22. Παραλληλόγραμμο-Ορθογώνιο-Ρόμβος-Τετράγωνο-Τραπέζιο-Ισοσκελές τραπέζιο

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

29 Μάρτιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Παραλληλόγραμμο - Ορθογώνιο - Ρόμβος - Τετράγωνο - Τραπέζιο - Ισοσκελές τραπέζιο

1.1 Παραλληλόγραμμο

Θεωρία και Ορισμοί

Παραλληλόγραμμο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες ανά δύο. Είναι πάντοτε ένα κυρτό τετράπλευρο.

  • Ύψος: Όταν ορίσουμε μια πλευρά ως βάση, ύψος είναι η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά (το πλάτος της αντίστοιχης ταινίας). Ένα παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη, ανάλογα με τη βάση που επιλέγουμε.


Παραδείγματα

  1. Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με πλευρές AB=6cm, ΑΔ=4cm και γωνία Α=75°.
  2. Αν η γωνία Α είναι 60°, τότε η Β=120°, η Γ=60° και η Δ=120°.
  3. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, για την βάση ΑΒ, το ύψος είναι το κάθετο τμήμα ΔΕ από την κορυφή Δ προς την ΑΒ.
  4. Αν η μία γωνία είναι 50°, οι υπόλοιπες υπολογίζονται από τις ιδιότητες των παραλλήλων.

Ασκήσεις

  1. Κατασκευάστε παραλληλόγραμμο με πλευρές 3cm και 5cm και μία γωνία 45°.
  2. Βρείτε τις γωνίες παραλληλογράμμου αν η μία είναι τριπλάσια της άλλης.
  3. Αν η περίμετρος είναι 18cm και η μία πλευρά διπλάσια της άλλης, βρείτε τις πλευρές.
  4. Αν η γωνία Α είναι τα 3/5 της ορθής, υπολογίστε όλες τις γωνίες.
  5. Βρείτε την περίμετρο αν οι πλευρές είναι 10m και 14m.
  6. Αν το άθροισμα τριών γωνιών είναι 234°, βρείτε τις γωνίες.

1.2 Ορθογώνιο

Θεωρία και Ορισμοί

Ορθογώνιο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει τις γωνίες του ορθές.

  • Διαστάσεις: Το μήκος και το πλάτος του ορθογωνίου τα οποία είναι και τα ύψη του.

Παραδείγματα

  1. Ορθογώνιο με διαστάσεις 5cm και 3cm.
  2. Ένα γήπεδο με μήκος 150m και πλάτος 96m.
  3. Φύλλο χαρτιού 30cm x 20cm.

Ασκήσεις

  1. Βρείτε τις διαστάσεις ένος ορθογωνίου αν η περίμετρος είναι 300m και το μήκος είναι κατά 10m μεγαλύτερο από το πλάτος.
  2. Αποδείξτε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου σχηματίζουν ορθογώνιο.

Απόδείξτε ότι η γωνία Η στο τρίγωνο ΕΖΗ είναι \(90^ο\)

1.3 Ρόμβος

Θεωρία και Ορισμοί

Ρόμβος ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Παραδείγματα

  1. Ρόμβος με πλευρά 5cm και γωνία 40°.
  2. Ρόμβος με πλευρά 5,3 cm και ύψος 2,7 cm .

Ασκήσεις

  1. Αν η μία γωνία ενός ρόμβου είναι 66°, βρείτε όλες τις άλλες γωνίες.
  2. Υπολογίστε την πλευρά ρόμβου αν η περίμετρός του είναι ίση με την περίμετρο ορθογωνίου 18m x 12m.
  3. Κατασκευάστε ρόμβο με πλευρά 4cm και γωνία 60°.

1.4 Τετράγωνο

Θεωρία και Ορισμοί

Τετράγωνο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος (έχει όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές ίσες).

Παραδείγματα

  1. Τετράγωνο με πλευρά 4cm.
  2. Τετράγωνο με περίμετρο 44,8m.
  3. Τετράγωνο που σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών άλλου τετραγώνου.

