14. Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

8 Ιούλιος 2026

1 Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο

1.1 Θεωρία

Η έννοια της διάταξης στα μαθηματικά, αφορά τον τρόπο με τον οποίο συγκρίνουμε και ιεραρχούμε στοιχεία ενός συνόλου, είτε πρόκειται για αριθμούς είτε για άλλα αντικείμενα.

1.2 1. Θεωρία Διάταξης στους Πραγματικούς Αριθμούς (\(\mathbb{R}\))

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, η διάταξη ορίζεται με βάση τη διαφορά μεταξύ δύο αριθμών. Λέμε ότι ο πραγματικός αριθμός \(\alpha\) είναι μεγαλύτερος από τον \(\beta\) (\(\alpha > \beta\)), όταν η διαφορά \(\alpha - \beta\) είναι θετικός αριθμός.

  • Γεωμετρική Ερμηνεία: Πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, αν \(\alpha > \beta\), τότε το σημείο που αντιστοιχεί στον \(\alpha\) βρίσκεται δεξιά από το σημείο που αντιστοιχεί στον \(\beta\).


  • Βασικές Παρατηρήσεις:
    • Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν (\(\alpha > 0\)) και κάθε αρνητικός μικρότερος από το μηδέν (\(\beta < 0\)).


* Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αρνητικό.



1.3 2. Ιδιότητες των Ανισοτήτων

1.3.1 1. Μεταβατική Ιδιότητα

Πρόταση: Αν \(\alpha > \beta\) και \(\beta > \gamma\), τότε \(\alpha > \gamma\).

Απόδειξη:

* Από την υπόθεση \(\alpha > \beta \implies \alpha - \beta > 0\).

* Από την υπόθεση \(\beta > \gamma \implies \beta - \gamma > 0\).

* Προσθέτοντας τις δύο θετικές διαφορές, το αποτέλεσμα είναι επίσης θετικό: \((\alpha - \beta) + (\beta - \gamma) > 0 \implies \alpha - \gamma > 0\).

* Συνεπώς, \(\alpha > \gamma\).

1.3.2 2. Ιδιότητα της Πρόσθεσης

Πρόταση: \(\alpha > \beta \iff \alpha + \gamma > \beta + \gamma\) για κάθε \(\gamma \in \mathbb{R}\).

Απόδειξη:

* \(\alpha > \beta \iff \alpha - \beta > 0\).

* Προσθέτουμε και αφαιρούμε το \(\gamma\): \(\alpha - \beta + \gamma + (-\gamma) > 0\).

* Αναδιατάσσουμε τους όρους: \((\alpha + \gamma) - (\beta + \gamma) > 0\).

* Αυτό σημαίνει ότι \(\alpha + \gamma > \beta + \gamma\).

1.3.3 3. Πολλαπλασιασμός με Θετικό Αριθμό

Πρόταση: Αν \(\alpha > \beta\) και \(\gamma > 0\), τότε \(\alpha\gamma > \beta\gamma\).

Απόδειξη:

* Αφού \(\alpha > \beta\), τότε \(\alpha - \beta > 0\).

* Επειδή τόσο το \((\alpha - \beta)\) όσο και το \(\gamma\) είναι θετικοί αριθμοί, το γινόμενό τους είναι επίσης θετικό: \((\alpha - \beta) \cdot \gamma > 0\).

* Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα: \(\alpha\gamma - \beta\gamma > 0\).

* Άρα, \(\alpha\gamma > \beta\gamma\).

1.3.4 4. Πολλαπλασιασμός με Αρνητικό Αριθμό

Πρόταση: Αν \(\alpha > \beta\) και \(\gamma < 0\), τότε \(\alpha\gamma < \beta\gamma\).

Απόδειξη:

* Αφού \(\gamma < 0\), τότε ο αντίθετός του είναι θετικός: \(-\gamma > 0\).

* Σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα (πολλαπλασιασμός με θετικό), έχουμε: \(\alpha(-\gamma) > \beta(-\gamma) \implies -\alpha\gamma > -\beta\gamma\).

