01. Το λεξιλόγιο της λογικής

1 Το λεξιλόγιο της λογικής

Η Μαθηματική Λογική αποτελεί το θεμελιώδες εργαλείο για τη μετάβαση από την εμπειρική παρατήρηση στην αυστηρή μαθηματική παραγωγή γνώσης, προσφέροντας το απαραίτητο λεξιλόγιο για τη δόμηση της αλήθειας και της απόδειξης.

1.1 Η Μαθηματική Πρόταση και οι Τιμές Αλήθειας

Στο επίκεντρο της λογικής βρίσκεται η πρόταση, η οποία ορίζεται ως ένας ισχυρισμός

• που είναι είτε αληθής (Α)
• είτε ψευδής (Ψ), χωρίς να επιδέχεται ενδιάμεση κατάσταση.

Αυτή η δυαδική φύση βασίζεται στην Αρχή της Αποκλίσεως του Τρίτου, σύμφωνα με την οποία για κάθε πρόταση \(P\), είτε η \(P\) είναι αληθής είτε η άρνησή της \(\neg P\) είναι αληθής.

Παράδειγμα:

• «Η Αθήνα είναι η πρωτεύουσα της Ελλάδας.» → Αληθής.
• «2 + 2 = 5.» → Ψευδής.

1.2 Οι μαθηματικές προτάσεις ταξινομούνται σε:

• Αξιώματα: Προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς χωρίς απόδειξη.
• Θεωρήματα: Προτάσεις των οποίων η αλήθεια αποδεικνύεται μέσω λογικών επιχειρημάτων.
• Εικασίες: Προτάσεις που πιστεύεται ότι είναι αληθείς αλλά δεν έχουν ακόμη αποδειχθεί (π.χ. η εικασία του Goldbach).

1.3 Λογικοί Σύνδεσμοι

Οι βασικοί σύνδεσμοι επιτρέπουν το σχηματισμό σύνθετων προτάσεων:

1. Άρνηση (¬): Αν μια πρόταση \(P\) είναι αληθής, η άρνησή της \(\neg P\) είναι ψευδής και αντίστροφα. Η διπλή άρνηση μιας πρότασης (\(\neg\neg P\)) είναι ισοδύναμη με την ίδια την πρόταση \(P\).

2. Σύζευξη (∧ - “και”):

Μια σύνθετη πρόταση \(P \wedge Q\) είναι αληθής μόνο όταν και οι δύο συνιστώσες της είναι αληθείς. Αντιστοιχεί στην πράξη της τομής συνόλων (\(\cap\)).

Η πρόταση:

p και q

είναι αληθής μόνο όταν ισχύουν και οι δύο προτάσεις.

Πίνακας αλήθειας

p	q	p∧q
Α	Α	Α
Α	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Ψ
Ψ	Ψ	Ψ

Παράδειγμα

Σήμερα έχει ήλιο και κάνει ζέστη.

Η πρόταση είναι αληθής μόνο αν συμβαίνουν και τα δύο.

3. Διάζευξη (∨ - “ή”): Στα μαθηματικά είναι σχεδόν πάντα συμπεριληπτική, δηλαδή η \(P \vee Q\) είναι αληθής όταν τουλάχιστον μία από τις δύο προτάσεις αληθεύει. Αντιστοιχεί στην ένωση συνόλων (\(\cup\)).

Η πρόταση:

p ή q

είναι αληθής όταν ισχύει τουλάχιστον μία από τις δύο προτάσεις.

Πίνακας αλήθειας

p	q	p∨q
Α	Α	Α
Α	Ψ	Α
Ψ	Α	Α
Ψ	Ψ	Ψ

Παράδειγμα

Θα πάω κινηματογράφο ή θέατρο.

Αρκεί να συμβεί ένα από τα δύο.

4. Αποκλειστική Διάζευξη (\(\oplus\) or \(\underline{\vee}\) - “είτε… είτε”):

Είναι αληθής όταν ακριβώς μία από τις δύο προτάσεις είναι αληθής. Αντιστοιχεί στη συμμετρική διαφορά συνόλων (\(\triangle\)).

Σε αντίθεση με τη συμπεριληπτική διάζευξη (το κοινό «ή»), αν και οι δύο προτάσεις είναι ταυτόχρονα αληθείς, η αποκλειστική διάζευξη θεωρείται ψευδής.

Πίνακας Αλήθειας

Ο πίνακας αλήθειας της αποκλειστικής διάζευξης (συμβολίζεται με \(\underline{\vee}\) ή \(\oplus\)) δείχνει ότι η σύνθετη πρόταση είναι αληθής μόνο στις περιπτώσεις όπου οι τιμές αλήθειας των συνιστωσών προτάσεων \(P\) και \(Q\) διαφέρουν:

Πρόταση \(P\)	Πρόταση \(Q\)	Αποκλειστική Διάζευξη \(P \oplus Q\)
Α (Αληθής)	Α (Αληθής)	Ψ (Ψευδής)
Α (Αληθής)	Ψ (Ψευδής)	Α (Αληθής)
Ψ (Ψευδής)	Α (Αληθής)	Α (Αληθής)
Ψ (Ψευδής)	Ψ (Ψευδής)	Ψ (Ψευδής)

Παραδείγματα

• Καθημερινός Λόγος: Στη φράση «Θα φάω μήλο ή πορτοκάλι», συχνά εννοείται ότι δεν θα φαγωθούν και τα δύο (αποκλειστικός χαρακτήρας).
• Συγκεκριμένη Επιλογή: «Μπορείτε να πάρετε ένα κουλούρι ή ένα γλυκό, αλλά όχι και τα δύο».
• Υποχρεώσεις: «Πρέπει να πληρώσετε τη συνδρομή σας, ή θα διαγραφείτε από τον σύλλογο» (δεν μπορούν να συμβούν και τα δύο ταυτόχρονα).

Συνολοθεωρητική Αντιστοιχία

Στη θεωρία συνόλων, η αποκλειστική διάζευξη αντιστοιχεί στη συμμετρική διαφορά (\(A \Delta B\) ή \(A \oplus B\)). Πρόκειται για το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν ακριβώς σε ένα από τα δύο σύνολα, δηλαδή βρίσκονται στην ένωση των συνόλων αλλά όχι στην τομή τους (\(A \oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\)).

5. Συνεπαγωγή (\(\Rightarrow\) - “αν… τότε”):
   Η πρόταση \(P \Rightarrow Q\) είναι ψευδής μόνο όταν η υπόθεση \(P\) είναι αληθής και το συμπέρασμα \(Q\) είναι ψευδές. Αξιοσημείωτο είναι ότι αν η υπόθεση είναι ψευδής, η συνεπαγωγή θεωρείται πάντοτε αληθής.

   Ο ισχυρισμός «P ⇒ Q » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής.

Πίνακας αλήθειας

p	q	p⇒q
Α	Α	Α
Α	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Α
Ψ	Ψ	Α

Παράδειγμα

Αν βρέχει, τότε ο δρόμος είναι βρεγμένος.

• Βρέχει και ο δρόμος είναι βρεγμένος → Αληθές.
• Βρέχει αλλά ο δρόμος δεν είναι βρεγμένος → Ψευδές.

6. Ισοδυναμία (\(\iff\) - “αν και μόνο αν”): Δηλώνει ότι δύο προτάσεις έχουν την ίδια τιμή αλήθειας. Στα μαθηματικά, η ισοδυναμία είναι κεντρικής σημασίας για την επίλυση εξισώσεων.

Η πρόταση:

p ⇔ q

σημαίνει ότι:

• αν p τότε q
• και αν q τότε p.

Οι δύο προτάσεις έχουν την ίδια τιμή αλήθειας.

Πίνακας αλήθειας

p	q	p⇔q
Α	Α	Α
Α	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Ψ
Ψ	Ψ	Α

Παράδειγμα

Ένας αριθμός είναι άρτιος αν και μόνο αν διαιρείται με το 2.

1.4 Πίνακες Αληθείας και Ταυτολογίες

Οι πίνακες αληθείας χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της τιμής αλήθειας σύνθετων προτάσεων.

Μια πρόταση που είναι πάντα αληθής ονομάζεται ταυτολογία (π.χ. \(P \vee \neg P\)),

ενώ μια πρόταση που είναι πάντα ψευδής ονομάζεται αντίφαση (π.χ. \(P \wedge \neg P\)).

1.5 Ποσοδείκτες

Οι ποσοδείκτες καθορίζουν το εύρος εφαρμογής μιας ιδιότητας:

• Καθολικός ποσοδείκτης (\(\forall\)): “Για κάθε”, δηλώνει ότι μια ιδιότητα ισχύει για όλα τα στοιχεία ενός συνόλου.
  
• Υπαρξιακός ποσοδείκτης (\(\exists\)): “Υπάρχει (τουλάχιστον ένα)”, δηλώνει την ύπαρξη ενός στοιχείου που ικανοποιεί μια ιδιότητα.

1.6 Αποδεικτική Μεθοδολογία

Η Μεθοδολογία Αποδείξεων αποτελεί την κεντρική διαδικασία της μαθηματικής επιστήμης, καθώς μια απόδειξη είναι η οριστική και κατηγορηματική επαλήθευση ότι ένας ισχυρισμός (θεώρημα) είναι αληθής. Σε αντίθεση με την καθημερινή ζωή ή το δικαστήριο, όπου κάτι αποδεικνύεται με «μεγάλη πιθανότητα», στα μαθηματικά η απόδειξη απαιτεί απόλυτη βεβαιότητα και αυστηρότητα.

1. Ευθεία ή Άμεση Απόδειξη

Είναι η πιο απλή και διαφανής προσέγγιση. Ξεκινά από την υπόθεση (Α) και, μέσω μιας αλληλουχίας λογικών συνεπαγωγών που βασίζονται σε ορισμούς, αξιώματα και ήδη γνωστά θεωρήματα, καταλήγει στο συμπέρασμα (Β).

Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η απόδειξη ότι αν ένας ακέραιος \(n\) είναι περιττός, τότε και ο \(n^2\) είναι περιττός.

2. Απαγωγή σε Άτοπο (Έμμεση Απόδειξη)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην Αρχή της Μη-Αντίφασης και στον Νόμο του ενδιάμεσου αποκλεισμού. Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός ισχύει:

• Υποθέτουμε προσωρινά ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα (δηλαδή δέχεσαι την άρνησή του).

• Μέσω λογικών βημάτων, οδηγούμαστε σε ένα συμπέρασμα που είναι φανερά ψευδές ή έρχεται σε αντίθεση με τα δεδομένα (άτοπο).

• Αυτό σημαίνει ότι η αρχική μας υπόθεση ήταν λάθος, άρα το συμπέρασμα είναι αναγκαία αληθές.

Παράδειγμα αυτής της μεθόδου είναι η απόδειξη ότι ο αριθμός \(\sqrt{2}\) είναι άρρητος.

3. Μέθοδος της Αντιθετοαντιστροφής

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στη λογική ισοδυναμία της συνεπαγωγής \(P \Rightarrow Q\) με την αντιθετοαντίστροφή της \(\neg Q \Rightarrow \neg P\). Αντί να αποδείξουμε απευθείας ότι «αν ισχύει το \(P\), τότε ισχύει το \(Q\)», αποδεικνύουμε ότι «αν δεν ισχύει το \(Q\), τότε δεν ισχύει το \(P\)».

Συχνά αυτή η μέθοδος «ρέει» ομαλότερα από την ευθεία απόδειξη, όπως στην περίπτωση που θέλουμε να δείξουμε ότι αν ο \(7x+5\) είναι άρτιος, τότε ο \(x\) είναι περιττός.

4. Μαθηματική Επαγωγή

Χρησιμοποιείται για την απόδειξη προτάσεων \(P(n)\) που αφορούν όλους τους φυσικούς αριθμούς \(n\). Αποτελείται από δύο κύρια βήματα:

1. Βάση της επαγωγής: Επαληθεύουμε ότι η πρόταση ισχύει για τον πρώτο φυσικό αριθμό, συνήθως το 1 (\(P(1)\)).
2. Επαγωγικό βήμα: Αποδεικνύουμε τη συνεπαγωγή ότι αν η πρόταση ισχύει για έναν τυχαίο φυσικό αριθμό \(k\) (επαγωγική υπόθεση), τότε ισχύει και για τον επόμενό του \(k+1\).

Αν και τα δύο βήματα ολοκληρωθούν, η πρόταση θεωρείται αποδεδειγμένη για κάθε \(n\).

5. Το Αντιπαράδειγμα

Για να αποδείξουμε ότι ένας γενικός ισχυρισμός (εικασία) είναι ψευδής, δεν χρειάζεται πλήρης ανάλυση· αρκεί να βρούμε ένα και μόνο παράδειγμα που δεν τον ικανοποιεί.

Για παράδειγμα, ο ισχυρισμός ότι «για κάθε ακέραιο \(n\), ο \(n^2-n+11\) είναι πρώτος» καταρρίπτεται αν θέσουμε \(n=11\).

6. Άλλες Τεχνικές

• Απόδειξη με εξάντληση περιπτώσεων: Διαχωρίζουμε το πρόβλημα σε επιμέρους περιπτώσεις (π.χ. άρτιος/περιττός) που καλύπτουν όλες τις δυνατότητες και αποδεικνύουμε τον ισχυρισμό για κάθε μία ξεχωριστά.

• Απόδειξη ισοδυναμιών: Για να αποδείξουμε το «\(P\) αν και μόνο αν \(Q\)» (\(P \Leftrightarrow Q\)), πρέπει να αποδείξουμε δύο ανεξάρτητες συνεπαγωγές: \(P \Rightarrow Q\) και \(Q \Rightarrow P\).

Σημαντική Σημείωση: Κατά τη συγγραφή μιας απόδειξης, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούνται λέξεις και επεξηγηματικές φράσεις ανάμεσα στα σύμβολα, ώστε το επιχείρημα να είναι κατανοητό και να «ρέει» λογικά για τον αναγνώστη.

---

1.7 Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Δίνεται:

p: «Ο αριθμός 8 είναι άρτιος.»

q: «Ο αριθμός 8 διαιρείται με το 4.»

Να βρεθεί η τιμή αλήθειας των παρακάτω.

α) p∧q

Απάντηση: Α ∧ Α = Α

---

β) p∨q

Απάντηση: Α ∨ Α = Α

---

γ) p⇒q

Απάντηση: Α ⇒ Α = Α

---

δ) p⇔q

Απάντηση: Α ⇔ Α = Α

---

Παράδειγμα 2

p: «5>2» (Α)

q: «5<2» (Ψ)

Υπολόγισε:

• p∧q = Ψ
• p∨q = Α
• p⇒q = Ψ
• p⇔q = Ψ

---

1.8 Ασκήσεις

1. Δίνεται:

p: «10 είναι πολλαπλάσιο του 5.»

q: «10 είναι περιττός αριθμός.»

Να βρεις τις τιμές αλήθειας των:

• 1. p∧q
• 2. p∨q
• 3. p⇒q
• 4. p⇔q

2. Συμπλήρωσε τον πίνακα.

p	q	p∧q	p∨q	p⇒q	p⇔q
Α	Α
Α	Ψ
Ψ	Α
Ψ	Ψ

3. Να χαρακτηρίσεις ως αληθείς ή ψευδείς τις προτάσεις.

• 1. Αν 3>2, τότε 5>1.
• 2. Αν 7 είναι άρτιος, τότε 8 είναι άρτιος.
• 3. 6 είναι άρτιος και 9 είναι περιττός.
• 4. 6 είναι περιττός ή 9 είναι περιττός.
• 5. Ένας αριθμός είναι άρτιος αν και μόνο αν διαιρείται με το 2.

4. Έστω οι προτάσεις \(P\): «Η Αθήνα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας» και \(Q\): «Ο αριθμός 7 είναι άρτιος». Να προσδιορίσετε την τιμή αλήθειας των παρακάτω σύνθετων προτάσεων, αιτιολογώντας την απάντησή σας:

• 1. \(P \wedge Q\)
• 2. \(P \vee Q\)
• 3. \(P \Rightarrow Q\)
• 4. \(Q \Rightarrow P\)

5. Να τοποθετήσετε το κατάλληλο σύμβολο συνεπαγωγής (\(\Rightarrow\)) ή ισοδυναμίας (\(\iff\)) μεταξύ των παρακάτω αλγεβρικών προτάσεων:

• 1. \(x = 3 \dots x^2 = 9\)
• 2. \(x^2 = 9 \dots x = 3 \vee x = -3\)
• 3. \(x > 2 \dots x > 0\)
• 4. \(|x| = 5 \dots x = 5 \vee x = -5\)

6. Δίνεται η γεωμετρική πρόταση: «Αν η ευθεία \(\epsilon\) τέμνει την ευθεία \(\lambda\), τότε τέμνει κάθε άλλη ευθεία παράλληλη προς την \(\lambda\)».

• 1. Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση.
• 2. Να εξετάσετε αν η αρχική πρόταση και η αντίστροφή της είναι λογικά ισοδύναμες.

7. Έστω η εξίσωση \(x(x-2)=0\).

• 1. Ποιος λογικός σύνδεσμος («και» ή «ή») χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε τη λύση της;
• 2. Πώς αλλάζει ο σύνδεσμος αν θέλουμε το γινόμενο να είναι διάφορο του μηδενός (\(x(x-2) \neq 0\));

8. Να αποδείξετε την παρακάτω ισοδυναμία αναλύοντάς την σε δύο ανεξάρτητες συνεπαγωγές (\(P \Rightarrow Q\) και \(Q \Rightarrow P\)): «Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες».

Λύση

Για να αποδείξετε την ισοδυναμία «Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες», πρέπει, σύμφωνα με τη μεθοδολογία της μαθηματικής λογικής, να την αναλύσετε σε δύο ανεξάρτητες συνεπαγωγές και να αποδείξετε ότι ισχύουν και οι δύο.

Έστω οι προτάσεις:

• \(P\): «Το τρίγωνο είναι ισοσκελές».
• \(Q\): «Το τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες».

Η ζητούμενη απόδειξη της ισοδυναμίας (\(P \iff Q\)) χωρίζεται στα εξής δύο σκέλη:

Η Ευθεία Συνεπαγωγή (\(P \Rightarrow Q\))

Υπόθεση: Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Συμπέρασμα: Το τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες.

• Απόδειξη: Από τον ορισμό του ισοσκελούς τριγώνου, γνωρίζουμε ότι έχει δύο πλευρές ίσες. Σύμφωνα με βασικό θεώρημα της Γεωμετρίας, σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. Επομένως, οι γωνίες της βάσης του τριγώνου είναι ίσες, άρα το συμπέρασμα \(Q\) αληθεύει.

Η Αντίστροφη Συνεπαγωγή (\(Q \Rightarrow P\))

Υπόθεση: Το τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες.

Συμπέρασμα: Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

• Απόδειξη: Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε, σύμφωνα με το αντίστροφο γεωμετρικό θεώρημα, οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από αυτές τις γωνίες είναι επίσης ίσες. Εφόσον το τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες, εξ ορισμού είναι ισοσκελές. Άρα η πρόταση \(P\) αληθεύει.

Συμπέρασμα

Επειδή αποδείχθηκε ότι η \(P\) συνεπάγεται την \(Q\) (\(P \Rightarrow Q\)) και η \(Q\) συνεπάγεται την \(P\) (\(Q \Rightarrow P\)), οι δύο προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες (\(P \iff Q\)). Αυτό σημαίνει ότι οι δύο ιδιότητες (ισοσκελές σχήμα και ίσες γωνίες) είναι ταυτόσημες για τον χαρακτηρισμό ενός τριγώνου.

9. Μετατρέψτε την παρακάτω πρόταση στη μορφή «Αν \(P\), τότε \(Q\)» και προσδιορίστε ποια είναι η ικανή και ποια η αναγκαία συνθήκη: «Ο πρωινός καφές είναι αρκετός για να είμαι ευδιάθετος όλη μέρα».

10. Εξηγήστε τη διαφορά στη λογική δομή (σύζευξη vs διάζευξη) μεταξύ των παρακάτω δύο ανισώσεων:

• 1. \(|x| < 3\) (Η απόσταση του \(x\) από το 0 είναι μικρότερη του 3).
• 2. \(|x| > 3\) (Η απόσταση του \(x\) από το 0 είναι μεγαλύτερη του 3).

Ποια από τις δύο αντιστοιχεί στην τομή και ποια στην ένωση διαστημάτων;

11. Δίνεται η πρόταση: «Αν ένα σχήμα είναι τετράγωνο, τότε είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο».

• 1. Να διατυπώσετε την αντιθετοαντίστροφη πρόταση.
• 2. Είναι η αντιθετοαντίστροφη πρόταση αληθής;

12. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι: «Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\), ισχύει \(x^2 > x\)».

• 1. Χρησιμοποιήστε τη λογική της άρνησης μιας καθολικής πρότασης για να καταρρίψετε τον ισχυρισμό.
• 2. Βρείτε ένα αντιπαράδειγμα (μια τιμή του \(x\)) που να καθιστά την πρόταση ψευδή.

13. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \(\alpha\) και \(\beta\). Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ.

• 1. \(\alpha^2 = 16 \Rightarrow \alpha = 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 2. \(\alpha^2 = \alpha \Leftrightarrow \alpha = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 3. \(\alpha^2 \neq 9 \Rightarrow \alpha \neq 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 4. \(\alpha \neq 5 \Leftrightarrow \alpha^2 \neq 25 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 5. \(\alpha > 3 \Rightarrow \alpha^2 > 9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 6. \(\alpha < 3 \Rightarrow \alpha^2 < 9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 7. \(\alpha^2 < 9 \Rightarrow \alpha < 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 8. \(\alpha^2 > 9 \Rightarrow \alpha > 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)
• 9. \(\alpha < 4\) και \(\beta < 5 \Rightarrow \alpha \cdot \beta < 20 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\quad A \quad Ψ \quad]\)

14. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισμούς της ομάδας Α’ με τον ισοδύναμο ισχυρισμό από την ομάδα Β’.

Α’ ΟΜΑΔΑ	Β’ ΟΜΑΔΑ
1. \(x(x-3) = 0\)	Α. \(x \neq 0\) και \(x \neq 3\)
2. \(x(x-3) \neq 0\)	Β. \(x = 3\)
3. \(x^2 = 9\)	Γ. \(x = -3\) ή \(x = 3\)
4. \(x^2 = 9\) και \(x < 0\)	Δ. \(x = 0\)
5. \(x(x-3) = 0\) και \(x(x-1) = 0\)	Ε. \(x = 0\) ή \(x = 3\)
6. \(x^2 = 9\) και \(x > 0\)	Ζ. \(x = -3\)

ΣυμβουλήΕνέργεια

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!