21. Άθροισμα γωνιών τριγώνου - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

29 Μάρτιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Άθροισμα γωνιών τριγώνου - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

1.1 Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου

Θεωρία και Ορισμοί

Το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι πάντοτε σταθερό και ισούται με 180° (ή 2 ορθές γωνίες). Η ιδιότητα αυτή αποτελεί θεμελιώδες θεώρημα της Γεωμετρίας και ισχύει για κάθε είδος τριγώνου (οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο).

  • Λύση:

Επειδή \(ε_1 // ΒΓ\), η γωνία \(φ\) είναι ίση με τη γωνία \(\hat{B}\) ώς εντός εναλλάξ και η γωνία \(ω\) ίση με τη γωνία \(\hat{\Gamma}\) ως εντός εναλλάξ. Επειδή οι \(\hat ω, \hat{A}, \hat φ\) σχηματίζουν ευθεία γωνία (\(180^\circ\)), τότε και \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ\).

Ιδιότητες και Πορίσματα

  1. Ορθογώνιο Τρίγωνο: Οι δύο οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντοτε συμπληρωματικές, δηλαδή το άθροισμά τους είναι 90°.

\[\hat B + \hat Γ= 90^ο\]

  1. Ισόπλευρο Τρίγωνο: Κάθε γωνία ενός ισοπλεύρου τριγώνου ισούται με 60° (\(180° : 3 = 60°\)).

  2. Εξωτερική Γωνία: Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του.


\[\hat φ = \hat Α + \hat Β\]

  1. Σύγκριση Τριγώνων: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε αναγκαστικά θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση.

Παραδείγματα

  1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, αν Α=72° και Β=47°, τότε η γωνία Γ = 180° - (72° + 47°) = 61°.
  2. Αν σε ένα τρίγωνο είναι Β=23° 50’ και Γ=107° 40’, τότε η γωνία Α = 180° - 131° 30’ = 48° 30’.
  3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο, αν η μία οξεία γωνία είναι 58° 20’, η άλλη είναι 90° - 58° 20’ = 31° 40’.
  4. Αν η εξωτερική γωνία στην κορυφή Γ είναι 130° και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή Α (90°), τότε η εσωτερική γωνία Β = 130° - 90° = 40°.
  5. Σε ένα τρίγωνο με γωνίες 38° και 115° 30’, η τρίτη γωνία υπολογίζεται αφαιρώντας το άθροισμά τους από τις 180°.

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε την τρίτη γωνία τριγώνου ΑΒΓ αν είναι Α = 32° και Γ = 46° .
  2. Η μία γωνία ενός τριγώνου είναι 70° και η άλλη είναι τα 2/7 αυτής. Βρείτε όλες τις γωνίες του τριγώνου.
  3. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 23° και η γωνία Β = 4Γ. Υπολογίστε τις γωνίες του.
  4. Αποδείξτε ότι αν σε ένα τρίγωνο ισχύει η σχέση Α = Β + Γ, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
  5. Αν σε ένα τρίγωνο έχουμε \(Β + Γ=78^ο\), εξετάστε τι τρίγωνο είναι.
  6. Αποδείξτε ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου είναι 360° (4 ορθές).
  7. Βρείτε τις γωνίες ενός τριγώνου αν αυτές είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 1, 1 και 4 (εκφρασμένες ως α°, α°, 4α°).
  8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία είναι 58°. Πόση είναι η άλλη οξεία γωνία;.
  9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Β - Γ = 90°. Δείξτε ότι η διχοτόμος της γωνίας Α σχηματίζει γωνία 45° με την πλευρά ΒΓ.

1.2 Ιδιότητες Ισοσκελούς και Ισοπλεύρου Τριγώνου

Θεωρία και Ορισμοί

  • Ισοσκελές Τρίγωνο: Είναι το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες (ΑΒ = ΑΓ). Η τρίτη πλευρά ονομάζεται βάση και η απέναντι κορυφή ονομάζεται κορυφή του τριγώνου.

  • Ισόπλευρο Τρίγωνο: Είναι το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες (ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ). Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι υποσύνολο των ισοσκελών.

Ιδιότητες Ισοσκελούς Τριγώνου

  1. Ισότητα Γωνιών: Οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι πάντοτε ίσες.

  2. Άξονας Συμμετρίας: Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ο άξονας συμμετρίας του τριγώνου.

  3. Σύμπτωση Γραμμών: Στην κορυφή ισοσκελούς τριγώνου, η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος προς τη βάση συμπίπτουν στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα.

  4. Δευτερεύοντα Στοιχεία: Τα ύψη, οι διάμεσοι και οι διχοτόμοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι επίσης ίσα μεταξύ τους.

Ιδιότητες Ισοπλεύρου Τριγώνου

  1. Ισογωνιότητα: Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο είναι και ισογώνιο με κάθε γωνία του ίση με 60°.

  2. Άξονες Συμμετρίας: Έχει τρεις άξονες συμμετρίας, που είναι τα ύψη, οι διάμεσοι και οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του.

  3. Ομοιότητα: Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους.

Παραδείγματα

  1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α, αν η γωνία Α = 53°, οι γωνίες της βάσης είναι (180° - 53°) / 2 = 63,5°.
  2. Αν η γωνία της βάσης ενός ισοσκελούς είναι 73° 20’, τότε η γωνία της κορυφής είναι 180° - (2 * 73° 20’) = 33° 20’.
  3. Αν η γωνία της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου είναι 68°’, τότε κάθε γωνία της βάσης είναι 56.
  4. Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 5cm χρησιμοποιώντας διαβήτη και κανόνα.

Ασκήσεις

  1. Σε ισοσκελές τρίγωνο, η γωνία της κορυφής Α είναι κατά 12° μεγαλύτερη από κάθε γωνία της βάσης. Υπολογίστε τη γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης.
  2. Αιτιολογήστε γιατί οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι πάντοτε οξείες.
  3. Αποδείξτε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος της υποτείνουσας ισούται με το μισό της υποτείνουσας.

Σχρδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και μετρήστε.

1.3 …….. Ασκήσεων συνέχεια

  1. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε την γωνία \(φ\).

  1. Στο παρακάτω σχήμα δύο παράλληλες ευθείες \(e_1, e_2\) τέμνονται από δύο τέμνουσες \(τ_1, τ_2\). Να υπολογίσετε τις γωνίε \(\hat α\) και \(\hat γ\).


  2. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο παράλληλες ευθείες \(e_1 \parallel e_2\) και δύο τέμνουσες \(τ_1\) και \(τ_2\) . Να υπολογίσετε την γωνία θ.


  3. Στο παρακάτω σχήμα είναι \(ε_1//ε_2\). Να υπολογίσετε τις φωνίες \(ω\) και \(φ\). Ο κύκλος έχει κέντρο Γ και ακτίνα ΓΑ.

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !