32. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

1.1 Διάκριση ρητών ως δεκαδικών ή περιοδικών δεκαδικών

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

  • Δεκαδικός αριθμός (τερματιζόμενος): Είναι ο ρητός που μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με παρονομαστή δύναμη του 10 (\(10, 100, 1000 \dots\)).

\[0,358=\frac{358}{1000}\]

Ένα ανάγωγο κλάσμα τρέπεται σε τερματιζόμενο δεκαδικό αν και μόνο αν ο παρονομαστής του, αναλυόμενος σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, περιέχει μόνο τους παράγοντες 2 ή 5. \[\frac{7}{20}=\frac{7}{2^2 \cdot 5}=0,35\]

  • Περιοδικός δεκαδικός αριθμός: Είναι ο δεκαδικός με άπειρα ψηφία, όπου μια ομάδα ψηφίων (η περίοδος) επαναλαμβάνεται διαδοχικά.

    • Απλός περιοδικός: Η περίοδος αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή. Συμβαίνει όταν ο παρονομαστής του αναγώγου κλάσματος δεν περιέχει τους παράγοντες 2 ή 5.

    \[\frac{45}{63}=\frac{45}{7 \cdot 3^2}=0,714285714285714285714285 \cdots = 0,\overline{714285}\]

  • Μικτός περιοδικός: Υπάρχουν μη περιοδικά ψηφία ανάμεσα στην υποδιαστολή και την πρώτη περίοδο. Συμβαίνει όταν ο παρονομαστής περιέχει τους παράγοντες 2 ή 5 και τουλάχιστον έναν άλλον πρώτο παράγοντα.

\[\frac{24}{45}=\frac{25}{5 \cdot 3^2}=0,53333333....=0,5\overline{3}\] \[\frac{73}{28}=\frac{73}{2^2 \cdot 7}=2,60714285714285714285714285 .....=2,60\overline{714285}\]

  • Ιδιότητα: Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων ενός τερματιζόμενου δεκαδικού είναι ίσο με τον μεγαλύτερο εκθέτη του 2 ή του 5 στον παρονομαστή του.

Παραδείγματα

  1. \(\dfrac{3}{4}\): Ανάγωγο, \(4 = 2^2\). Περιέχει μόνο το 2, άρα είναι τερματιζόμενος (\(0,75\)).
  2. \(\dfrac{1}{3}\): Ανάγωγο, παρονομαστής 3. Δεν περιέχει 2 ή 5, άρα είναι απλός περιοδικός (\(0,333\dots\)).
  3. \(\dfrac{17}{6}\): Ανάγωγο, \(6 = 2 \cdot 3\). Περιέχει το 2 και άλλον παράγοντα (3), άρα είναι μικτός περιοδικός.
  4. \(\dfrac{7}{20}\): Ανάγωγο, \(20 = 2^2 \cdot 5\). Περιέχει μόνο 2 και 5, άρα είναι τερματιζόμενος (\(0,35\)).
  5. \(\dfrac{5}{33}\): Ανάγωγο, \(33 = 3 \cdot 11\). Δεν περιέχει 2 ή 5, άρα είναι απλός περιοδικός (\(0,1515\dots\)).

Ασκήσεις

  1. Εξετάστε αν το κλάσμα \(\dfrac{7}{8}\) είναι τερματιζόμενος ή περιοδικός δεκαδικός.
  2. Χαρακτηρίστε ως απλό ή μικτό περιοδικό το κλάσμα \(\dfrac{2}{15}\).
  3. Είναι το \(\dfrac{11}{25}\) τερματιζόμενος δεκαδικός;.
  4. Βρείτε το είδος του δεκαδικού που προκύπτει από το \(\dfrac{5}{6}\).
  5. Αναλύστε τον παρονομαστή του \(\dfrac{13}{40}\) και προβλέψτε τη μορφή του.
  6. Προσδιορίστε την περίοδο του κλάσματος \(\dfrac{28}{33}\).
  7. Είναι το \(\dfrac{17}{12}\) τερματιζόμενος δεκαδικός;.
  8. Εξετάστε το κλάσμα \(\dfrac{1}{11}\).
  9. Χαρακτηρίστε το κλάσμα \(\dfrac{47}{22}\).
  10. Είναι το \(\dfrac{9}{16}\) τερματιζόμενος δεκαδικός;.
  11. Εξετάστε το \(\dfrac{39}{28}\) αφού το τρέψετε σε ανάγωγο.
  12. Προβλέψτε τη μορφή του \(\dfrac{27}{160}\).
  13. Εξετάστε το κλάσμα \(\dfrac{45}{48}\).
  14. Χαρακτηρίστε το \(\dfrac{131}{125}\).
  15. Αναλύστε τον παρονομαστή του \(\dfrac{89}{36}\) και κατατάξτε τον.

1.2 Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό και αντιστρόφως

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

  • Κλάσμα σε Δεκαδικό: Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Αν η διαίρεση τελειώσει, προκύπτει τερματιζόμενος δεκαδικός, αλλιώς περιοδικός.

\[\frac{5675}{20}=\frac{5675}{2^2\cdot5}=283,75\]

\[\begin{array}{r | l} 5675,00 & \underline{20 \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ - \ \underline{40 \phantom{75,00}} & {283,75} \\ 167\phantom{5,00}& \\ - \ \phantom{} \underline{160\phantom{5,00}} &\\ \phantom{1} 75 \phantom{,00} & \\ - \ \phantom{2} \underline{60\phantom{,00}} &\\ \phantom{} 150 \phantom{00}&\\ - \ \phantom{2} \underline{140} \phantom{00} &\\ \phantom{} 100 \phantom{0}&\\ - \ \phantom{7} \underline{100} \phantom{0} &\\ 0 \phantom{7} \end{array}\]
  • Τερματιζόμενος Δεκαδικός σε Κλάσμα: Ο αριθμητής είναι ο δεκαδικός χωρίς την υποδιαστολή και παρονομαστής η μονάδα με τόσα μηδενικά όσα τα δεκαδικά ψηφία.

