12. Η συνάρτηση y = αx+β

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

16 Απρίλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Η συνάρτηση της μορφής \(y = \alpha x+β\).

1.1 Η ευθεία με εξίσωση y = αx + β

Αφού είδαμε τη συνάρτηση \(y = \alpha x\), η οποία εκφράζει τα ανάλογα ποσά, ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στη γενικότερη μορφή της, τη γραμμική συνάρτηση \(y = \alpha x + \beta\).

Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμός: Η συνάρτηση της μορφής \(y = \alpha x + \beta\), όπου \(\alpha\) και \(\beta\) είναι πραγματικοί αριθμοί, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση.

  • Γραφική Παράσταση: Η γεωμετρική απεικόνιση της συνάρτησης αυτής στο επίπεδο των αξόνων είναι πάντοτε μια ευθεία γραμμή.

  • Συντελεστές: Ο αριθμός \(\alpha\) καθορίζει την κλίση της ευθείας, ενώ ο αριθμός \(\beta\) (σταθερός όρος) καθορίζει το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα των τεταγμένων (\(y'y\)).

Ιδιότητες

  1. Διέλευση από την αρχή των αξόνων: Αν \(\beta = 0\), η εξίσωση γίνεται \(y = \alpha x\) και η ευθεία διέρχεται πάντοτε από το σημείο \(O(0,0)\).
  2. Μη διέλευση: Αν \(\beta \neq 0\), η ευθεία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
  3. Προσδιορισμός ευθείας: Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση, αρκεί να προσδιορίσουμε δύο σημεία της, συνήθως τις τομές με τους άξονες.


Συμβουλή

Αλλάξτε την τιμή των δρομέων α και β (κλίκ και σύρτε)

  • Τι συμβαίνει όταν μεταβάλεται το α;
  • Τι συμβαίνει όταν μεταβάλλεται το β;

Εξετάστε αν ισχύουν όσα είπαμε παραπάνω για τα α και β.

Παραδείγματα

  1. \(y = 2x + 1\): Ευθεία που δεν περνά από το \((0,0)\).
  2. \(y = 3x - 2\): Γραμμική συνάρτηση με κλίση 3.
  3. \(y = 25x + 500\): Συνάρτηση αμοιβής (π.χ. σταθερό ποσό συν προμήθεια).
  4. \(y = 65000 - 5x\): Συνάρτηση με αρνητική κλίση (φθίνουσα).
  5. \(y = 1,50x + 40\): Συνάρτηση κόστους ΔΕΗ (πάγιο συν κατανάλωση).

Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της \(y = x + 3\).
  2. Βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x = 2\) στην εξίσωση \(y = 3x + 4\) (εφαρμογή τύπου).
  3. Αν \(f(x) = x + 5\) και \(f(a) = 87\), βρείτε τη σταθερά \(a\).
  4. Σχεδιάστε την ευθεία \(y = -x + 3\).
  5. Προσδιορίστε αν η ευθεία \(y = 5x-2\) περνά από την αρχή των αξόνων.
  6. Υπολογίστε την τιμή του \(x = 7\) στη συνάρτηση \(y = 2x - 4\).
  7. Βρείτε την κλίση \(\alpha\) στην εξίσωση \(y = 50x-20\).
  8. Προσδιορίστε το \(y\) στην \(y = -2x - 1\) αν \(x = 1,3\).
  9. Σχεδιάστε σε κοινό σύστημα τις \(y = 2x-1\) , \(y=2x+3\) και \(y = 2x\). Τι παρατηρείτε:
  10. Γράψτε τη συνάρτηση που συνδέει την πλευρά \(x\) τετραγώνου με την περίμετρο \(y\).

1.2 Η εξίσωση της μορφής αx + βy = γ

Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμός: Η έκφραση \(ax + βy = γ\) ονομάζεται γραμμική εξίσωση (ή εξίσωση πρώτου βαθμού) με δύο αγνώστους, \(x\) και \(y\).

  • Λύση: Λύση της εξίσωσης ονομάζεται κάθε διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών \((κ,λ )\) που την επαληθεύει.

  • Συντελεστές: Τα \(a, β, γ\) είναι πραγματικοί αριθμοί. Για να παριστάνει ευθεία, πρέπει τουλάχιστον ένα από τα \(a, β\) να είναι διάφορο του μηδενός.

  • Σχέση με την \(y = \alpha x\): Η γραφική παράσταση της \(y = \alpha x + \beta\) είναι μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία \(y = \alpha x\), μετατοπισμένη κατά \(\beta\) μονάδες στον άξονα \(y'y\).

  • Παράλληλες Ευθείες: Δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους όταν έχουν την ίδια κλίση \(\alpha\).

  • Ειδικές Περιπτώσεις:

    • Όταν \(\alpha = 0\), η συνάρτηση γίνεται \(y = \beta\) και είναι μια σταθερή συνάρτηση (οριζόντια ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\)).
    • Η εξίσωση \(x = \kappa\) παριστάνει μια κατακόρυφη ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\), αλλά αυτή δεν ορίζει συνάρτηση.

