33. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

1.1 Έννοια της δύναμης \(a^\nu\) με \(a\) ρητό και \(\nu\) φυσικό

Θεωρία - Ορισμοί

  • Ορισμός: Δύναμη ενός αριθμού \(a\) λέγεται το γινόμενο πολλών παραγόντων ίσων με τον αριθμό αυτό.

  • Συμβολισμός: Γράφεται

\[a^ν= \overset{\text{ν παράγοντες}}{\overbrace{α \cdot a \cdot a\cdot a\cdot a \cdots\cdot a}}\]

όπου ο αριθμός \(a\) λέγεται βάση και ο φυσικός αριθμός \(\nu\) (για \(\nu \geq 2\)) λέγεται εκθέτης.

  • Ειδικές περιπτώσεις:
    • Πρώτη δύναμη: \(a^1 = a\).
    • Μηδενική δύναμη: \(a^0 = 1\) (με \(a \neq 0\)).
    • Δύναμη κλάσματος: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^\nu = \dfrac{a^\nu}{b^\nu}\).

Παραδείγματα

  1. \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\).
  2. \((\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}\).
  3. \((-3,5)^1 = -3,5\).
  4. \(10^4 = 10.000\) (η μονάδα με 4 μηδενικά).
  5. \((-25)^0 = 1\).

Ασκήσεις

  1. Να γραφούν ως δυνάμεις: \(7 \cdot 7 \cdot 7\), \(\beta \cdot \beta \cdot \beta \cdot \beta \cdot \beta\), \(x \cdot x \cdot x\).
  2. Να βρεθούν οι τιμές: \(2^5, 3^4, 7^2, 10^3\).
  3. Να υπολογιστούν τα τετράγωνα: \(8, 11, 12, 25\).
  4. Να υπολογιστούν οι κύβοι: \(1, 3, 4, 10, 100\).
  5. Να βρεθεί η τιμή των \(0^4\) και \(1^{378}\).
  6. Να υπολογιστεί η δύναμη \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4\).
  7. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης \(x^2 + y^2\) αν \(x=8, y=3\).
  8. Ποιου αριθμού είναι κύβος το \(9.261\); (Απάντηση: \(21^3\)).
  9. Να γραφούν με δυνάμεις του 10 οι αριθμοί: \(40.000\) και \(150.000.000\).
  10. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις δεκαδικών: \(0,4^3\) και \(3,2^2\).
  11. Ποια είναι η τιμή του \((1.354 \cdot 755 \cdot 83)^0\);.
  12. Να λυθεί η εξίσωση \(5^x = 125\).
  13. Να βρεθεί η τιμή του \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\).
  14. Να γραφεί ο αριθμός \(3.687\) ως πολυώνυμο με δυνάμεις του 10.
  15. Να εξεταστεί αν \(2^3 = 3^2\).

1.2 Πρόσημο της δύναμης με βάση ρητό και εκθέτη φυσικό

Θεωρία - Κανόνες

Το πρόσημο εξαρτάται από τη βάση και τον εκθέτη:

  1. Θετική βάση: Κάθε δύναμη θετικού αριθμού είναι θετική. \[(+2)^4=16 \ \ \ , \ \ \ (+2)^5=32\]
  2. Αρνητική βάση:
    • Αν ο εκθέτης είναι άρτιος, η δύναμη είναι θετική (\(+\)). \[(-2)^4=+16\]
    • Αν ο εκθέτης είναι περιττός, η δύναμη είναι αρνητική (\(-\)). \[(-2)^5=-32\]
  • Προσοχή: Η γραφή \((-3)^4\) (θετικό) διαφέρει από τη \(-3^4\) (αρνητικό), καθώς στην πρώτη υψώνεται το πρόσημο, ενώ στη δεύτερη όχι.

Παραδείγματα

  1. \((+4)^3 = +64\) (Θετική βάση).
  2. \((-4)^2 = +16\) (Αρνητική βάση, άρτιος εκθέτης).
  3. \((-2)^5 = -32\) (Αρνητική βάση, περιττός εκθέτης).
  4. \((-1)^{10} = +1\) (Άρτιος εκθέτης).
  5. \((-1)^{11} = -1\) (Περιττός εκθέτης).

Ασκήσεις

  1. Ποιο είναι το πρόσημο των: \((-5)^4, (-7)^3, (+2)^6, (-10)^5\);.
  2. Υπολογίστε: \((-2)^5, (-3)^4, (+4)^3\).
  3. Να συγκριθούν οι τιμές των \((-3)^4\) και \(-3^4\).
  4. Βρείτε την τιμή του \((-0,5)^4\).
  5. Είναι η δύναμη \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2\) θετική ή αρνητική;.
  6. Υπολογίστε το \((-1)^{2024}\) και \((-1)^{2025}\) (βάσει κανόνων άρτιου/περιττού).
  7. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της δύναμης \((-10)^9\);.
  8. Ποιο είναι το πρόσημο του \((-1,333...)^2\);.
  9. Βρείτε την τιμή του \((-11)^2\).
  10. Ποιο είναι το πρόσημο της δύναμης \((-500)^3\);.
  11. Να βρεθεί το αποτέλεσμα της \((-3)^2 + (-5)^2 - (-2)^4\).
  12. Υπολογίστε το πρόσημο της παράστασης \((-2) \cdot (-3) \cdot (-4)\) και συγκρίνετε με τη δύναμη \((-3)^3\).
  13. Ποιο είναι το πρόσημο του \((-\frac{1}{2})^3\);.
  14. Είναι η δύναμη \((-a)^{2\nu}\) πάντα θετική αν \(a \neq 0\);.
  15. Υπολογίστε το \((-1)^{378}\).

1.3 Ιδιότητες δυνάμεων με βάση ρητό αριθμό

Θεωρία - Ιδιότητες

Όλες οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων από την Αριθμητική ισχύουν και στο σύνολο των ρητών (σχετικών) αριθμών.

Οι βασικότερες είναι:

\[ \begin{array}{| r r l |} \hline 1.& \text{Γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση:} & \mathbf{\color{blue}{α^\mu \cdot α^\nu = α^{\mu+\nu}}}\\ 2.& \text{Δύναμη δυνάμεως:} & \mathbf{\color{blue}{(α^\mu)^\nu = α^{\mu \cdot \nu}}}\\ 3.& \text{Δύναμη γινομένου:} & \mathbf{\color{blue}{(α \cdot β \cdot γ)^\nu = α^\nu \cdot \beta^\nu \cdot \gamma^\nu}} \\ 4.& \text{Δύναμη πηλίκου:} & \mathbf{\color{blue}{\left(\dfrac{α}{β}\right)^\nu = \dfrac{α^\nu}{β^\nu}}}\\ 5.& \text{Πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση:} & \mathbf{\color{blue}{α^\mu : α^\nu = α^{\mu-\nu} (\text{ για } \mu > \nu \text{ και } a \neq 0)}} \\ \hline \end{array} \]

Ξαναλέμε:

  • Πρόσημο: Μια δύναμη με αρνητική βάση είναι:
  • θετική αν ο εκθέτης είναι άρτιος και
  • αρνητική αν ο εκθέτης είναι περιττός.

Παραδείγματα

  1. \((-2)^3 \cdot (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32\).
  2. \([(-3)^2]^3 = (-3)^{2 \cdot 3} = (-3)^6 = +729\).
  3. \((-2 \cdot +3 \cdot -5)^3 = (-2)^3 \cdot (+3)^3 \cdot (-5)^3\).
  4. \(\left(\dfrac{-2}{+3}\right)^3 = \dfrac{(-2)^3}{(+3)^3} = \dfrac{-8}{27}\).
  5. \((-5)^6 : (-5)^4 = (-5)^{6-4} = (-5)^2 = +25\).

Ασκήσεις

  1. Γράψτε ως μία δύναμη: \((-3)^4 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)^5\).
  2. Υπολογίστε το γινόμενο: \((-1)^8 \cdot (-1)^4 \cdot (-1)^7\).
  3. Απλοποιήστε τη δύναμη: \([(-2)^3]^2\).
  4. Βρείτε την τιμή της παράστασης: \([(-2) \cdot (-5) \cdot (+10)]^3\).
  5. Εκτελέστε τη διαίρεση: \((-10)^9 : (-10)^7\).
  6. Υπολογίστε το πηλίκο: \(\left(\dfrac{-2}{3}\right)^4 : \left(\dfrac{-2}{3}\right)^2\).
  7. Γράψτε ως γινόμενο δυνάμεων: \((-4 \cdot a \cdot x \cdot \omega)^3\).
  8. Βρείτε την τιμή του \(x\) αν: \((-2)^x = -128\).
  9. Απλοποιήστε: \(a^2 \cdot a^3 \cdot a\) (όπου \(a\) αρνητικός ρητός).
  10. Υπολογίστε: \([(-2)^2]^3 \cdot (-2)^4\).
  11. Γράψτε ως δύναμη το γινόμενο: \((-3)^2 \cdot (+3)^2\).
  12. Βρείτε την τιμή του \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 \cdot (-2)^3\).
  13. Απλοποιήστε το \([(-x)^2]^4 : (-x)^5\).
  14. Υπολογίστε το \((-1)^{20} \cdot (-5)^0\).
  15. Γράψτε ως μία δύναμη: \((-5)^3 \cdot 25 \cdot (-5)\).

1.4 Προτεραιότητα πράξεων με ρητούς (σχετικούς) αριθμούς

Θεωρία - Κανόνες

Η σειρά εκτέλεσης των πράξεων παραμένει η ίδια, αλλά πρέπει να προσέχουμε τα πρόσημα σε κάθε βήμα:

  1. Παρενθέσεις, αγκύλες, άγκιστρα (από τις εσωτερικές προς τις εξωτερικές).
  2. Δυνάμεις.
  3. Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται).
  4. Προσθέσεις και Αφαιρέσεις (Αλγεβρικά αθροίσματα).

Παραδείγματα

  1. \(-3^2 + (-5)^2 - 2^2 = -9 + 25 - 4 = 12\).
  2. \(-4 \cdot (2+5) + [3 \cdot (2-6) - 8 : 2] \cdot (-4) = -28 + [-12 - 4] \cdot (-4) = -28 + 64 = 36\).
  3. \((3-7) \cdot 4 + [5 \cdot (-6) - 6 : 3] \cdot (-2) = (-4) \cdot 4 + [-30-2] \cdot (-2) = -16 + 64 = 48\).
  4. \([(-3)^2]^3 - [(-5)^5 : (-5)^3] + (-1)^7 = 729 - (+25) - 1 = 703\).
  5. \(\dfrac{3}{5} (10 \cdot 2^2 - 5 \cdot 3) - \dfrac{2}{3} (15 - 2^2) = \dfrac{3}{5}(40-15) - \dfrac{2}{3}(15-4) = 15 - \dfrac{22}{3} = \dfrac{23}{3}\).
  6. \(3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\).
  7. \((3 + 4)^2 = 7^2 = 49\).
  8. \(2^3 + 5^2 + 3^3 + 1^8 = 8 + 25 + 27 + 1 = 61\).
  9. \(5 \cdot 7 + 2 = 35 + 2 = 37\).
  10. \(6 \cdot 8 - 4 \cdot 5 = 48 - 20 = 28\).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε: \(2^3 + 5^2 - 3^2 + 1^{10}\).
  2. Βρείτε την τιμή: \(4^3 \cdot 2^2 \cdot 3^0 - 1 \cdot 5^2 + (2^3)^3 : 2^8\).
  3. Υπολογίστε: \([(276-84) : 12] \cdot 25 - 95\).
  4. Εκτελέστε τις πράξεις: \(3^2 - 4 \cdot (-2)^2 \cdot 1\).
  5. Βρείτε την τιμή: \((3-7) \cdot 4 + [5 \cdot (-6) - 6:3] \cdot (-2)\).
  6. Υπολογίστε: \(3^4 + 5^3 + 2^5\).
  7. Βρείτε την τιμή: \(2 \cdot (-3)^2 \cdot (-1)^4 + 3 \cdot (-5)^2 \cdot 2^3 - (-1)^2 \cdot (-7)^2\).
  8. Εκτελέστε: \(8 \cdot 6 - 5 \cdot 4\).
  9. Υπολογίστε: \(6^2 \cdot 5^3 \cdot 4^0\).
  10. Βρείτε την τιμή: \(x+y^2+\omega^3\) αν \(x=12, y=13, \omega=4\).
  11. Υπολογίστε: \([(-3)^2]^3 - [(-5)^5 : (-5)^3] + (-1)^7\).
  12. Εκτελέστε: \(4 \cdot 2^5 + 4 \cdot 3^4 - 5 \cdot 4^3\).
  13. Βρείτε την τιμή: \((5,62)^2 + (0,024)^2\).
  14. Υπολογίστε: \(2^5 \cdot 3^4 \cdot 4^3 \cdot 5^2 \cdot 6^4 \cdot 7^0\).
  15. Λύστε την εξίσωση \(3(x+4) - 3 \cdot 5 = 27\) χρησιμοποιώντας προτεραιότητα.
  16. Υπολογίστε την παράσταση: \(2^3 + (-4)^3\).
  17. Βρείτε την τιμή: \(6^2 - (-5)^3 + (-4)^2\).
  18. Εκτελέστε τις πράξεις: \(5^2 + (-2)^5 - (-3)^4 + (-8)^2\).
  19. Υπολογίστε: \(3 \cdot (-5)^2 + (-2)^3 \cdot (-3)^3 - (-3)^2 \cdot (-4)^3 \cdot 2^3\).
  20. Βρείτε το αποτέλεσμα: \(18 - (-9) - (-5) + (-6)\).
  21. Υπολογίστε: \([(-2) \cdot (+3)]^2 - [(+2)^3]^2 + [(-10)^5 : (-10)^4]\).
  22. Εκτελέστε: \(25 - \{14 - [6 + (4 - 5) - 9] - [(9 - 7) - (8 - 3)]\} - [14 - (15 - 4 + 3)]\).
  23. Βρείτε την τιμή: \(3^2 - 4 \cdot (-2)^2 \cdot 1\).
  24. Υπολογίστε: \(3 \cdot (-4)^2 + (-5) \cdot (-1)^4 - 6 \cdot (-2)^4\).
  25. Εκτελέστε: \(2 \cdot (-3)^2 \cdot (-1)^4 + 3 \cdot (-5)^2 \cdot 2^3 - (-1)^2 \cdot (-7)^2\).
  26. Βρείτε την τιμή: \(6^2 - 3 \cdot 2^3 \cdot (-3)^2 + 4^2 \cdot (-3)^2 - 5 \cdot (-5)^2 \cdot (-1)^7\).
  27. Υπολογίστε: \([(-24) : (+3)] - [(-18) : (-6)] + [(+36) : (-9)]\).
  28. Βρείτε το αποτέλεσμα: \([(+5) \cdot (-4)] - [(-3,75) : (-25)] + (-4 + 12 - 7)\).
  29. Υπολογίστε: \(\dfrac{-214}{-18} + \dfrac{135}{-15} - \dfrac{-405}{45}\).
  30. Λύστε την παράσταση: \([(276 - 84) : 12] \cdot 25 - 95\) .

1.5 ….. παραδειγμάτων και ασκήσεων συνέχεια

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1 (Απλές πράξεις και δυνάμεις):

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: \(A = -3^2 + (-5)^2 - 2^2\).

  • \(-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9\) (Προσοχή: το πλην είναι έξω από τη δύναμη).
  • \((-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = +25\) (Η βάση είναι αρνητική, ο εκθέτης άρτιος, άρα το αποτέλεσμα θετικό).
  • \(2^2 = 4\).
  • \(A = -9 + 25 - 4 = 16 - 4 = \mathbf{12}\).

Παράδειγμα 2 (Συνδυασμός παρενθέσεων και πολλαπλασιασμού):

Να υπολογιστεί η παράσταση: \(B = (3 - 7) \cdot 4 + [5 \cdot (-6) - 6 : 3] \cdot (-2)\).

  1. Πράξεις στις παρενθέσεις/αγκύλες:
    • \((3 - 7) = -4\).
    • \([5 \cdot (-6) - 6 : 3] = [-30 - 2] = -32\).
  2. Πολλαπλασιασμοί:
    • \((-4) \cdot 4 = -16\).
    • \((-32) \cdot (-2) = +64\).
  3. Τελικό άθροισμα: \(B = -16 + 64 = \mathbf{48}\).

Παράδειγμα 3 (Σύνθετη παράσταση με δυνάμεις):

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: \(\Pi = 4^3 \cdot 2^2 \cdot 3^0 - 1 \cdot 5^2 + 8^3 : (2^2)^3\).

  • \(4^3 = 64\).
  • \(2^2 = 4\).
  • \(3^0 = 1\).
  • \(5^2 = 25\).
  • \((2^2)^3 = 2^6 = 64\) (ιδιότητα δύναμη δυνάμεως).
  • \(8^3 = (2^3)^3 = 2^9 = 512\).
  • \(\Pi = (64 \cdot 4 \cdot 1) - (1 \cdot 25) + (512 : 64)\)
  • \(\Pi = 256 - 25 + 8 = \mathbf{239}\).

Επιπλέον Ασκήσεις

Α’ Ομάδα: Βασικές πράξεις και δυνάμεις

  1. \((-2)^3 + (-3)^2 - (-1)^4\).
  2. \(2 \cdot (-3)^2 \cdot (-1)^4 + 3 \cdot (-5)^2 \cdot 2^3 - (-1)^2 \cdot (-7)^2\).
  3. \(6^2 \cdot 5^3 \cdot 4^0\).
  4. \((-5)^3 + (-7)^1 - (+12)^1\).
  5. \((-12)^1 - (-6)^1 + (-3)^3\).

Β’ Ομάδα: Με παρενθέσεις και αγκύλες

  1. \([(276 - 84) : 12] \cdot 25 - 95\).
  2. \([(-3)^2]^3 - [(-5)^5 : (-5)^3] + (-1)^7\).
  3. \(4 - (8 - 3 - 5 + 7)\).
  4. \(23 - 15 + (4 - 9) - (12 - 9 + 3)\).
  5. \([(3 - 7) + (11 - 2 - 6)] \cdot (-8)\).

Γ’ Ομάδα: Σύνθετες παραστάσεις και κλάσματα

  1. \(\dfrac{3}{5} (10 \cdot 2^2 - 5 \cdot 3) - \dfrac{2}{3} (15 - 2^2)\).
  2. \(\{5 \cdot (-12) - (-15) \cdot 7\} : (-3)\).
  3. \([(-2) \cdot (+3)]^2 - [(+2)^3]^2 + [(-10)^5 : (-10)^4]\).
  4. \(3^2 - 4 \cdot (-2)^2 \cdot 1\).
  5. \(25 - \{14 - [6 + (4 - 5) - 9] - [(9 - 7) - (8 - 3)]\} - [14 - (15 - 4 + 3)]\).

Σημείωση για τις δυνάμεις: Να θυμάστε ότι κάθε δύναμη με αρνητική βάση και άρτιο εκθέτη είναι θετική, ενώ με περιττό εκθέτη διατηρεί το πρόσημο της βάσης. Επίσης, οποιοσδήποτε αριθμός (εκτός του μηδενός) υψωμένος στο μηδέν ισούται με \(1\).

ΣυμβουλήΚαλή μελέτη !!!