Ασκήσεις

1.5 Τραπέζιο

Θεωρία και Ορισμοί

Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες.

  • Στοιχεία: Οι παράλληλες πλευρές λέγονται βάσεις.

  • Ύψος: Η απόσταση μεταξύ των δύο βάσεων.

Παραδείγματα

  1. Τραπέζιο με βάσεις 213m και 612m και ύψος 50m.
  2. Χωράφι σε σχήμα τραπεζίου με βάσεις 128m και 94m και ύψος 76m.

Ασκήσεις

  1. Κατασκευάστε τραπέζιο με βάση 6cm, γωνίες 50° και 70° και ύψος 3cm.
  2. Σε ορθογώνιο τραπέζιο (Α=Δ=90°), αν Β=45°, βρείτε τη γωνία Γ.
  3. Βρείτε την περίμετρο αν οι πλευρές είναι 17m, 10m, 11m και 15m.

1.6 Ισοσκελές Τραπέζιο

Θεωρία και Ορισμοί

Ισοσκελές τραπέζιο ονομάζεται το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες.

Παραδείγματα

  1. Ισοσκελές τραπέζιο με γωνία βάσης 74°.
  2. Ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις 36cm και 20cm και ίσες πλευρές 17cm.
  3. Τραπέζιο όπου η βάση ΔΓ είναι ίση με τα 2/3 της ΑΒ.
  4. Κατασκευή ισοσκελούς τραπεζίου από βάσεις 6cm και 3cm και πλευρά 4cm.

Ασκήσεις

  1. Αν η μία γωνία είναι 74°, υπολογίστε όλες τις άλλες γωνίες.
  2. Βρείτε την περίμετρο αν η βάση ΓΔ είναι κατά 12m μεγαλύτερη από τα 3/5 των ίσων πλευρών.
  3. Αποδείξτε ότι η ευθεία των μέσων των βάσεων είναι άξονας συμμετρίας.
  4. Αν οι αμβλείες γωνίες είναι διπλάσιες των οξειών, υπολογίστε τις γωνίες.
Σημείωση

Σε όλα τα σχήματα που έχουμε παράλληλες που τέμνονται από άλλες ευθείες ισχύουν αυτά που γνωρίζουμε από την αντίστοιχη θεωρία και άρα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για υπολογισμους γωνιών , για παράδειγμα “οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες” κτλπ

1.7 Ασκήσεις

Ερωτήσεις Κατανόησης & Θεωρίας

  1. (Σωστό/Λάθος):

α) Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος,

β) Ένας ρόμβος είναι τετράγωνο,

  1. Γωνίες Παραλληλογράμμου: Σε παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\), η γωνία \(Α\) είναι \(120^\circ\). Υπολογίστε όλες τις υπόλοιπες γωνίες του σχήματος.

  2. Γωνίες Ισοσκελούς Τραπεζίου: Σε ισοσκελές τραπέζιο η γωνία \(Β\) είναι διπλάσια από τη γωνία \(\Gamma\). Υπολογίστε και τις τέσσερις γωνίες του τραπεζίου.

  3. Ύψη Ρόμβου: Δείξτε με χρήση διαβήτη ή διαφανούς χαρτιού ότι τα δύο ύψη ενός ρόμβου που ξεκινούν από την ίδια κορυφή είναι ίσια μεταξύ τους.

  4. Ρόμβος (Πλευρές) Ένας ρόμβος έχει περίμετρο \(32 \text{ cm}\). Πόσο μήκος έχει η κάθε πλευρά του;

  5. Τραπέζιο (Άθροισμα Γωνιών) Σε ένα τραπέζιο \(ABΓΔ\), οι γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{\Delta}\) βρίσκονται στις πλευρές που δεν είναι παράλληλες. Αν \(\hat{A} = 120^{\circ}\), πόσο είναι η \(\hat{\Delta}\);

2 Η ταξινόμηση των τετραπλεύρων

έχει εξελιχθεί σημαντικά από την κλασική αρχαιότητα έως την Αναγέννηση. Η προσέγγιση του Ευκλείδη ήταν αυστηρά ιεραρχική και βασισμένη στις ιδιότητες των πλευρών και των γωνιών, ενώ ο Petrus Ramus εισήγαγε μια πιο λογική και «συστηματική» ταξινόμηση.

2.1 Η Ταξινόμηση του Ευκλείδη (Στοιχεία, Βιβλίο Ι)

Ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί έναν ενιαίο ορισμό για τα “τετράπλευρα”, αλλά τα ταξινομεί με βάση τη συμμετρία και τον παραλληλισμό των πλευρών τους:

  • Τετράγωνο (Tetragōnon): Ισόπλευρο και ορθογώνιο.
  • Ορθογώνιο (Heteromēkes): Ορθογώνιο αλλά όχι ισόπλευρο.
  • Ρόμβος (Rhombos): Ισόπλευρο αλλά όχι ορθογώνιο.
  • Ρομβοειδές (Rhomboeidēs): Ούτε ισόπλευρο ούτε ορθογώνιο, αλλά με απέναντι πλευρές και γωνίες ίσες (αυτό που σήμερα ονομάζουμε γενικό παραλληλόγραμμο).
  • Τραπέζιο (Trapezion): Τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες (στον Ευκλείδη, ο όρος κάλυπτε και τα μη παράλληλα τετράπλευρα, δηλαδή τα «τραπεζοειδή»).

Χαρακτηριστικό: Η προσέγγιση είναι συνθετική. Ο Ευκλείδης ξεκινά από το τετράγωνο και εξειδικεύει τις ιδιότητες, αντιμετωπίζοντας κάθε είδος ως ξεχωριστή οντότητα.

2.2 Η Ταξινόμηση του Petrus Ramus (16ος αιώνας)

Ο Pierre de la Ramée (Ramus), στο έργο του Scholarum Mathematicarum, προσπάθησε να απλοποιήσει και να αναδιαρθρώσει τη γεωμετρία, απορρίπτοντας τη δομή του Ευκλείδη. Η ταξινόμησή του είναι πιο λογική/διχοτομική:

  • Παραλληλόγραμμο (Parallelogrammum): Τετράπλευρο με απέναντι πλευρές παράλληλες.
    • Ορθογώνιο (Rectangulum): Όλες οι γωνίες ίσες.
    • Μη Ορθογώνιο (Obliquangulum): Οι γωνίες δεν είναι ίσες.
  • Μη Παραλληλόγραμμο (Non-parallelogrammum): Τετράπλευρο όπου δεν είναι όλες οι απέναντι πλευρές παράλληλες.
    • Τραπέζιο (Trapezium): Μόνο δύο πλευρές παράλληλες.
    • Τραπεζοειδές (Trapezoides): Καμία πλευρά παράλληλη.

Χαρακτηριστικό: Η προσέγγιση του Ramus είναι διαγραμματική και ιεραρχική. Χρησιμοποιεί τη λογική του “γένους και είδους” (διαίρεση ανά δύο), η οποία αποτελεί τον πρόδρομο της σύγχρονης ταξινόμησης των σχολικών εγχειριδίων.

2.3 Συγκριτικός Πίνακας

Χαρακτηριστικό Ευκλείδης Petrus Ramus
Βάση Ιδιότητες (γωνίες/πλευρές) Λογική ταξινόμηση (γένους/είδους)
Δομή Παράθεση ορισμών Δένδρο διακλάδωσης (διχοτομική)
Εστίαση Γεωμετρική κατασκευή Συστηματική κατηγοριοποίηση
Τραπέζια Περιλαμβάνει όλα τα μη παραλληλόγραμμα Διαχωρίζει βάσει παραλληλίας

Συμπέρασμα: Ενώ ο Ευκλείδης έθεσε τα γεωμετρικά θεμέλια, ο Ramus εισήγαγε τη συστηματική ταξινόμηση, η οποία διευκόλυνε τη διδασκαλία και την κατανόηση των σχέσεων μεταξύ των διαφορετικών τύπων τετραπλεύρων, οδηγώντας απευθείας στη σύγχρονη γεωμετρία.

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !