34. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο

1.1 Ιδιότητες δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο και υπολογισμός παραστάσεων

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

Ξαναλέμε:

  • Ορισμός δύναμης με θετικό εκθέτη: Για κάθε ρητό \(a\) και φυσικό \(\nu \geq 2\), η δύναμη \(a^\nu\) είναι το γινόμενο \(\nu\) παραγόντων ίσων με \(a\).
  • Μηδενικός εκθέτης: Για κάθε \(a \neq 0\), ορίζουμε \(a^0 = 1\).

…και συνεχίζουμε

  • Αρνητικός ακέραιος εκθέτης: Για κάθε \(a \neq 0\), η δύναμη \(a^{-\nu}\) ισούται με κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή την αντίστοιχη δύναμη με θετικό εκθέτη: \[a^{-\nu} = \frac{1}{a^\nu}\].

Αρα συμπεραίνουμε ότι: \[a^{-\nu} = \frac{1}{a^\nu} \Rightarrow a^{-\nu} \cdot{a^\nu}=1\]

Παραδείγματα

  1. \((-2)^3 \cdot (-2)^{-5} = (-2)^{3-5} = (-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{4}\).
  2. \([(-3)^2]^{-1} = (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9}\).
  3. \((10^2 \cdot 10^{-4})^3 = (10^{-2})^3 = 10^{-6} = 0,000001\).
  4. \((-0,5)^{-2} = \dfrac{1}{(-0,5)^2} = \dfrac{1}{0,25} = 4\).
  5. \(\dfrac{a^5 \cdot a^{-2}}{a^3} = \dfrac{a^3}{a^3} = a^0 = 1\) (για \(a \neq 0\)).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε: \(3^{-2}, (-2)^{-3}, 10^{-4}\).
  2. Βρείτε την τιμή: \((-1)^{-20} + (-1)^{-21}\).
  3. Απλοποιήστε: \(x^5 \cdot x^{-2} \cdot x^0\).
  4. Γράψτε ως μία δύναμη: \(2^3 \cdot 4^2 \cdot 8^{-1}\).
  5. Υπολογίστε: \((0,2)^{-3}\).
  6. Βρείτε την τιμή της παράστασης: \((-3)^2 - (-2)^{-2}\).
  7. Απλοποιήστε: \(\dfrac{(a^2)^3 \cdot a^{-4}}{a^2}\).
  8. Υπολογίστε το γινόμενο: \((-5)^{-2} \cdot 25\).
  9. Βρείτε το \(x\): \(3^x = \dfrac{1}{27}\).
  10. Υπολογίστε: \([(-2) \cdot (+3)]^{-2}\).
  11. Γράψτε χωρίς παρονομαστή: \(\dfrac{1}{a^5}, \dfrac{x^2}{y^3}\).
  12. Υπολογίστε: \((1,2)^2 \cdot (1,2)^{-2}\).
  13. Απλοποιήστε: \((a \cdot b)^{-3} : a^{-3}\).
  14. Βρείτε την τιμή: \((-10)^{-3} \cdot 10^5\).
  15. Υπολογίστε: \([(-1)^{-2}]^{-3}\).

1.2 Η ισότητα \(\left(\dfrac{α}{β}\right)^\nu = \left(\dfrac{β}{α}\right)^{-\nu}\) και υπολογισμός δυνάμεων

Θεωρία - Ορισμοί

  • Αντίστροφοι αριθμοί: Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι αν το γινόμενό τους είναι \(1\). Ο αντίστροφος του κλάσματος \(\dfrac{α}{β}\) είναι το \(\dfrac{β}{α}\).
  • Η ιδιότητα: Μια δύναμη με βάση κλάσμα και αρνητικό εκθέτη είναι ίση με τη δύναμη του αντίστροφου κλάσματος με τον αντίστοιχο θετικό εκθέτη: \[\left(\frac{α}{β}\right)^{-\nu} = \left(\frac{β}{α}\right)^\nu\].
  • Εφαρμογή: Για να υπολογίσουμε μια δύναμη όπως \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\), αντιστρέφουμε τη βάση και αλλάζουμε το πρόσημο του εκθέτη: \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\).

Παραδείγματα

  1. \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{125}{8}\).
  2. \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = (-3)^2 = +9\).
  3. \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{3}\).
  4. \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^3 = -\dfrac{27}{8}\).
  5. \((0,2)^{-2} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25\).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε: \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\).
  2. Μετατρέψτε σε δύναμη με θετικό εκθέτη: \(\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-4}\).
  3. Υπολογίστε: \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{-2}\).
  4. Βρείτε την τιμή: \(\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-3}\).
  5. Υπολογίστε τη δύναμη: \((-0,1)^{-4}\).
  6. Απλοποιήστε: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)^n\).
  7. Υπολογίστε: \(\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-1} + \dfrac{2}{5}\).
  8. Βρείτε την τιμή: \(\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{-3}\).
  9. Υπολογίστε το γινόμενο: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\).
  10. Μετατρέψτε σε κλάσμα: \(\left(1 \dfrac{1}{2}\right)^{-2}\).
  11. Υπολογίστε: \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2}\) αν \(x=1, y=3\).
  12. Βρείτε την τιμή: \(\left(\dfrac{10}{3}\right)^{-2}\).
  13. Υπολογίστε: \(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{-1}\).
  14. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-2} : \left(\dfrac{b}{a}\right)^2\).
  15. Υπολογίστε: \((0,75)^{-1}\).
  16. μετατρέψτε σε δεκαδικούς τις δυνάμεις:
  • α. \(10^{-1}\)
  • β. \(10^{-2}\)
  • γ. \(10^{-3}\)
  • δ. \(10^{-4}\)
  • ε. \(10^{-5}\)
  • στ. \(10^{-6}\)
  • ζ. \(10^{-7} .........\)

1.3 ….. ασκήσεων συνέχεια

  1. \(A = \dfrac{10^5 \cdot 10^{-2}}{10^{-3}} + (-2)^3 \cdot 5\).
  2. \(B = (2^2 \cdot 25 \cdot 10^{-1})^2 - 50 \cdot 10^{-2}\).
  3. \(\Gamma = [(-2) \cdot (+3)]^2 + [(-10)^5 : (-10)^4] - 2^{-1}\).
  4. \(\Delta = \dfrac{8 \cdot 10^{-3} \cdot 14 \cdot 10^{-5}}{16 \cdot 10^{-6} \cdot 10^1} + 3^2\).
  5. \(E = (2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^0 \cdot 2^{-3}) : 2^{-2} + (-1)^7\).
  6. \(Z = 3 \cdot 5^2 + [(-2)^3 \cdot (-3)^2] - 10^{-1} \cdot 40\).
  7. \(H = 2 \cdot 10^{-3} \cdot 5 \cdot 10^{-2} + 10^{-4} \cdot 10^5 - 1^{10}\).
  8. \(\Theta = [(2^3)^2 \cdot 2^{-5}] + (3-7)^2 \cdot 10^{-1}\).
  9. \(I = \dfrac{0,00008 \cdot (0,0002)^2}{10^{-5} \cdot 0,000016} + (-1)^{10} \cdot 5^0\).
  10. \(K = [(-3)^2]^{-1} \cdot 18 - 4 \cdot 10^{-1} + (-2)^3 : 2^2\).
ΣυμβουλήΚαλή μελέτη !!!