* Αυτό σημαίνει ότι \(-\alpha\gamma - (-\beta\gamma) > 0 \implies -\alpha\gamma + \beta\gamma > 0\).

* Άρα \(\beta\gamma - \alpha\gamma > 0\), που σημαίνει \(\beta\gamma > \alpha\gamma\) ή \(\alpha\gamma < \beta\gamma\).

1.3.5 5. Πρόσθεση κατά Μέλη

Πρόταση: Αν \(\alpha > \beta\) και \(\gamma > \delta\), τότε \(\alpha + \gamma > \beta + \delta\).

Απόδειξη:

* \(\alpha > \beta \iff \alpha - \beta > 0\) και \(\gamma > \delta \iff \gamma - \delta > 0\).

* Το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι θετικό: \((\alpha - \beta) + (\gamma - \delta) > 0\).

* Αναδιατάσσοντας τους όρους προκύπτει: \((\alpha + \gamma) - (\beta + \delta) > 0\).

* Συνεπώς, \(\alpha + \gamma > \beta + \delta\).

1.3.6 6. Αντίθετοι Αριθμοί

Πρόταση: \(\alpha > \beta \iff -\alpha < -\beta\).

Απόδειξη:

Η ιδιότητα αυτή προκύπτει άμεσα αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της ανισότητας \(\alpha > \beta\) με τον αρνητικό αριθμό \(-1\).

Η φορά της ανισότητας αλλάζει, δίνοντας \((-1)\alpha < (-1)\beta\), δηλαδή \(-\alpha < -\beta\).

1.4 4. Παραδείγματα

  • Παράδειγμα Σύγκρισης: \(\sqrt{2} > 1\) επειδή η διαφορά \(\sqrt{2} - 1 \approx 1,414 - 1 = 0,414\), που είναι θετικός αριθμός.
  • Παράδειγμα Πολλαπλασιασμού: Έστω η ανισότητα \(5 > -2\).
    • Πολλαπλασιάζοντας με το \(3\): \(15 > -6\) (η φορά μένει ίδια).
    • Πολλαπλασιάζοντας με το \(-3\): \(-15 < 6\) (η φορά αλλάζει).

1.5 Ανισώσεις πρώτου βαθμού μ’ έναν άγνωστο

Μια ανίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο είναι κάθε παράσταση που μπορεί να πάρει τη μορφή \(\alpha x + \beta > 0\) ή \(\alpha x + \beta < 0\), όπου \(\alpha, \beta\) είναι γνωστοί πραγματικοί αριθμοί και \(x\) ο άγνωστος πραγματικός αριθμός.

1.5.1 1. Θεωρία και Κανόνες Επίλυσης

Η επίλυση μιας ανίσωσης συνίσταται στον προσδιορισμό όλων των τιμών του αγνώστου (σύνολο λύσεων) που την επαληθεύουν. Η διαδικασία βασίζεται στη μετατροπή της αρχικής ανίσωσης σε διαδοχικές ισοδύναμες ανισώσεις, μέχρι να φτάσουμε σε μια απλή μορφή όπως \(x > \alpha\) ή \(x < \alpha\).

Οι βασικοί κανόνες που επιτρέπουν αυτούς τους μετασχηματισμούς είναι (όπως ήδη αναφέραμε):

* Μεταφορά όρων: Μπορούμε να μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημό του.

* Πολλαπλασιασμός/Διαίρεση με θετικό αριθμό: Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο θετικό αριθμό, η φορά της ανίσωσης διατηρείται.

* Πολλαπλασιασμός/Διαίρεση με αρνητικό αριθμό: Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, η φορά της ανίσωσης πρέπει να αλλάξει (το \(>\) γίνεται \(<\) και αντίστροφα).

* Απαλοιφή παρονομαστών: Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών.

1.5.2 2. Βήματα Επίλυσης

  1. Εκτέλεση πράξεων για την απαλοιφή παρονομαστών και παρενθέσεων.
  2. Χωρισμός γνωστών όρων από αγνώστους.
  3. Αναγωγή ομοίων όρων ώστε η ανίσωση να πάρει τη μορφή \(\alpha x > \gamma\) ή \(\alpha x < \gamma\).
  4. Διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου (προσοχή στη φορά αν ο συντελεστής είναι αρνητικός).

1.5.3 3. Παραδείγματα

Παράδειγμα 1 (Απλή ανίσωση): Να λυθεί η ανίσωση \(3x - 5 > 0\).

  • \(3x - 5 > 0 \Leftrightarrow 3x > 5 \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{3}\). Η λύση περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το \(5/3\).

Παράδειγμα 2 (Με αρνητικό συντελεστή):

Να λυθεί η ανίσωση \(-4x + 3 < 5\).

  • \(-4x < 5 - 3 \Leftrightarrow -4x < 2\)

  • Διαιρούμε με το \(-4\) και αλλάζουμε τη φορά: \(x > \dfrac{2}{-4} \Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{2}\).

Παράδειγμα 3 (Με κλάσματα):

Να λυθεί η ανίσωση \(\dfrac{7x}{3} - \dfrac{3x+4}{4} \ge x + \dfrac{5}{2}\).

  • Πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π.(3, 4, 2) = 12:

    \(12 \cdot \dfrac{7x}{3} - 12 \cdot \dfrac{3x+4}{4} \ge 12x + 12 \cdot \dfrac{5}{2}\)

  • \(4(7x) - 3(3x+4) \ge 12x + 6 \cdot 5\)

  • \(28x - 9x - 12 \ge 12x + 30\)

  • \(19x - 12 \ge 12x + 30 \Leftrightarrow 7x \ge 42 \Leftrightarrow x \ge 6\).

Παράδειγμα 4 που καταλήγει σε \(x < α\)

Να λυθεί η ανίσωση: \[\dfrac{x-3}{2} + \dfrac{x-1}{3} > \dfrac{2x-2}{4} + \dfrac{3x+4}{3}\]

Βήματα επίλυσης: 1. Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών (12) για να τους απαλείψουμε: \[6(x-3) + 4(x-1) > 3(2x-2) + 4(3x+4)\] 2. Εκτελούμε τις πράξεις: \[6x - 18 + 4x - 4 > 6x - 6 + 12x + 16\] 3. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων: \[6x + 4x - 6x - 12x > 18 + 4 - 6 + 16\] \[-8x > 32\] 4. Διαιρούμε με τον συντελεστή του \(x\) (-8). Επειδή ο αριθμός είναι αρνητικός, η φορά αλλάζει από \(>\) σε \(<\): \[x < \frac{32}{-8} \implies \mathbf{x < -4}\]

Παράδειγμα 5 που καταλήγει σε \(x \le a\)

Έστω η ανίσωση: \[\frac{x-5}{2} \le \frac{2x-7}{4} - \frac{x+1}{9}\]

Βήματα επίλυσης: 1. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών (36) και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους: \[18(x-5) \le 9(2x-7) - 4(x+1)\] 2. Εκτελούμε τις πράξεις: \[18x - 90 \le 18x - 63 - 4x - 4\] 3. Μεταφέρουμε τους αγνώστους στο πρώτο μέλος: \[18x - 18x + 4x \le 90 - 63 - 4\] 4. Κάνουμε την αναγωγή: \[4x \le 23\] 5. Διαιρούμε με το 4 (θετικός αριθμός, η φορά παραμένει ίδια): \[\mathbf{x \le \frac{23}{4}} \quad (\text{ή } x \le 5,75)\]

  • Παράδειγμα 6 αδύνατη με το σύμβολο του μεγαλύτερου (>) : \[\frac{x+2}{2} - \frac{x-4}{2} > 5\] Πολλαπλασιάζοντας με το Ε.Κ.Π. (2), έχουμε: \[x + 2 - (x - 4) > 10 \implies x + 2 - x + 4 > 10 \implies 0x + 6 > 10 \implies \mathbf{0x > 4}\] Επειδή το \(0\) δεν είναι ποτέ μεγαλύτερο του \(4\), η ανίσωση δεν έχει λύση.

  • Παράδειγμα 7 αδύνατη με το σύμβολο του μικρότερου (<) : \[\frac{x+8}{4} - \frac{x+2}{4} < 1\] Πολλαπλασιάζοντας με το 4, έχουμε: \[x + 8 - (x + 2) < 4 \implies x + 8 - x - 2 < 4 \implies 0x + 6 < 4 \implies \mathbf{0x < -2}\] Καθώς το \(0\) δεν είναι μικρότερο από έναν αρνητικό αριθμό, η ανίσωση είναι αδύνατη.

  • Παράδειγμα 8 ταυτότητα με το σύμβολο του μεγαλύτερου (>) : \[\frac{x+2}{3} - \frac{2x+1}{2} > \frac{2x-3}{6} - x\] Πολλαπλασιάζοντας με το Ε.Κ.Π. (6), προκύπτει: \[2(x + 2) - 3(2x + 1) > 2x - 3 - 6x \implies 2x + 4 - 6x - 3 > -4x - 3 \implies -4x + 1 > -4x - 3 \implies \mathbf{0x > -4}\] Η σχέση αυτή αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό, αφού το \(0\) είναι πάντα μεγαλύτερο από το \(-4\).

  • Παράδειγμα 9 ταυτότητα με το σύμβολο του μικρότερου (<) : \[\frac{2x-1}{3} - \frac{x-3}{4} < \frac{5x+2}{12} + 1\] Πολλαπλασιάζοντας με το Ε.Κ.Π. (12), προκύπτει: \[4(2x - 1) - 3(x - 3) < 5x + 2 + 12 \implies 8x - 4 - 3x + 9 < 5x + 14 \implies 5x + 5 < 5x + 14 \implies \mathbf{0x < 9}\] Η ανίσωση αυτή είναι αόριστη και αληθεύει για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), καθώς το \(0\) είναι πάντα μικρότερο από το \(9\).

  • Παράδειγμα 10: Απλές ανισώσεις με πραγματικούς αριθμούς

    Να βρεθούν οι τιμές του \(x\) για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

  1. \(3x - 5 < 0\)
  2. \(4x + 3 > 0\)

Λύση:

Επιλύουμε την πρώτη: \(3x - 5 < 0 \Leftrightarrow 3x < 5 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{3}\).

Επιλύουμε τη δεύτερη: \(4x + 3 > 0 \Leftrightarrow 4x > -3 \Leftrightarrow x > -\dfrac{3}{4}\).

Σχεδιάζουμε τις λύσεις στον ίδιο άξονα πραγματικών αριθμών. Οι ανισώσεις συναληθεύουν για τις τιμές του \(x\) που βρίσκονται μεταξύ του \(-\frac{3}{4}\) και του \(\frac{5}{3}\).

Σύνολο κοινών λύσεων: \(-\dfrac{3}{4} < x < \dfrac{5}{3}\).

Παράδειγμα 11: Ανισώσεις που απαιτούν πράξεις

Να βρεθούν οι τιμές του \(x\) για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

  1. \(3x - 1 < x + 5\)
  2. \(2(x - 5) > x - 15\)

Λύση:

Λύνουμε την πρώτη: \(3x - x < 5 + 1 \Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow \mathbf{x < 3}\).

Λύνουμε τη δεύτερη: \(2x - 10 > x - 15 \Leftrightarrow 2x - x > 10 - 15 \Leftrightarrow \mathbf{x > -5}\).

Οι τιμές που ικανοποιούν και τις δύο είναι εκείνες για τις οποίες ισχύει \(-5 < x < 3\).

Γενικός Κανόνας: Για να βρούμε πού συναληθεύουν δύο ανισώσεις, τις επιλύουμε χωριστά και στη συνέχεια τοποθετούμε τα αποτελέσματα σε έναν κοινό άξονα για να εντοπίσουμε το διάστημα όπου οι γραφικές παραστάσεις των λύσεων συμπίπτουν,.

1.5.4 4. Γραφική Παράσταση Λύσεων

Οι λύσεις παριστάνονται πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Χρησιμοποιούμε μια παχιά γραμμή ή βέλος για να δείξουμε το διάστημα των λύσεων.

  • Αν η ανίσωση είναι αυστηρή (\(> , <\)), το σημείο ορίου σημειώνεται με λευκή κουκίδα (κυκλάκι), υποδηλώνοντας ότι ο αριθμός αυτός δεν περιλαμβάνεται.

  • Αν η ανίσωση είναι μη αυστηρή (\(\ge, \le\)), το σημείο ορίου περιλαμβάνεται στις λύσεις.

Για το παράδειγμα 1


Για το παράδειγμα 2


Για το παράδειγμα 3


Για το παράδειγμα 4


Για το παράδειγμα 5


Για το παράδειγμα 10


Για το παράδειγμα 11

1.6 Ασκήσεις

Α. Σύγκριση Αριθμών και Βασικές Σχέσεις

  1. Σύγκριση αρρήτων: Να αντικαταστήσετε το ερωτηματικό (;) με ένα από τα σύμβολα <, > ώστε οι παρακάτω προτάσεις να είναι αληθείς:

    • α) \(7 + \sqrt{5}\) ; \(7 + \sqrt{6}\)
    • β) \(3\sqrt{17}\) ; \(12\)
    • γ) \(-5\sqrt{26}\) ; \(-25\)
    • δ) \(\dfrac{1}{3}\pi\) ; \(1\)

  2. Μεταβλητές και Διάταξη: Αν \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\) και ισχύει \(\alpha > \beta\), να συγκρίνετε τους αριθμούς:

    • α) \(2\alpha - 3\gamma\) και \(2\beta - 3\gamma\)

    Λύση Έχουμε \(α>β\) πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2 , έτσι παίρνουμε \(α>β \Leftrightarrow 2a>2b\) αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το \(-3γ\) οπότε \(2α-3γ>2β-3γ\)

    • β) \(2\gamma - 3\alpha\) και \(2\gamma - 3\beta\)

  3. Σύγκριση Δεκαδικών: Να τοποθετήσετε το κατάλληλο σύμβολο ανισότητας ανάμεσα στους αριθμούς:

    • α) \(0,50\) και \(0,49\)
    • β) \(0,97860\) και \(0,97849\)
    • γ) \(0,9\) και \(1\)
    • δ) \(0,110\) και \(0,1\bar{1}\)

  4. Σύγκριση Ριζικών: Να υπολογίσετε και να συγκρίνετε τις παραστάσεις \(\sqrt{9} + \sqrt{16}\) και \(\sqrt{9+16}\). Ισχύει γενικά η ισότητα \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = \sqrt{\alpha+\beta}\) για θετικούς αριθμούς;

Β. Αποδείξεις Ανισωτικών Σχέσεων

  1. Θεμελιώδης Ανισότητα: Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό \(\alpha, \beta\) ισχύει η σχέση \(\alpha^2 + \beta^2 \ge 2\alpha\beta\).

  2. Ανισότητα Αθροίσματος: Να αποδείξετε ότι για κάθε \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) ισχύει \(2(\alpha^2 + \beta^2) \ge (\alpha + \beta)^2\).

  3. Αντίστροφοι Αριθμοί: Να αποδείξετε ότι αν \(\alpha > 0\), τότε \(\alpha + \frac{1}{\alpha} \ge 2\). Ποια είναι η αντίστοιχη σχέση αν \(\alpha < 0\);

  4. Ανισότητα Τριών Όρων: Να αποδείξετε ότι για κάθε \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\) ισχύει η σχέση \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \ge \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\).

    Λύση

    Αν υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας οτι \(α>β>γ\), τότε

    \(α>β \Leftrightarrow α^2>αβ\), πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με \(α\)

    \(β>γ \Leftrightarrow β^2>βγ\), πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με \(β\)

    \(α>γ\) ……………………………………………………….

    =====================================================================

    προσθέτουμε ………………….

  5. Δυνάμεις και Διάταξη: Για κάθε \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), να αποδείξετε την ανισότητα \(\alpha^4 + \beta^4 \ge \alpha^3\beta + \alpha\beta^3\).

    Λύση:

    Για να αποδείξουμε την ανισότητα, θα εξετάσουμε τη διαφορά των δύο μελών και θα δείξουμε ότι είναι μη αρνητική (\(\ge 0\)).

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος:

\[\alpha^4 + \beta^4 - \alpha^3\beta - \alpha\beta^3 \ge 0\]

Ομαδοποιούμε τους όρους για να κάνουμε παραγοντοποίηση:

\[(\alpha^4 - \alpha^3\beta) + (\beta^4 - \alpha\beta^3) \ge 0\] \[\alpha^3(\alpha - \beta) - \beta^3(\alpha - \beta) \ge 0\]

Βγάζουμε κοινό παράγοντα το \((\alpha - \beta)\):

\[(\alpha^3 - \beta^3)(\alpha - \beta) \ge 0\]

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα της διαφοράς κύβων:

Γνωρίζουμε ότι \(\alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)\). Αντικαθιστώντας στην παράσταση, έχουμε: \[(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)(\alpha - \beta) \ge 0\] \[(\alpha - \beta)^2(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) \ge 0\]

Ανάλυση των παραγόντων:

  • Ο παράγοντας \((\alpha - \beta)^2\) είναι πάντα \(\ge 0\) για κάθε πραγματικό αριθμό \(\alpha, \beta\), καθώς είναι τετράγωνο.

  • Ο παράγοντας \(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2\) μπορεί να γραφτεί στη μορφή συμπλήρωσης τετραγώνου ως \((\alpha + \dfrac{\beta}{2})^2 + \dfrac{3\beta^2}{4}\), επομένως είναι επίσης πάντα \(\ge 0\).

ή πολλαπλασιάζοντας με 4 θα γίνει

\(4a^2+4aβ+4β^2=(2α)^2+2\cdot2aβ+β^2+3β^2=(2α+β)^2+3β^2\) Θετικό σαν άθροισμα τετραγώνων.

Συμπέρασμα:

Επειδή το γινόμενο δύο μη αρνητικών όρων είναι πάντα μη αρνητικό, η ανισότητα \(\alpha^4 + \beta^4 \ge \alpha^3\beta + \alpha\beta^3\) αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό \(\alpha, \beta\). Η ισότητα ισχύει μόνο όταν \(\alpha = \beta\).

  1. Κλασματική Ανισότητα: Αν \(\alpha, \beta, \gamma\) είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, αποδείξτε ότι: \[\frac{\alpha+\beta}{\gamma} + \frac{\beta+\gamma}{\alpha} + \frac{\gamma+\alpha}{\beta} \ge 6\] Λύση

Πολλαπλασιάστε και τα δύο μέλη με αβγ

ομαδοποιήστε το \(1^ο\) μέλος της παράστασης που θα προκύψει

\(β(α^2+γ^2)+α(β^2+γ^2)+..............= 2αβγ+2αβγ+2αβγ\)

Μεταφέρετε τα 2αβγ και παραγοντοποιήστε ανά ομάδες

\(β(α^2+γ^2-2αγ)+ ......................\ge 0\)

……………………………………..

…………………………………….

Γ. Απόλυτες Τιμές και Ιδιότητες

  1. Απόλυτη Τιμή και Τετράγωνο: Για κάθε \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) με \(\beta \neq 0\), να αποδείξετε την ισοδυναμία: \(|\alpha| < |\beta| \iff \alpha^2 < \beta^2\).

  2. Τριγωνική Ανισότητα: Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(x, y\), να αποδείξετε ότι \(|x + y| \le |x| + |y|\).

  3. Διαφορά Απολύτων: Για κάθε \(x, y \in \mathbb{R}\), να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση \(|x - y| \ge |x| - |y|\).

  4. Σύνθετη Σχέση: Αν \(\alpha, \beta\) είναι πραγματικοί αριθμοί με \(\alpha^2 < 9\beta^2\), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισωτική σχέση: \[\left| \frac{\alpha}{\beta} \right| - \left| \frac{\beta}{\alpha} \right| < \frac{8}{3}\]

Ασκήσεις Ανισώσεων Α΄ Βαθμού

  1. Απλή ανίσωση: \(x + 5 > 8\).

  2. Βασική μορφή: \(3x - 5 > 0\).

  3. Αρνητικός συντελεστής: \(-4x + 3 < 5\) (Προσοχή στην αλλαγή φοράς κατά τη διαίρεση με το -4).

  4. Περίπτωση ταυτότητας: \(0x + 10 > 0\) (Εξετάστε αν αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό).

  5. Αδύνατη ανίσωση: \(0x - 8 > 0\).

  6. Μεταβλητή και στα δύο μέλη: \(7x - 12 < x - 18\).

  7. Με κλασματικούς όρους: \(\dfrac{x-3}{4} - \dfrac{x-2}{3} > x - \dfrac{x-1}{2}\).

  8. Ανάπτυγμα τετραγώνων: \((x+5)^2 - 2(3x-6) > (x-3)^2 - 3(2x+5)\).

  9. Εγγράμματη (με παράμετρο λ): \(\lambda x - 3 < 2x + 7\) (Διερεύνηση λύσεων ανάλογα με την τιμή του \(\lambda\)).

  10. Πράξεις με παρονομαστές: \(\dfrac{3(x-4)}{5} - \dfrac{2(5+x)}{6} < \dfrac{5x-1}{10}\).

  11. Μη αυστηρή ανίσωση: \(\dfrac{7x}{3} - \dfrac{3x+4}{4} \ge x + \dfrac{5}{2}\).

  12. Να λυθεί η ανίσωση \[\frac{x+3}{2} - \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{6}\]

  13. Να λυθεί η ανίσωση \[\frac{x+5}{3} - \frac{x-2}{3} > 4\]

  14. Να λυθεί η ανίσωση \[\frac{3x+5}{6} - \frac{x-1}{2} < \frac{x}{2}\]

  15. Να λυθεί η ανίσωση \[x - \frac{x+1}{2} > \frac{x-4}{2}\]

  16. Να λυθεί η ανίσωση \[\frac{x+2}{3} + \frac{x-1}{4} > \frac{7x+1}{12}\]

  17. Να λυθεί η ανίσωση \[\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{4} < \frac{3-x}{12}\]

Προβλήματα με Ανισώσεις Α΄ Βαθμού

  1. Γεωμετρική Συνθήκη Τριγώνου: Προσδιορίστε τις τιμές του \(x\) ώστε οι παραστάσεις \(\alpha = x^2-x+1\), \(\beta = x+2\) και \(\gamma = x^2-4x+3\) να αποτελούν πλευρές τριγώνου, εφαρμόζοντας την ανισωτική σχέση \(\gamma < \alpha + \beta\).

  2. Συναλήθευση Ακέραιων Λύσεων: Βρείτε το σύνολο των σχετικών ακεραίων \(x\) που επαληθεύουν ταυτόχρονα τις ανισώσεις \(-7 < x \le 4\) και \(-1 < x < 4\).

  3. Διερεύνηση Παραμέτρου: Προσδιορίστε την τιμή μιας παραμέτρου \(\lambda\) ώστε μια ανίσωση (π.χ. η \((\lambda-1)x > 4-\lambda\)) να είναι αδύνατη.

  4. Αγορά σχολικών ειδών Έχεις 50€. Αγοράζεις τετράδια αξίας 2€ το καθένα και ένα σακίδιο 10€. Πόσα τετράδια μπορείς να αγοράσεις αν θέλεις να σου μείνουν τουλάχιστον 8€;

  5. Χρήση κινητού τηλεφώνου Ένα πρόγραμμα χρεώνει πάγιο 15€ και 0,20€ ανά λεπτό. Θέλεις ο λογαριασμός σου να μην ξεπεράσει τα 35€. Πόσα λεπτά το πολύ πρέπει να μιλήσεις

  6. Αποταμίευση Έχεις ήδη 40€ στον κουμπαρά και βάζεις κάθε εβδομάδα 5€. Αν ξοδεύεις παράλληλα 2€ την εβδομάδα, σε πόσες εβδομάδες θα έχεις τουλάχιστον 100€;

  7. Ταξί Ένα ταξί έχει αρχική χρέωση (σημαία) 4€ και 0,80€ ανά χιλιόμετρο. Διαθέτεις 20€. Πόσα το πολύ χιλιόμετρα μπορείς να κάνεις;

  8. Ενοικίαση ποδηλάτου Για ένα ποδήλατο πληρώνεις 3€ πάγιο και 2€ ανά ώρα. Ο προϋπολογισμός σου είναι 15€. Πόσες ωρες μπορείς να το χρησιμοποιήσεις;

  9. Βαθμολογία μαθητή Ένας μαθητής έχει γράψει διαγωνίσματα με μέσο όρο 14. Θέλει μετά το επόμενο διαγώνισμα να έχει μέσο όρο τουλάχιστον 15. Πόσο τουλάχιστον πρέπει να γράψει στο διαγώνισμα

  10. Κατανάλωση καυσίμου Ένα αυτοκίνητο έχει 50 λίτρα καύσιμο και καταναλώνει 0,07 λίτρα ανά χιλιόμετρο. Θέλεις να μείνουν τουλάχιστον 10 λίτρα.Πόσα χιλιόμετρα το πολύ πρέπει να κάνεις;

  11. Γυμναστήριο Έχεις στόχο να κάψεις τουλάχιστον 600 θερμίδες. Καίς 80 θερμίδες στο ζέσταμα και 40 θερμίδες ανά λεπτό έντονης άσκησης. Πόσα λεπτά το ελάχιστο πρέπει να γυμναστείς;

  12. Παραγγελία πίτσας Έχεις 30€. Μια πίτσα κοστίζει 8€ και ένα αναψυκτικό 2€. Πόσα αναψυκτικά το πολύ μπορείς να αγοράσεις;

Η συναλήθευση δύο ή περισσότερων ανισώσεων ορίζεται ως η εύρεση των κοινών τους λύσεων, δηλαδή της τομής των συνόλων λύσεών τους.

  1. Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του \(x\) για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: \[ \begin{matrix} 3x - 5 < 0\\ 4x + 3 > 0 \end{matrix}\]

  2. Να προσδιορίσετε το διάστημα των λύσεων όπου συναληθεύουν οι παρακάτω ανισώσεις:

\[ \begin{matrix} -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{7}\\ \dfrac{x-3}{4} - \dfrac{x-2}{3} > x - \dfrac{x-1}{2} \end{matrix}\]

  1. Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:

\[ \begin{matrix} \frac{x-5}{2} < \frac{2x-7}{4} - \frac{x+1}{9}\\ \frac{3x-14}{12} + \frac{3x-2}{4} > \frac{2(x-1)}{3} \end{matrix}\]

  1. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του \(\psi\) για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

\[\begin{matrix} \frac{(\psi+3)(\psi-2)}{10} - \frac{(\psi+2)(\psi-1)}{14} < \frac{(\psi-3)(\psi+2)+4}{35}\\ \frac{\psi-1}{5} + \frac{2\psi+3}{10} > \frac{3}{4} \left( \psi - \frac{\psi+4}{2} \right) + \frac{3\psi-4}{8} \end{matrix}\]

  1. Να βρεθεί το σύνολο των πραγματικών αριθμών \(x\) που επαληθεύουν ταυτόχρονα τις σχέσεις:

\[\begin{matrix} \frac{7x}{3} - \frac{3x+4}{4} \ge x + \frac{5}{2}\\ x - 3 < \frac{x+5}{3} \end{matrix}\]

Συμβουλή

Για κάθε ανίσωση χωριστά, βρείτε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών και πολλαπλασιάστε όλα τα μέλη για να τους απαλείψετε.

Προσέξτε να αλλάξετε τη φορά της ανίσωσης αν χρειαστεί να διαιρέσετε ή να πολλαπλασιάσετε με αρνητικό αριθμό.

Τοποθετήστε τις λύσεις κάθε ανίσωσης πάνω στον ίδιο αριθμητικό άξονα για να εντοπίσετε το κοινό τους τμήμα.

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!