07. Eφεξής και διαδοχικές γωνίες - Άθροισμα γωνιών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

23 Μάρτιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών

1.1 Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών

1.1.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Εφεξής γωνίες: Δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής όταν:
    1. Είναι ομοεπίπεδες (βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο).
    2. Έχουν την ίδια κορυφή.
    3. Έχουν μια κοινή πλευρά.
    4. Οι άλλες δύο πλευρές τους (οι μη κοινές) βρίσκονται εκατέρωθεν (από τη μια και από την άλλη μεριά) της κοινής πλευράς.

Για να κλείσει η εργαλειοθήκη (αν είναι ανοιχτή) tap πάνω στα Εργαλεία ή και στην Άλγεβρα

  • Διαδοχικές γωνίες: Τρεις ή περισσότερες γωνίες ονομάζονται διαδοχικές όταν κάθε μία από αυτές είναι εφεξής με την προηγούμενη και την επόμενή της.
  • Άθροισμα γωνιών:
    • Δύο γωνιών: Για να προσθέσουμε δύο γωνίες που δεν είναι εφεξής, τις μεταφέρουμε ώστε να γίνουν εφεξής. Το άθροισμά τους είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις μη κοινές πλευρές τους.
    • Πολλών γωνιών: Για να προσθέσουμε περισσότερες γωνίες, τις καθιστούμε διαδοχικές. Το άθροισμα είναι η γωνία που έχει ως πλευρές την αρχική πλευρά της πρώτης και την τελική πλευρά της τελευταίας γωνίας.

Αλλάξτε τις τιμές των γωνιών α και β αλλάζοντας την θέση των δρομέων α και β

  • Ιδιότητες Πρόσθεσης:
    • Αντιμεταθετική ιδιότητα: Το άθροισμα δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τη σειρά των γωνιών. \[\hat α+\hat β=\hat β+\hat α\]
    • Προσεταιριστική ιδιότητα: Μπορούμε να ομαδοποιούμε τις γωνίες με όποιον τρόπο θέλουμε κατά την πρόσθεση. \[\hat α+(\hat β+\hat γ)=(\hat α+\hat β)+\hat γ\]
    • Ουδέτερο στοιχείο: Η μηδενική γωνία δεν αλλάζει το αποτέλεσμα της πρόσθεσης. \[\hat α+ο^ο=\hat α\]
  • Ειδικά Αθροίσματα:
    • Αν οι μη κοινές πλευρές δύο εφεξής γωνιών είναι αντίθετες ημιευθείες, τότε οι γωνίες έχουν άθροισμά 180° (2 ορθές).

  • Το άθροισμα των διαδοχικών γωνιών που σχηματίζονται γύρω από ένα σημείο πάνω σε μια ευθεία και προς το ίδιο ημιεπίπεδο είναι 2 ορθές (180°).

  • Το άθροισμα όλων των διαδοχικών γωνιών γύρω από ένα σημείο του επιπέδου είναι 4 ορθές (360°).

1.1.2 Παραδείγματα

  1. Πρόσθεση συγκεκριμένων γωνιών: Αν έχουμε μια γωνία 30° και μια γωνία 45°, τοποθετώντας τες ως εφεξής, το άθροισμά τους είναι μια νέα γωνία 75°.

  2. Εύρεση γωνίας σε άθροισμα: Αν το άθροισμα τριών γωνιών είναι 150° και οι δύο πρώτες είναι 60° και 32°, τότε η τρίτη είναι \(150^\circ - (60^\circ + 32^\circ) = 58^\circ\).

  3. Αν δύο εφεξής γωνίες έχουν άθροισμα 90° (μία ορθή), και η μία είναι \(32^ο\) τότε η άλλη θα είναι \(90^ο-32^ο=58^ο\).

  4. Δείκτες ρολογιού: Στις 3:00 και στις 2:00, οι γωνίες που σχηματίζονται από τους δείκτες μπορούν να θεωρηθούν διαδοχικές αν μετρηθούν από την ίδια αφετηρία.

  5. Πολλαπλάσιο γωνίας: Αν προσθέσουμε 3 ίσες γωνίες των 20°, το άθροισμα είναι μια γωνία 60°, η οποία ονομάζεται τριπλάσιο της αρχικής.

1.1.3 Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε δύο εφεξής γωνίες \(35^\circ\) και \(55^\circ\). Τι είδους γωνία είναι το άθροισμά τους;.

  2. Αν το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών γωνιών είναι \(150^\circ\) και η πρώτη είναι \(38^\circ\), ενώ οι δύο από τις υπόλοιπες είναι ίσες και η τρίτη είναι διπλάσια από την πρώτη, υπολογίστε το μέτρο καθεμιάς.

  3. Σχεδιάστε τρεις διαδοχικές γωνίες γύρω από ένα σημείο \(O\) που να καλύπτουν όλο το επίπεδο, αν η μία είναι διπλάσια της δεύτερης και η τρίτη ίση με το άθροισμα των δύο πρώτων.

  4. Υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών: \(15^\circ 26' 34'' + 36^\circ 42' 53''\).

  5. Δείξτε με σχήμα ότι οι διχοτόμοι δύο εφεξής γωνιών με άθροισμα \(180^ο\) σχηματίζουν ορθή γωνία.

  6. Σε μια ευθεία \(xy\), από ένα σημείο \(O\), φέρτε τρεις ημιευθείες στο ίδιο ημιεπίπεδο που να σχηματίζουν τέσσερις ίσες διαδοχικές γωνίες. Πόσο είναι το μέτρο καθεμιάς;.

  7. Αν δύο εφεξής γωνίες είναι \(94^\circ 30'\) και \(86^ο\), εξετάστε αν οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντίθετες ημιευθείες.

  8. Χρησιμοποιήστε το μοιρογνωμόνιο για να κατασκευάσετε το άθροισμα μιας γωνίας \(125^\circ\) και μιας γωνίας \(85^\circ\).

  9. Αν τρεις ημιευθείες σχηματίζουν τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες που καλύπτουν όλο το επίπεδο, υπολογίστε το μέτρο καθεμιάς και δείξτε ότι η προέκταση κάθε πλευράς διχοτομεί την απέναντι γωνία.

  10. Βρείτε μια γωνία \(\hat x\) ή οποία αν προστεθεί με τις γωνίες \(\hatα=23^\circ 45'\) και \(\hat β=94^\circ 28'\) να έχουν άθροισμα \(200^ο\).

1.2 Ασκήσεις και Εφαρμογές

Άσκηση 1 (Αναγνώριση): Σε ποιο από τα παρακάτω σχήματα οι γωνίες είναι εφεξής;

κάντε ένα σχήμα για κάθε περίπτωση

  • α) Δύο γωνίες με κοινή κορυφή αλλά η μία πλευρά της μίας βρίσκεται μέσα στην άλλη.

  • β) Δύο γωνίες με κοινή κορυφή, κοινή πλευρά και τις μη κοινές πλευρές εκατέρωθεν της κοινής.

  • γ) Δύο γωνίες με κοινή πλευρά αλλά διαφορετικές κορυφές.

  • Λύση: Μόνο η περίπτωση (β) πληροί όλες τις προϋποθέσεις του ορισμού.

Άσκηση 2 (Υπολογισμός): Δύο γωνίες \(\hat{\omega}\) και \(\hat{\phi}\) είναι εφεξής και έχουν άθροισμα \(300^ο\). Αν η γωνία \(\hat{\phi}\) είναι διπλάσια της \(\hat{\omega}\), να βρείτε το μέτρο τους.

* Λύση: Ισχύει \(\hat{\omega} + \hat{\phi} = 300^\circ\) και \(\hat{\phi} = 2\hat{\omega}\). Αντικαθιστώντας, έχουμε \(3\hat{\omega} = 300^\circ \Rightarrow \hat{\omega} = 100^\circ\) και \(\hat{\phi} = 200^\circ\).

Άσκηση 3 (Σωστό/Λάθος):

  1. Δύο εφεξής γωνίες μπορεί να έχουν τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες;. (Λάθος).

κάντε ένα σχήμα

  1. Αν δύο εφεξής γωνίες είναι ίσες, έχουν άθροισμα \(180^ο\). (Λάθος, μπορούν να είναι οποιουδήποτε μέτρου, π.χ. \(30^\circ\) η καθεμία).

κάντε ένα σχήμα

  1. Το άθροισμα δύο εφεξής γωνιών είναι πάντα \(90^\circ\). (Λάθος).

κάντε ένα σχήμα

Άσκηση 4 (Θεωρητική Εφαρμογή): Έχουμε δύο εφεξής γωνίες \(x\hat{O}y\) και \(y\hat{O}z\). Αν η γωνία \(x\hat{O}z\) είναι \(80^\circ\) και η \(x\hat{O}y\) είναι \(35^\circ\), πόσες μοίρες είναι η \(y\hat{O}z\);

  • Λύση:

Εφόσον οι γωνίες είναι εφεξής, το άθροισμά τους ισούται με την ολική γωνία: \(x\hat{O}y + y\hat{O}z = x\hat{O}z \Rightarrow 35^\circ + y\hat{O}z = 80^\circ \Rightarrow y\hat{O}z = 45^\circ\).

Άσκηση 5 (Διαδοχικές Γωνίες):

Σχεδιάστε τρεις διαδοχικές γωνίες \(x\hat{O}y, y\hat{O}z\) και \(z\hat{O}t\) έτσι ώστε \(x\hat{O}z = y\hat{O}t\). Δικαιολογήστε γιατί \(x\hat{O}y = z\hat{O}t\).

  • Λύση:

Από την ισότητα \(x\hat{O}z = y\hat{O}t\) αφαιρούμε την κοινή γωνία \(y\hat{O}z\). Έτσι, \(x\hat{O}z - y\hat{O}z = y\hat{O}t - y\hat{O}z\), άρα \(x\hat{O}y = z\hat{O}t\).

  1. Να χαράξετε μία αμβλεία γωνία και να προεκτείνετε τις πλευρές της προς το μέρος της κορυφής.

Έπειτα να σημειώσετε:

\(\alpha)\). τις οξείες γωνίες

\(\beta)\). τις ίσες γωνίες

\(\gamma)\). τις εφεξής γωνίες

  1. Να γράψετε δύο γωνίες που να έχουν κοινή κορυφή, κοινή πλευρά και να μην είναι εφεξής.

  2. Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες και μία άλλη ευθεία που να τέμνει τις πρώτες (Ονομάστε όποια στοιχεία απαιτείται). Ποιες εφεξής γωνίες διακρίνετε;

  3. Να σχηματίσετε δύο ίσες εφεξής γωνίες με κοινή πλευρά μια ορισμένη ημιευθεία \(OX\). Ποια άλλη ιδιότητα θα έχει τότε η \(OX\);

  4. Με το μοιρογνωμόνιο να σχηματίσετε μια γωνία \(70^\circ\), έπειτα να προεκτείνετε τις πλευρές της προς το μέρος της κορυφής και να υπολογίσετε κάθε μία από τις γωνίες που σχηματίστηκαν.

  5. Να συμπληρώσετε τις συνεπαγωγές:

α)

\[\left. \begin{array}{l} \hat{\text{A}} = 60^\circ \\ \hat{\text{A}} = \hat{\text{B}} \end{array} \right\} \implies\]

β)

\[\left. \begin{array}{l} \hat{\text{A}} = 50^\circ \\ \hat{\text{B}} = 50^\circ \end{array} \right\} \implies\]

  1. Η συνεπαγωγή

\[\left. \begin{array}{l} \hat{\text{A}} = 90^\circ \\ \hat{\text{B}} = 90^\circ \end{array} \right\} \implies \hat{\text{A}} = \hat{\text{B}}\]

ισχύει και αντίστροφα;

  1. Εκφώνηση

Το άθροισμα τριών γωνιών \(\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}\) είναι \(150^\circ\). Αν η \(\hat{\alpha} = \dfrac{2}{3}^\text{L}\) και \(\hat{\beta} = 32^\circ\), να υπολογιστεί η γωνία \(\hat{\gamma}\).

  • Λύση:

  • Θα μετατρέψω τη γωνία \(\hat{\alpha}\) σε μοίρες (πολλαπλασιάζω επί \(90^\circ\)). \[\hat{\alpha} = \frac{2}{3}^\text{L} = \frac{2}{3} \cdot 90^\circ = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\]

  • Βρίσκω το άθροισμα \(\hat{\alpha} + \hat{\beta}\). Είναι \(\hat{\alpha} + \hat{\beta} = 60^\circ + 32^\circ = 92^\circ\).

  • Επειδή \(\hat{\alpha} + \hat{\beta} + \hat{\gamma} = 150^\circ\) και βρήκα \(\hat{\alpha} + \hat{\beta} = 92^\circ\), για να βρω τη γωνία \(\hat{\gamma}\) αφαιρώ από το \(150^\circ\) το \(92^\circ\) και έχω: \[\hat{\gamma} = 150^\circ - 92^\circ = 58^\circ\]

  1. Να σχηματίσετε δύο εφεξής γωνίες \(x\hat{O}y\) και \(y\hat{O}z\) με τιμές, αντίστοιχα, \(55^\circ\) και \(63^\circ\). Έπειτα να χαράξετε τις αντίθετες ημιευθείες των πλευρών τους και να υπολογίσετε τις τιμές όλων των οξειών γωνιών που σχηματίζονται.

(Απάντηση: \(55^\circ, 63^\circ, 62^\circ, 62^\circ\))

  1. Να σχηματίσετε πέντε διαδοχικές γωνίες \(A\hat{O}B\), \(B\hat{O}\Gamma\), \(\Gamma\hat{O}\Delta\), \(\Delta\hat{O}E\) και \(E\hat{O}Z\), ώστε κάθε μία να είναι μικρότερη από \(70^\circ\) και να είναι \(A\hat{O}B = E\hat{O}Z\) και \(B\hat{O}\Gamma = \Delta\hat{O}E\).

Να βρείτε τα αθροίσματα:

  1. \(A\hat{O}B + \Delta\hat{O}E\)

  2. \(B\hat{O}\Gamma + E\hat{O}Z\)

  3. \(\Gamma\hat{O}Z + \Delta\hat{O}E\)

ΣημείωσηΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!