Ιδιότητες

  1. Άπειρες Λύσεις: Μια εξίσωση με δύο αγνώστους έχει άπειρα διατεταγμένα ζεύγη ως λύσεις, τα οποία γεωμετρικά αντιστοιχούν στα σημεία μιας ευθείας.

  2. Μετασχηματισμός: Η εξίσωση μπορεί να λυθεί ως προς \(y\) (αν \(β \neq 0\)) παίρνοντας τη μορφή \(y = \alpha'x + \beta'\), που είναι η κλασική μορφή της ευθείας.

  3. Ισοδυναμία: Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε όλα τα μέλη με τον ίδιο αριθμό (μη μηδενικό), προκύπτει ισοδύναμη εξίσωση.

Σχέση με τη μορφή \(y = \alpha x + \beta\)

Για να συνδέσουμε τις δύο μορφές, αρκεί να λύσουμε τη γενική εξίσωση ως προς \(y\) (εφόσον \(\beta \neq 0\)):

  1. Απομόνωση του όρου \(y\): Μεταφέρουμε το \(\alpha x\) στο δεύτερο μέλος αλλάζοντας το πρόσημό του: \(\beta y = -\alpha x + \gamma\).

  2. Διαίρεση με το \(\beta\): Διαιρούμε όλα τα μέλη με τον συντελεστή του \(y\): \(y = -\dfrac{\alpha}{\beta}x + \dfrac{\gamma}{\beta}\).

Με αυτή τη μετατροπή, η κλίση της ευθείας είναι το πηλίκο \(-\dfrac{\alpha}{\beta}\) .

Παραδείγματα

  1. \(3x - 2y = 7\): Τυπική γραμμική εξίσωση.
  2. \(5x + y = -2\): Εξίσωση με \(β = 1\).
  3. \(4x + 3y = 5\): Γραμμική εξίσωση δύο αγνώστων.
  4. \(4x - y = 4\): . α=4 και β=-1
  5. \(2x + 3y = -8\): .γ=-8

Ασκήσεις

  1. Λύστε την εξίσωση \(2x - y = -3\) ως προς \(y\).
  2. Βρείτε τρία διατεταγμένα ζεύγη που επαληθεύουν την \(x + y = 5\).
  3. Ελέγξτε αν το ζεύγος \((1, -2)\) είναι λύση της \(3x - 2y = 7\).
  4. Απλοποιήστε την εξίσωση \(6x - 4y = 10\) διαιρώντας με το 2.
  5. Μεταφέρετε τους όρους ώστε η \(y - 3x = 12\) να πάρει τη μορφή \(ax + βy = γ\).
  6. Βρείτε την τιμή του \(y\) στην \(4x - y = 5\) αν \(x = 0,5\).
  7. Σχηματίστε εξίσωση αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι 100.
  8. Βρείτε το \(a\) αν το ζεύγος \((2, -3)\) επαληθεύει την \(ax + y = 3\).
  9. Λύστε την \(x + 2y = -1\) ως προς \(x\).

1.3 Σημεία τομής της ευθείας αx + βy = γ με τους άξονες

Θεωρία και Ορισμοί

  • Τομή με τον άξονα \(x'x\): Είναι το σημείο της ευθείας που έχει τεταγμένη \(y = 0\). Για να το βρούμε, αντικαθιστούμε \(y = 0\) στην εξίσωση και λύνουμε ως προς \(x\).

  • Τομή με τον άξονα \(y'y\): Είναι το σημείο της ευθείας που έχει τετμημένη \(x = 0\). Για να το βρούμε, αντικαθιστούμε \(x = 0\) στην εξίσωση και λύνουμε ως προς \(y\).

Ιδιότητες

  1. Συντεταγμένες: Τα σημεία τομής έχουν πάντα τη μορφή \((x, 0)\) για τον άξονα των τετμημένων και \((0, y)\) για τον άξονα των τεταγμένων.

  2. Ελάχιστα Σημεία: Αυτά τα δύο σημεία τομής με τους άξονες είναι τα πλέον κατάλληλα για τον γρήγορο σχεδιασμό οποιασδήποτε ευθείας που δεν περνά από την αρχή των αξόνων.

  3. Αρχή Αξόνων: Αν ο σταθερός όρος \(\gamma\) είναι μηδέν, τότε και οι δύο τομές συμπίπτουν στο σημείο \((0,0)\).

Παραδείγματα

  1. Για την \(y = 2x - 4\): Για \(y=0 \to x=2\), σημείο \((2,0)\). Για \(x=0 \to y=-4\), σημείο \((0,-4)\).
  2. Για την \(y = 3x - 12\): Τομές στα σημεία \((4,0)\) και \((0,-12)\).
  3. Για την \(x + y = 2\): Τομές στα \((2,0)\) και \((0,2)\).
  4. Για την \(y = 5x\): Τομή και με τους δύο άξονες στο \((0,0)\).
  5. Για την \(y = 20x + 30\): Τομή με τον \(y'y\) στο \((0,30)\).

Ασκήσεις

  1. Βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας \(3x - y = 6\) με τους άξονες.
  2. Προσδιορίστε την τεταγμένη του σημείου τομής της \(y = 3x - 2\) με τον \(y'y\).
  3. Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας \(x + 2y = 10\) με τον άξονα \(x'x\).
  4. Ποιο είναι το σημείο τομής της \(y = ax + \beta\) με τον \(y'y\) όταν \(x=0\);.
  5. Βρείτε τις τομές της ευθείας \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1\) με τους άξονες.
  6. Προσδιορίστε αν το σημείο \((0,-2)\) είναι τομή της \(y = 2x - 2\) με τον \(y'y\).
  7. Βρείτε την τετμημένη του σημείου τομής της \(5x + 3y = 15\) με τον \(x'x\).
  8. Σχεδιάστε την ευθεία \(y = -2x + 4\) χρησιμοποιώντας μόνο τα σημεία τομής.
  9. Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας \(y = 10\) (οριζόντια) με τους άξονες.
  10. Προσδιορίστε τα σημεία τομής της ευθείας που συνδέει τα \((3,0)\) και \((0,4)\) με τους άξονες.

1.4 ….. Ασκήσεων συνέχεια

Άσκηση 1: Εύρεση Σημείων Τομής Δίνεται η ευθεία \(y = 2x - 4\). Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) και στη συνέχεια να τη σχεδιάσετε.

Άσκηση 2: Υπολογισμός Κλίσης Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \(A(1, 1)\) και \(B(2, 3)\).

Άσκηση 3: Εύρεση Εξίσωσης από Σημεία Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία \((0, 3)\) και \((1, 5)\).

Άσκηση 4: Έλεγχος Σημείου Να εξετάσετε ποιό από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = 2x - 1\).

Σημείο Α Σημείο Β Σημείο Γ Σημείο Δ
(-1,1) (3,6) (4,7) (-2,-5)

Άσκηση 5: Πρόβλημα Καθημερινότητας (Ταξί) Για τη χρήση ενός ταξί πληρώνουμε \(1,8\) € για τη «σημαία» και \(0,8\) € για κάθε χιλιόμετρο διαδρομής.

  • Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει το συνολικό ποσό \(y\) για μια διαδρομή \(x\) χιλιομέτρων.
  • Να βρείτε πόσα χιλιόμετρα θα κάνει κάποιος με 16 €.
  • Πόσα χρήματα θα χρειαστεί κάποιος για να κάνει 22 χιλιόμετρα.

Άσκηση 6: Παράλληλες Ευθείες Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλη στην \(y = 3x\);

α) \(y = x + 3\)

β) \(y = 3x - 7\)

γ) \(y = -3x + 5\)

  1. Γραφική Παράσταση: Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες \(y = \dfrac{1}{4}x\), \(y = \dfrac{1}{4}x + 3\) και \(y = \dfrac{1}{4}x - 2\).

  2. Σημεία Τομής με Άξονες: Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία \(y = 2x - 4\) τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).

  3. Εύρεση Παραμέτρου: Η γραφική παράσταση της ευθείας \(y = -2x + \beta\) διέρχεται από το σημείο \(A(-2, 6)\). Να βρείτε την τιμή του \(\beta\).

  4. Τηλεφωνική Χρέωση: Μια εταιρεία χρεώνει πάγιο \(15\) € τον μήνα και \(3\) σεντ (\(0,03\) €) ανά λεπτό ομιλίας. Βρείτε τον τύπο της μηνιαίας χρέωσης.

  5. Υπολογισμός Κλίσης: Να βρείτε την κλίση της ευθείας που δίνεται από την εξίσωση \(2y = 4x - 1\).

  6. Κόστος Επίσκεψης: Μια σχολική εκδρομή σε μουσείο κοστίζει \(8,50\) € ανά μαθητή για την είσοδο και \(50\) € συνολικά για το λεωφορείο. Εκφράστε το συνολικό κόστος \(y\) ως συνάρτηση του αριθμού των μαθητών \(x\).

  7. Ειδικές Μορφές: Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \((-2, 4)\) και είναι κάθετη στον άξονα \(y'y\).

  8. Να αντιστοιχίσετε τις ευθείες με τα γραφήματα

Ευθείες Γραφήματα
y=-3x+6
y=2x-5
y=x-2
  1. Σχεδιάστε την ευθεία \(2x+4y=-1\)
  2. Βρείτε την κλίση της ευθείας \(5x-3y=4\)
  3. Βρείτε που τέμνει τους άξονες η ευθεία \(2x-6y=-5\).
  4. Για την ευθεία \(-x+2y=-4\) να επιλέξετε την σωστή απάντηση από τον παρακάτω πίνακα
Α Β Γ
Έχει κλίση 3 \(\frac{1}{2}\) -4
Τέμνει τον άξονα x’x (4,0) (-2,0) (3,-3)
Τέμνει τον άξονα y’y (0,-2) (-2,0) (-2,2)

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !