06. Είδη γωνιών - Κάθετες ευθείες

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

23 Μάρτιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες

1.1 Είδη Γωνιών (Ορθή, Οξεία, Αμβλεία)

1.1.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Μηδενική γωνία: Είναι η γωνία της οποίας το μέτρο είναι \(0^\circ\). Σε αυτή την περίπτωση, οι δύο ημιευθείες που αποτελούν τις πλευρές της γωνίας ταυτίζονται.

  • Ορθή γωνία: Είναι η γωνία που είναι ίση με το ήμισυ μιας ευθείας (πεπλατυσμένης) γωνίας. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Το μέτρο μιας ορθής γωνίας είναι 90 μοίρες (90°) ή 100 βαθμοί (100 gr).

  • Οξεία γωνία: Ονομάζεται κάθε γωνία η οποία είναι μικρότερη από την ορθή. Το μέτρο μιας οξείας γωνίας κυμαίνεται μεταξύ 0° και 90°.

  • Αμβλεία γωνία: Είναι η κυρτή γωνία η οποία είναι μεγαλύτερη από την ορθή και μικρότερη από την πεπλατυσμένη. Το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από 90° και μικρότερο από 180°.

  • Ευθεία γωνία : Ονομάζεται η γωνία που είναι \(180^ο\). Οι πλευρές της είναι αντικείμενες ημιευθείες

  • Πλήρης γωνία : Είναι η γωνία των \(360^ο\). Οι πλευρές της συμπίπτουν.

  • Μη κυρτή γωνία : Είναι κάθε γωνία με μέτρο \(180^ο\lt\hat ω \lt 360^o\)

Η διάταξη των γωνιών από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη είναι η εξής:

Μηδενική \(\Rightarrow\) Οξεία \(\Rightarrow\) Ορθή \(\Rightarrow\) Αμβλεία \(\Rightarrow\) Ευθεία \(\Rightarrow\) Μη κυρτή \(\Rightarrow\) Πλήρης.

1.1.2 Παραδείγματα

  1. Μια γωνία με μέτρο 45° είναι οξεία, καθώς \(45^ο < 90^ο\).

  2. Μια γωνία με μέτρο 120° είναι αμβλεία, καθώς \(90^ο < 120^ο < 180^ο\).

  3. Οι δείκτες ενός ρολογιού όταν δείχνουν 3:00 ακριβώς σχηματίζουν ορθή γωνία.

  4. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι δύο γωνίες εκτός της ορθής είναι πάντα οξείες.

  5. Η γωνία που σχηματίζεται από τις σελίδες ενός ανοικτού βιβλίου μπορεί να είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία ανάλογα με το άνοιγμά του.

1.1.3 Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε μια γωνία \(xOy = 90^\circ\) χρησιμοποιώντας τον γνώμονα.

  2. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω γωνίες ως οξείες, ορθές ή αμβλείες: \(25^\circ, 148^\circ, 90^\circ, 32^\circ, 75^\circ, 110^\circ\).

  3. Σχεδιάστε μια οξεία γωνία και ονομάστε την \(\hat{\alpha}\).

  4. Αν μια γωνία είναι το 0,6 της ορθής, υπολογίστε το μέτρο της και βρείτε το είδος της.

  5. Σχεδιάστε μια αμβλεία γωνία και τη διχοτόμο της. Τι είδους γωνίες προκύπτουν;

  6. Πόσες ορθές γωνίες περιέχονται σε μια πλήρη γωνία (\(360^\circ\));.

  7. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο με μία αμβλεία γωνία (αμβλυγώνιο).

1.2 Χρήση Μοιρογνωμονίου και Καθετότητα Ευθειών

1.2.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Μοιρογνωμόνιο (Γωνιόμετρο): Είναι το γεωμετρικό όργανο (ημικύκλιο βαθμολογημένο από 0° έως 180°) που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση και την κατασκευή γωνιών.

  • Κάθετες ευθείες: Δύο ευθείες που τέμνονται ονομάζονται κάθετες όταν μία από τις τέσσερις γωνίες που σχηματίζουν στη διασταύρωσή τους είναι ορθή. Τότε και οι τέσσερις γωνίες είναι ορθές.

  • Συμβολισμός: Η καθετότητα των ευθειών \(\epsilon_1\) και \(\epsilon_2\) σημειώνεται ως \(\epsilon_1 \perp \epsilon_2\).

1.2.2 Παραδείγματα

  1. Σχεδιάζω μια τυχαία γωνία και την μετρώ με το μοιρογνωμόνιο.

  2. Κατασκευή γωνίας 75° με τη βοήθεια του κέντρου και της διαμέτρου του μοιρογνωμονίου.

  3. Οι ακμές ενός τοίχου που συναντώνται σε μια γωνία είναι υλική πραγματοποίηση κάθετων ευθειών.

  4. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου ή ενός τετραγώνου τέμνονται κάθετα.

  5. Οι άξονες των συντεταγμένων (\(x'x\) και \(y'y\)) σε ένα επίπεδο είναι κάθετοι μεταξύ τους.

1.2.3 Ασκήσεις

  1. Μετρήστε με το μοιρογνωμόνιο τις γωνίες του τετραδίου σας και διαπιστώστε αν είναι ορθές.

  2. Σχεδιάστε μια ευθεία \((\epsilon)\) και χρησιμοποιήστε το μοιρογνωμόνιο για να χαράξετε μια άλλη ευθεία \((\delta)\) κάθετη σε αυτήν.

  3. Αν μία γωνία \(xOy\) μετρηθεί και βρεθεί \(90,5^\circ\), είναι οι πλευρές της κάθετες;.

  4. Σχεδιάστε δύο ευθείες που να τέμνονται πλάγια και μετρήστε τις τέσσερις γωνίες τους. Τι παρατηρείτε για τις κατά κορυφήν;.

  5. Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο και επαληθεύστε την καθετότητα των πλευρών του με το μοιρογνωμόνιο.

  6. Πάρτε δύο κάθετες ευθείες \(AB\) και \(\Gamma\Delta\). Σχεδιάστε τη διχοτόμο μιας από τις ορθές γωνίες. Τι γωνίες σχηματίζει με τις \(AB\) και \(\Gamma\Delta\);

  7. Μετρήστε τις γωνίες ενός τριγώνου και βρείτε το άθροισμά τους. Είναι \(180^\circ\);.

  8. Σχεδιάστε μια γωνία \(135^\circ\) και διαπιστώστε αν είναι αμβλεία.

  9. Επαληθεύστε την ακρίβεια του γνώμονά σας χαράσσοντας δύο ορθές γωνίες εκατέρωθεν μιας ημιευθείας \(Ox\).

1.3 Μοναδικότητα Κάθετης και Χάραξη

1.3.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Αξίωμα μοναδικότητας: Από ένα σημείο (είτε αυτό ανήκει στην ευθεία είτε είναι εκτός αυτής) διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία κάθετη προς δοσμένη ευθεία.

  • Απόσταση σημείου από ευθεία: Ονομάζεται το μήκος του κάθετου τμήματος από το σημείο προς την ευθεία. Η κάθετος είναι η μικρότερη από όλες τις πλάγιες που άγονται από το ίδιο σημείο προς την ευθεία.

  • Όργανα χάραξης: Η κάθετος χαράσσεται με τη χρήση γνώμονα (ορθογώνιο τρίγωνο) ή μοιρογνωμονίου.

  • Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιευθείες) που βρίσκονται πάνω σε δύο κάθετες ευθείες, λέγονται κάθετα ευθύγραμμα τμήματα (ή κάθετες ημιευθείες).

1.3.2 Παραδείγματα

  1. Χάραξη της καθέτου σε μια ευθεία \(x'x\) στο σημείο \(O\) με ολίσθηση του γνώμονα πάνω στον χάρακα.

  2. Χάραξη της καθέτου από εξωτερικό σημείο \(M\) προς ευθεία με τη βοήθεια του γνώμονα.

  3. Προσδιορισμός του ύψους ενός τριγώνου από μια κορυφή προς την απέναντι πλευρά.

  4. Κατασκευή της καθέτου ενός τμήματος στο μέσο του.

  5. Κατασκευή της καθέτου από μια κορυφής ενός παραλληλογράμμου προς την απέναντι βάση του.

1.3.3 Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε μια ευθεία \((\epsilon)\) και ένα σημείο \(A\) πάνω της. Χαράξτε την κάθετη στο \(A\) χρησιμοποιώντας τον γνώμονα.

  2. Σχεδιάστε μια ευθεία \((\epsilon)\) και ένα σημείο \(B\) εκτός αυτής. Χαράξτε την κάθετη από το \(B\) προς την \((\epsilon)\).

  3. Βρείτε την απόσταση ενός σημείου \(M\) από μια ευθεία \(xy\) μετρώντας το κάθετο τμήμα.

  4. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο \(AB\Gamma\) και χαράξτε το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά \(B\Gamma\).

  5. Αποδείξτε με μέτρηση ότι η κάθετος από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι μικρότερη από οποιαδήποτε πλάγια.

  6. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα \(AB = 6 cm\) , βρείτε το μέσον του και χαράξτε τη κάθετό του στο μέσον.

  7. Σχεδιάστε δύο παράλληλες ευθείες και διαπιστώστε ότι η κάθετος στην πρώτη είναι κάθετος και στη δεύτερη.

  8. Χαράξτε μια γωνία και από ένα σημείο της διχοτόμου της φέρτε κάθετες προς τις πλευρές της. Συγκρίνετε τα τμήματα αυτά.

  9. Πάρτε τρία σημεία \(A, B, \Gamma\) που δεν είναι συνευθειακά. Χαράξτε τις κάθετες από το \(A\) προς την \(B\Gamma\) και από το \(B\) προς την \(A\Gamma\).

1.4 Κατασκευή δύο κάθετων ευθειών

Μέθοδος

1.4.1 Με δίπλωση χαρτιού

Με δίπλωση χαρτιού

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην ιδιότητα ότι η δίπλωση δημιουργεί έναν άξονα συμμετρίας.

  • Σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα \(ΑΒ\) πάνω σε μια λεπτή κόλλα χαρτί.

  • Διπλώνουμε το χαρτί έτσι ώστε το σημείο \(Β\) να πέσει ακριβώς πάνω στο σημείο \(Α\) και τσακίζουμε το χαρτί.

  • Η γραμμή της τσάκισης που δημιουργείται είναι κάθετη πάνω στο τμήμα \(ΑΒ\) (και μάλιστα στο μέσο του, αποτελώντας τη μεσοκάθετο).

  • Εναλλακτικά, αν διπλώσουμε μια ευθεία γωνία έτσι ώστε οι δύο πλευρές της να συμπέσουν, η τσάκιση ορίζει τη διχοτόμο της, η οποία χωρίζει την ευθεία γωνία σε δύο ορθές γωνίες, δημιουργώντας έτσι δύο κάθετες ευθείες.

1.4.2 κατασκευή καθέτων ευθειών με τη χρήση γνώμονα (ορθογώνιου τριγώνου) και χάρακα (κανόνα)

1.4.2.1 Η κάθετη περνά από σημείο (Ο) της ευθείας (χ’χ)

Η κάθετη περνά από σημείο (Ο) της ευθείας

Για να χαράξετε την κάθετη στο σημείο \(Ο\) που βρίσκεται πάνω στην ευθεία \(χ'χ\):

  1. Τοποθετείτε τον χάρακα σταθερά κατά μήκος της ευθείας \(χ'χ\).

  2. Εφαρμόζετε τη μία κάθετη πλευρά της ορθής γωνίας του γνώμονα πάνω στην κόψη του χάρακα.

  3. Κάνετε τον γνώμονα να γλιστρήσει (ολίσθηση) πάνω στον χάρακα, μέχρι η κορυφή της ορθής γωνίας του να φτάσει ακριβώς στο σημείο \(Ο\).

  4. Κρατάτε σταθερά και τα δύο όργανα και χαράσσετε μια γραμμή κατά μήκος της άλλης κάθετης πλευράς του γνώμονα. Η γραμμή αυτή είναι η κάθετος προς την ευθεία \(χ'χ\) στο σημείο \(Ο\).

1.4.2.2 Η κάθετη περνά από σημείο (Ο) εκτός της ευθείας (χ’χ)

Η κάθετη περνά από σημείο (Ο) εκτός της ευθείας

Για να χαράξετε την κάθετη από ένα σημείο \(Ο\) που βρίσκεται έξω από την ευθεία \(χ'χ\):

  1. Όπως και πριν, τοποθετείτε τον χάρακα σταθερά κατά μήκος της ευθείας \(χ'χ\).

  2. Εφαρμόζετε τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονα στην κόψη του χάρακα.

  3. Γλιστράτε τον γνώμονα πάνω στον χάρακα μέχρι η άλλη κάθετη πλευρά του γνώμονα να περάσει ακριβώς από το εξωτερικό σημείο \(Ο\).

  4. Ακινητοποιείτε τα όργανα και χαράσσετε τη γραμμή κατά μήκος της πλευράς του γνώμονα που περνά από το \(Ο\).

  5. Κατεβάζετε τη γραμμή μέχρι να κόψει την ευθεία \(χ'χ\) σε ένα σημείο \(Α\), το οποίο ονομάζεται ίχνος της καθέτου. Το ευθύγραμμο τμήμα \(ΟΑ\) αποτελεί τη συντομότερη απόσταση του σημείου \(Ο\) από την ευθεία \(χ'χ\).

Και στις δύο περιπτώσεις, μπορείτε να προεκτείνετε την κάθετη και προς το άλλο ημιεπίπεδο αν είναι απαραίτητο.

1.5 Ασκήσεις και Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης

1. Ερωτήσεις Σωστού/Λάθους:

  • Μια οξεία γωνία μπορεί να είναι μεγαλύτερη από \(90^\circ\). (Λάθος).

  • Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι \(90^\circ\). (Σωστό).

  • Το αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει τρεις αμβλείες γωνίες. (Λάθος).

  • Κάθε τρίγωνο έχει οπωσδήποτε δύο οξείες γωνίες. (Σωστό).

  • Μια γωνία \(180^\circ\) ονομάζεται ευθεία γωνία. (Σωστό).

2. Υπολογιστικές Ασκήσεις:

  • Αναλογία γωνιών: Δύο γωνίες έχουν άθροισμα \(120^\circ\) και η μία είναι διπλάσια από την άλλη. Πόσες μοίρες είναι η καθεμία;

    • Λύση: Έστω \(x\) η μία γωνία και \(2x\) η άλλη. \(x + 2x = 120^\circ \Rightarrow 3x = 120^\circ \Rightarrow x = 40^\circ\). Άρα οι γωνίες είναι \(40^\circ\) και \(80^\circ\).

3. Αναγνώριση και Αντιστοίχιση:

  • Αντιστοιχίστε τις μοίρες με το είδος της γωνίας:

    • \(70^\circ\): Οξεία.

    • \(90^\circ\): Ορθή.

    • \(160^\circ\): Αμβλεία.

    • \(180^\circ\): Ευθεία.

4. Κατασκευαστικές Ασκήσεις:

  • Σχεδιάστε με το μοιρογνωμόνιο μια γωνία \(120^\circ\) (αμβλεία) και μια γωνία \(45^\circ\) (οξεία).

  • Κατασκευάστε τη διχοτόμο μιας ορθής γωνίας (\(90^\circ\)). Πόσες μοίρες θα είναι καθεμία από τις δύο νέες γωνίες;

    • Απάντηση: \(90^\circ : 2 = 45^\circ\) η καθεμία.

5. Σύνθετη ερώτηση:

  • Ο Στέλιος μέτρησε μια οξεία γωνία και τη βρήκε \(120^\circ\). Είναι σωστή η μέτρησή του;

    • Απάντηση: Όχι, η μέτρηση είναι λανθασμένη, διότι η οξεία γωνία είναι πάντα μικρότερη από την ορθή (\(90^\circ\)), ενώ οι \(120^\circ\) αντιστοιχούν σε αμβλεία γωνία.

1.6 Ενδεικτικές Ασκήσεις

Άσκηση 1 (Σχεδίαση): Δίνεται μια ευθεία \(\epsilon\) και ένα σημείο Α που βρίσκεται εκτός αυτής. Να σχεδιάσετε την ευθεία \(\epsilon_1\) που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην \(\epsilon\),.

  • Λύση: Τοποθετούμε τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονα πάνω στην ευθεία \(\epsilon\) και μετακινούμε τον γνώμονα μέχρι η άλλη κάθετη πλευρά του να περάσει από το σημείο Α. Στη συνέχεια χαράσσουμε την ευθεία,.

Άσκηση 2 (Συμπλήρωση Κενών):

  1. Για να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες, χρησιμοποιούμε τον ……………...

  2. Η απόσταση είναι η πιο …………….. διαδρομή που ενώνει το σημείο με την ευθεία.

  3. Τα ύψη ενός τριγώνου διέρχονται από το ……………...

  4. (Λύσεις: 1. γνώμονα, 2. σύντομη, 3. ίδιο σημείο).

Άσκηση 3 (Σωστό/Λάθος):

  1. Από ένα σημείο Α μπορούμε να φέρουμε πολλές κάθετες σε μια ευθεία. (Λ, μόνο μία).

  2. Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Σ).

Το κάθετο τμήμα από μια κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος του τριγώνου για την πλευρά αυτή.Τα τρία ύψη του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο.

Στο παρακάτω εφαρμογίδιο μετακινήστε τις κορυφές του τριγώνου.

Τι παρατηρείτε για το ορθόκεντρο Η;

Που βρίσκεται όταν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο;

Που βρίσκεται όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο;

Που βρίσκεται όταν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο;

Για να μετακινήσετε με ακρίβεια 0,1 cm κάντε το εξής:

  • κάντε κλικ στο αντικείμενο π.χ. ένα σημείο ή μια ευθεία κτλ
  • Κρατήστε πατημένο το Shift και με τα βελάκια \(\leftarrow \ \rightarrow \ \uparrow \ \downarrow\) μετακινήστε το αντικείμενο.

Άσκηση 4 (Εφαρμογή σε σχήματα): Να σχεδιάσετε τα τρία ύψη ενός οξυγώνιου τριγώνου χρησιμοποιώντας τον γνώμονα και να επιβεβαιώσετε ότι τέμνονται στο εσωτερικό του τριγώνου,.

Κάντε το ίδιο για ένα ορθογώνιο τρίγωνο και ένα αμβλυγώνιο. τι παρατηρείτε; που βρίσκεται το ύψος;

  1. Σχεδίασε δύο ευθείες x’x και y’y που τέμνονται σε ένα σημείο Ο.

α. Σημείωσε στην ΟΧ τρία σημεία Α, Β και Γ. Από κάθε σημείο από αυτά σχεδίασε ευθεία κάθετη προς την y’y. β. Σημείωσε στην ΟΧ’ τρία σημεία Κ, Λ και Μ. Από κάθε σημείο από αυτά σχεδίασε ευθεία κάθετη προς την y’y.

  1. Σχεδίασε μια ευθεία ε και δύο σημεία Α και Β που δεν ανήκουν στην ευθεία αυτή. Φέρε από τα Α και Β ευθείες κάθετες προς την ε και εξέτασε σε ποια περίπτωση οι δύο αυτές κάθετες συμπίπτουν.
ΣημείωσηΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!