1 Θέσεις ευθείας και κύκλου
1.1 Διάκριση Τέμνουσας και Εφαπτομένης Κύκλου
Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες
Σχετικές Θέσεις: Μια ευθεία (ε) και μια περιφέρεια κύκλου \((K, R)\) που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο μπορούν να έχουν τρεις θέσεις μεταξύ τους, οι οποίες εξαρτώνται από τη σύγκριση της απόστασης (\(d\)) του κέντρου από την ευθεία και της ακτίνας (\(ρ\)).
Τέμνουσα: Μια ευθεία ονομάζεται τέμνουσα όταν έχει δύο κοινά σημεία με την περιφέρεια. Αυτό συμβαίνει όταν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι μικρότερη από την ακτίνα (\(d < ρ\)). Το τμήμα της ευθείας που βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου ονομάζεται χορδή.
Εφαπτομένη: Μια ευθεία ονομάζεται εφαπτομένη όταν έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την περιφέρεια, το οποίο λέγεται σημείο επαφής. Αυτό συμβαίνει όταν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι ίση με την ακτίνα (\(d = ρ\)).
Εξωτερική Ευθεία: Όταν η ευθεία δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την περιφέρεια. Αυτό συμβαίνει όταν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα (\(d > ρ\)).
Βασική Ιδιότητα Εφαπτομένης: Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής.
Για να μπορέσετε να δείτε την στιγμή που κύκλος και ευθεία εφάπτονται κάντε το εξής:
αφού επιλέξετε την ευθεία μετακινήστε την με πολύ μικρά βήματα κάνοντας αυτό:
κρατώντας πατημένο το Shift και συνχρόνως το βέλος δεξιά > ή βέλος αριστερά < μετακινήστε την αυθεία μέχρι να γίνει εφαπτομένη
Παραδείγματα
- Σε κύκλο με ακτίνα \(R = 5\text{ cm}\), μια ευθεία που απέχει \(d = 3\text{ cm}\) από το κέντρο είναι τέμνουσα (\(3 < 5\)).
- Σε κύκλο με ακτίνα \(R = 4\text{ cm}\), μια ευθεία που απέχει \(d = 4\text{ cm}\) από το κέντρο είναι εφαπτομένη (\(4 = 4\)).
- Σε κύκλο με ακτίνα \(R = 2\text{ cm}\), μια ευθεία που απέχει \(d = 2,5\text{ cm}\) από το κέντρο είναι εξωτερική (\(2,5 > 2\)).
- Η ακμή ενός χάρακα που εφάπτεται σε ένα νόμισμα (κύκλο) αποτελεί υλική εικόνα εφαπτομένης.
- Οι γραμμές ενός τετραδίου που διασταυρώνονται με ένα σχήμα κύκλου που σχεδιάσατε είναι τέμνουσες.
Ασκήσεις
- Πόσα κοινά σημεία έχει μια τέμνουσα με έναν κύκλο και πόσα μια εφαπτομένη;.
- Αν η απόσταση του κέντρου από μια ευθεία είναι \(d = 15\text{ mm}\) και η ακτίνα \(R = 2\text{ cm}\), τι θέση έχει η ευθεία;.
- Μπορεί μια ευθεία να έχει τρία κοινά σημεία με έναν κύκλο; Αιτιολογήστε.
- Σχεδιάστε έναν κύκλο και μια ευθεία που να ορίζει μια χορδή. Πώς ονομάζεται αυτή η ευθεία;.
- Συγκρίνετε την ακτίνα \(R\) και την απόσταση \(d\) για μια ευθεία που δεν τέμνει τον κύκλο.
- Χαρακτηρίστε ως τέμνουσα ή εφαπτομένη μια ευθεία αν \(d = 0,028\text{ m}\) και \(R = 28\text{ mm}\).
- Αν μια ευθεία είναι κάθετη στην ακτίνα στο άκρο της, τι είδους ευθεία είναι;.
- Σε κύκλο \(R = 10\text{ cm}\), πού βρίσκεται μια ευθεία αν \(d = 15\text{ cm}\);.
- Σχεδιάστε έναν κύκλο και δύο παράλληλες τέμνουσες. Τι παρατηρείτε για τα τόξα που περικλείονται;.
- Αν μια ευθεία διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, είναι τέμνουσα; Ποια είναι η χορδή που ορίζει;.
1.2 Σχεδίαση Εφαπτομένης Κύκλου σε Σημείο του
Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες
Ορισμός: Η εφαπτομένη σε ένα σημείο \(A\) της περιφέρειας είναι η ευθεία που διέρχεται από το \(A\) και είναι κάθετη στην ακτίνα \(KA\) (όπου \(K\) το κέντρο).
Μοναδικότητα: Σε κάθε σημείο μιας περιφέρειας υπάρχει μία και μόνο μία εφαπτομένη.
Κατασκευή με Γνώμονα: Για να σχεδιάσουμε την εφαπτομένη στο σημείο \(Β\), φέρουμε την ακτίνα \(AΒ\) και χρησιμοποιούμε τον γνώμονα (ορθογώνιο τρίγωνο) για να χαράξουμε την κάθετη ευθεία στο άκρο \(Β\).
Ιδιότητα: Όλα τα σημεία της εφαπτομένης, εκτός από το σημείο επαφής \(A\), βρίσκονται στο εξωτερικό του κύκλου.
Παραδείγματα
- Σχεδίαση κύκλου \((K, 3\text{ cm})\), ορισμός σημείου \(A\) στην περιφέρεια και χάραξη της εφαπτομένης με γνώμονα.
- Κατασκευή δύο εφαπτομένων στα άκρα μιας διαμέτρου \(AB\)· οι ευθείες αυτές θα είναι παράλληλες μεταξύ τους.
- Χρήση διαβήτη και χάρακα για την κατασκευή κάθετης στο άκρο ακτίνας \(OA\) χωρίς τη χρήση γνώμονα.
- Σχεδίαση εφαπτομένης σε κύκλο \(R = 2,5\text{ cm}\) στο σημείο \(M\) και επαλήθευση της καθετότητας με το μοιρογνωμόνιο.
- Σχεδίαση μιας διαμέτρου και των εφαπτομένων στα άκρα της για τη δημιουργία μιας ταινίας πλάτους \(2R\).
Ασκήσεις
Σχεδιάστε έναν κύκλο \((K, 4\text{ cm})\) και μια εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο \(A\) χρησιμοποιώντας τον γνώμονα.
Χαράξτε μια διάμετρο \(AB\) και κατασκευάστε τις εφαπτόμενες στα \(A\) και \(B\). Τι σχέση έχουν αυτές οι ευθείες;.
Πάρτε ένα σημείο \(A\) και σχεδιάστε όλους τους κύκλους ακτίνας \(4\text{ cm}\) που εφάπτονται σε μια ευθεία στο σημείο αυτό.
Σχεδιάστε δύο κάθετες διαμέτρους και τις εφαπτόμενες στα άκρα τους. Τι σχήμα σχηματίζεται;.
Αποδείξτε με μέτρηση ότι η απόσταση του κέντρου από την εφαπτομένη είναι ίση με την ακτίνα.
Σχεδιάστε μια εφαπτομένη και πάρτε ένα σημείο \(M\) πάνω της (εκτός του σημείου επαφής). Είναι το \(M\) εσωτερικό ή εξωτερικό σημείο του κύκλου;.
Κατασκευάστε μια εφαπτομένη σε κύκλο \((O, 35\text{ mm})\) παράλληλη προς μια δοσμένη διεύθυνση.
Σχεδιάστε τη διχοτόμο μιας επίκεντρης γωνίας \(60^\circ\) και την εφαπτομένη στο σημείο που η διχοτόμος τέμνει την περιφέρεια. Τι σχέση έχει με τη χορδή της γωνίας;.
Πόσες εφαπτόμενες μπορούν να αχθούν από ένα σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου;.
Σχεδιάστε έναν κύκλο και μια εφαπτομένη. Χαράξτε μια τυχαία άλλη ευθεία από το σημείο επαφής και δείξτε ότι είναι τέμνουσα.
Να σχεδιάσεις ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 3,6 cm και έναν κύκλο με διάμετρο την ΑΒ. Να χαράξεις τις εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από τα Α και Β. Να δικαιολογήσεις γιατί οι εφαπτόμενες αυτές είναι ευθείες παράλληλες.
Να σχεδιάσεις δύο κάθετες ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) και να ονομάσεις Α το σημείο τομής τους. Να πάρεις ένα σημείο Κ της \(ε_1\), ώστε να είναι ΚΑ = 3,1 cm. Να φέρεις τους κύκλους (Κ, 2,1cm), (K, 3,1cm) και (K, 36mm). Να βρεις ποια είναι η θέση της \(ε_2\) ως προς τους κύκλους αυτούς.
Να σχεδιάσεις δύο παράλληλες ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) που να απέχουν μεταξύ τους 2,5 cm. Να πάρεις ένα σημείο Μ της \(ε_1\) και να βρεις σημεία της \(ε_2\) που απέχουν 3,6 cm από το Μ.
Σε κύκλο Μία (𝐾, 6 cm) να κατασκευάσετε: Μια διάμετρο ΑΒ
Μία επίκεντρη γωνία(ΓΚΔ)
Δύο ακτίνες ΚΕ και ΚΖ
Μία χορδή ΕΘ.
Ένα τόξο \(\overset{\frown}{ΒΖΗ}\) .
- Διαδοχικά Τόξα: Σε έναν κύκλο με διάμετρο \(AB\), θεωρούμε στο ίδιο ημικύκλιο τρία σημεία \(K, \Lambda, M\) έτσι ώστε τα τόξα \(AK = K\Lambda = \Lambda M = 20^\circ\). Να βρείτε πόσες μοίρες είναι το τόξο \(MB\).
- Άθροισμα Επίκεντρων Γωνιών: Σχεδιάστε δύο διαδοχικές επίκεντρες γωνίες \(A\hat{O}B = 80^\circ\) και \(B\hat{O}\Gamma = 115^\circ\). Υπολογίστε το μέτρο της κυρτής γωνίας \(A\hat{O}\Gamma\).
- Σχέση Διαμέτρων: Σε έναν κύκλο φέρτε δύο διαμέτρους \(AB\) και \(\Gamma\Delta\). Αν το τόξο \(\overset{\frown}{A\Delta} = 60^\circ\), βρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν οι δύο διάμετροι.
- Σωστό ή Λάθος:
- «Μια χορδή κύκλου είναι πάντα μικρότερη ή ίση από τη διάμετρο».
- «Το κέντρο ενός κύκλου είναι το μέσο κάθε διαμέτρου του».
- «Κάθε επίκεντρη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι \(180^\circ\)».
2 Παράρτημα για την Β τάξη
Εγγεγραμμένη Γωνία: Η γωνία που η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο. Ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας ή το μισό του αντίστοιχου τόξου.
Γωνία σε Ημικύκλιο: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή (90°). Εξετάστε αυτή την περίπτωση σαν εργασία.
2.1 Ενδεικτικές Ασκήσεις
Υπολογισμός Γωνιών: Αν μια επίκεντρη γωνία είναι 110°, η αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο θα είναι \(110 / 2 = 55^\circ\).
Εφαπτόμενα Τμήματα: Από εξωτερικό σημείο \(M\) φέρνουμε εφαπτόμενα τμήματα \(ΜΑ\) και \(ΜΒ\). Αυτά είναι ίσα μεταξύ τους (\(ΜΑ = ΜΒ\)).
2.2 3. Ασκήσεις Κρίσεως και Πράξεων
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !