1 Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου
1.1 Ορθό Πρίσμα
Τι είναι: Είναι ένα στερεό σώμα με δύο βάσεις που είναι ίσα πολύγωνα και παράλληλα μεταξύ τους. Οι παράπλευρες (πλαϊνές) έδρες του είναι πάντα ορθογώνια παραλληλόγραμμα.
Βασικοί Τύποι:
* Παράπλευρο Εμβαδόν (\(E_π\)): Το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης επί το ύψος.
* Τύπος: \(E_π = \text{Περίμετρος βάσης} \cdot \upsilon\).
* Ολικό Εμβαδόν (\(E_{ολ}\)): Το άθροισμα του παράπλευρου εμβαδού και των εμβαδών των δύο βάσεων.
* Τύπος: \(E_{ολ} = E_π + 2E_β\).
Ειδικά για τον κύβο ακμής α:
Επιφάνεια: Ο κύβος αποτελείται από 6 τετράγωνα πλευράς α, άρα το \(Ε_{κύβου}=6α^2\)
Παράδειγμα για πρίσμα: Έστω ένα τριγωνικό πρίσμα με ύψος \(\upsilon = 8\text{ cm}\) και βάση ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές \(3\text{ cm}\) και \(4\text{ cm}\).
1. Βάση: Η υποτείνουσα της βάσης είναι \(5\text{ cm}\). Η περίμετρος είναι \(3+4+5 = 12\text{ cm}\) και το εμβαδό βάσης \(E_β = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2\).
2. Εμβαδόν: \(E_π = 12 \cdot 8 = 96\text{ cm}^2\). Το \(E_{ολ} = 96 + 2 \cdot 6 = 108\text{ cm}^2\).
1.2 Κύλινδρος
 |
 |
 |
|
 |
 |
Τι είναι: Αποτελείται από δύο ίσους και παράλληλους κυκλικούς δίσκους (βάσεις) και μια παράπλευρη επιφάνεια που, αν την «ξετυλίξουμε», έχει σχήμα ορθογωνίου.
Βασικοί Τύποι:
* Παράπλευρο Εμβαδόν (\(E_π\)): Η περίμετρος της βάσης (\(2\pi\rho\)) επί το ύψος (\(\upsilon\)).
* Τύπος: \(E_π = 2\pi\rho \cdot \upsilon\).
* Ολικό Εμβαδόν (\(E_{ολ}\)): Το παράπλευρο εμβαδόν συν τα εμβαδά των δύο κυκλικών βάσεων.
* Τύπος: \(E_{ολ} = 2\pi\rho\upsilon + 2\pi\rho^2\).
Παράδειγμα: Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης \(\rho = 4\text{ cm}\) και ύψος \(\upsilon = 12\text{ cm}\).
Εμβαδόν: \(E_π = 2\pi \cdot 4 \cdot 12 = 96\pi \text{ cm}^2\). Το εμβαδό των δύο βάσεων είναι \(2 \cdot (\pi \cdot 4^2) = 32\pi \text{ cm}^2\). Άρα \(E_{ολ} = 96\pi + 32\pi = 128\pi \text{ cm}^2\).
1.3 Ασκήσεις
- Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
| Σχήμα | Εμβαδόν βάσεων | Εμβαδόν παράπλευρης Επιφάνειας |
Εμβαδόν ολικής επιφάνειας |
Όγκος |
|---|---|---|---|---|
| Πρίσμα με βάση τετράγωνο πλευράς 4 cm και ύψος 5 cm | ||||
| Πρίσμα με βάση ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 6 cm και ύψος 8 cm | ||||
| Πρίσμα με βάση κανονικό εξάγωνο πλευράς 5 cm και ύψος 10 cm | ||||
| Κύλινδρος με ακτίνα βάσης 4 m και ύψος 10 m | ||||
| Κύλινδρος με διάμετρο βάσης 6 cm και ύψος 8 cm | ||||
| Κύλινδρος με περίμετρο βάσης 31,415 dm και ύψος 84 cm | ||||
| Κύβος με ακμή 3,8 dm |
Τριγωνικό Πρίσμα: Βρες το εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας πρίσματος με ύψος \(10\text{ cm}\) και βάση ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές \(5\text{ cm}\) και \(5\text{ cm}\) .
Παράπλευρο Εμβαδόν: Ένα πρίσμα έχει βάση τετράπλευρο με πλευρές \(3, 4, 6\) και \(5\text{ cm}\). Αν το ύψος του είναι \(7\text{ cm}\), βρες το \(E_π\) .
Ολικό Εμβαδόν: Πρίσμα με ολικό του εμβαδόν \(109,856\text{ cm}^2\) έχει βάσεις ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς \(4\text{ cm}\). Υπολόγισε το ύψος του .
Ακμή Κύβου από Εμβαδόν: Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κύβου είναι \(144\text{ cm}^2\). Βρες τον όγκο του.
Τετραγωνικό Πρίσμα: Κανονικό τετραγωνικό πρίσμα έχει πλευρά βάσης \(6\text{ cm}\) και ύψος \(10\text{ cm}\). Βρες το \(E_{ολ}\) .
Σύνθετη Βάση: Ένα πρίσμα ύψους \(5\text{ cm}\) έχει βάση πεντάγωνο. Αν το εμβαδόν της βάσης είναι \(176\text{ cm}^2\) και η περίμετρος \(56\text{ cm}\), βρες το ολικό εμβαδόν.
Εμβαδόν Επιφάνειας: Κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης \(\rho = 3\text{ cm}\) και ύψος \(\upsilon = 5\text{ cm}\). Βρες το \(E_π\) και το \(E_{ολ}\) .
Υπολογισμός με Διάμετρο: Ένας κύλινδρος έχει διάμετρο βάσης \(10\text{ cm}\) και ύψος \(8\text{ cm}\). Βρες το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς του .
Δεξαμενή Καυσίμων: Κλειστή κυλινδρική δεξαμενή έχει ύψος \(20\text{ m}\) και ακτίνα \(30\text{ m}\). Πόσα τετραγωνικά μέτρα λαμαρίνας χρειάστηκαν για την κατασκευή της;
Κυρτή Επιφάνεια: Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας κυλίνδρου είναι \(251,2\text{ cm}^2\) και η ακτίνα του \(5\text{ cm}\). Βρες το ύψος του.
Περίμετρος Βάσης: Κύλινδρος έχει περίμετρο βάσης \(12\pi\text{ cm}\) και ύψος \(10\text{ cm}\). Βρες το ολικό του εμβαδόν .
Μετασχηματισμός Στερεού: Ένα στερεό αποτελείται από έναν κύλινδρο (ακτίνας 5 cm και ύψους 7 cm) που έχει στο εσωτερικό του ένα κενό σε σχήμα τετραγωνικού πρίσματος το οποίο εφάπτεται στο εσωτερικό του κυλίνδρου. Να υπολογίσετε την συνολική του επιφάνεια.
Προσοχή! Οι βάσεις του αποτελούνται από κυκλικούς δίσκους από τους οποίους έχουμε αφαιρέσει ένα τετράγωνο
- Κύλινδρος πάνω σε Ορθογώνιο Πρίσμα Ένα στερεό αποτελείται από:
ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο διαστάσεων \(12 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}\),
και κύλινδρο τοποθετημένο πάνω του με:
- ακτίνα (3) cm,
- ύψος (8) cm.
Να υπολογίσετε:
- το συνολικό εξωτερικό εμβαδόν του στερεού
Στην κοινή επιφάνεια επαφής
- Κυλινδρική Σήραγγα μέσα σε Πρίσμα Ένα ορθογώνιο πρίσμα έχει:
- μήκος (20) cm,
- πλάτος (10) cm,
- ύψος (10) cm.
Μέσα του ανοίγεται κυλινδρική σήραγγα ακτίνας (3) cm που διαπερνά όλο το μήκος του πρίσματος.
Να υπολογίσετε:
- την επιφάνεια του στερεού
- Πύργος με Πρίσμα και Κύλινδρο Ένα κτίριο αποτελείται από:
τετραγωνικό πρίσμα βάσης πλευράς (10) m και ύψους (15) m,
και κυλινδρικό πύργο στην οροφή με:
- ακτίνα (4) m,
- ύψος (6) m.
Να βρείτε:
το συνολικό εξωτερικό εμβαδόν
πόσα χρήματα θα δώσουμε για να το βάψουμε αν κάθε \(m^2\) κοστίζει 0,8 €
Στην κοινή επιφάνεια επαφής.
- Δοχείο Σύνθετου Σχήματος Ένα δοχείο αποτελείται από:
κύλινδρο ακτίνας (5) cm και ύψους (12) cm,
πάνω στον οποίο υπάρχει εξαγωνικό πρίσμα ύψους (8) cm.
Το εμβαδόν της εξαγωνικής βάσης είναι: \(54\text{ cm}^2\)
Να υπολογίσετε:
- το συνολικό εμβαδόν των εξωτερικών επιφανειών
Προσοχή στην κοινή επιφάνεια.
Ποιο μέρος συμμετέχει στον υπολογισμό της συνολικής επιφάνειας;
- Συνδυασμός με Κοινή Βάση Ένα στερεό αποτελείται από:
- κύλινδρο ύψους (10) cm και ακτίνας (4) cm,
- και ορθό πρίσμα ίδιου ύψους που έχει τετραγωνική βάση με διαγώνιο (8) cm.
Τα δύο στερεά ενώνονται από τη βάση τους.
Το σχήμα είναι παρόμοιο με αυτό της προηγούμενης άσκησης
Η διαγώνιος του τετραγώνου της βάσης είναι 8 cm
Να βρείτε
- το συνολικό εξωτερικό εμβαδόν
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!