = 4\).

  4. Να λύσετε την εξίσωση \(\sqrt{x^2-4x+4} = |2x-1|\).

(Υπόδειξη: \(\sqrt{x^2-4x+4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|\))

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!