\[854,78=\frac{85478}{100}\]

  • Απλός Περιοδικός σε Κλάσμα: Αριθμητής η περίοδος και παρονομαστής τόσα «9» όσα τα ψηφία της περιόδου.

\[0,454545...=\frac{45}{99} \ \ \, \ \ \ 0,734734734...=\frac{734}{999}\]

  • Μικτός Περιοδικός σε Κλάσμα: Αριθμητής η διαφορά: (μη περιοδικό μέρος και περίοδος) – (μη περιοδικό μέρος). Παρονομαστής τόσα «9» όσα τα ψηφία της περιόδου, ακολουθούμενα από τόσα «0» όσα τα μη περιοδικά ψηφία.

\[0,528888...=\frac{528-52}{900}=\frac{476}{900} \ \ \ , \ \ \ \ 5,62757575...=\frac{56275-562}{9900}=\frac{55713}{9900}\]

  • Με ακέραιο μέρος: Προσθέτουμε τον ακέραιο στο κλάσμα που προκύπτει από το δεκαδικό μέρος ή εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοράς στον συνολικό αριθμό.

Παραδείγματα

  1. \(\dfrac{3}{8} \to 3,000 : 8 = 0,375\).
  2. \(0,75 \to \dfrac{75}{100} = \frac{3}{4}\).
  3. \(0,3535\dots \to \dfrac{35}{99}\).
  4. \(24,555\dots \to \dfrac{245-24}{9} = \dfrac{221}{9}\).
  5. \(0,54888\dots \to \dfrac{548-54}{900} = \dfrac{494}{900} = \dfrac{247}{450}\).

Ασκήσεις

  1. Τρέψτε το κλάσμα \(\dfrac{19}{4}\) σε δεκαδική μορφή.
  2. Μετατρέψτε το \(\dfrac{12}{5}\) σε δεκαδικό.
  3. Τρέψτε τον \(0,625\) σε ανάγωγο κλάσμα.
  4. Μετατρέψτε τον \(0,3636\dots\) σε κλάσμα.
  5. Τρέψτε το \(\dfrac{1}{3}\) σε περιοδικό δεκαδικό.
  6. Μετατρέψτε τον \(3,555\dots\) σε κλάσμα.
  7. Τρέψτε τον \(0,125\) σε κλάσμα.
  8. Μετατρέψτε το \(\dfrac{15}{11}\) σε περιοδικό δεκαδικό.
  9. Τρέψτε τον \(12,4343\dots\) σε κλάσμα.
  10. Μετατρέψτε τον \(0,008\) σε κλάσμα.
  11. Τρέψτε τον \(2,47222\dots\) σε κλάσμα.
  12. Μετατρέψτε τον \(0,0675\) σε ανάγωγο κλάσμα.
  13. Τρέψτε το \(\dfrac{47}{22}\) σε περιοδικό δεκαδικό.
  14. Μετατρέψτε τον \(1,45\) σε ανάγωγο κλάσμα.
  15. Τρέψτε τον \(0,35151\dots\) σε κλάσμα.

1.3 Η μέθοδος μετατροπής ενός περιοδικού δεκαδικού αριθμού σε κλάσμα μέσω της επίλυσης μιας εξίσωσης

στηρίζεται στη λογική της εξάλειψης του άπειρου περιοδικού μέρους μέσω της αφαίρεσης.

παραδείγματα για κάθε περίπτωση:

1.3.1 Απλός περιοδικός δεκαδικός (χωρίς ακέραιο μέρος)

Στην περίπτωση αυτή, η περίοδος ξεκινά αμέσως μετά την υποδιαστολή.

  • Παράδειγμα: \(x = 0,3535...\)

    1. Ονομάζουμε τον αριθμό \(x\). Επειδή η περίοδος έχει δύο ψηφία (το 35), πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το \(10^2 = 100\).
    2. Προκύπτει: \(100x = 35,3535...\)
    3. Αναλύουμε το δεύτερο μέλος: \(100x = 35 + 0,3535...\)
    4. Αντικαθιστούμε το \(0,3535...\) με το \(x\): \(100x = 35 + x\).
    5. Λύνουμε την εξίσωση: \(100x - x = 35 \implies 99x = 35 \implies \mathbf{x = \dfrac{35}{99}}\).

1.3.2 Απλός περιοδικός δεκαδικός (με ακέραιο μέρος)

Εδώ ο αριθμός περιλαμβάνει και ακέραιες μονάδες πριν από την υποδιαστολή.

  • Παράδειγμα: \(x = 2,8383...\)

    1. Πολλαπλασιάζουμε με το 100 (όσα και τα ψηφία της περιόδου): \(100x = 283,8383...\).
    2. Αναλύουμε το αποτέλεσμα έτσι ώστε να εμφανιστεί ο αρχικός αριθμός \(x\): \(100x = 281 + 2,8383...\) (αφού \(283,83... - 2,83... = 281\)).
    3. Αντικαθιστούμε: \(100x = 281 + x\).
    4. Λύνουμε: \(99x = 281 \implies \mathbf{x = \dfrac{281}{99}}\).

1.3.3 Μικτός περιοδικός δεκαδικός

Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένα μη περιοδικό μέρος (προπερίοδος) ανάμεσα στην υποδιαστολή και την περίοδο.

  • Παράδειγμα: \(x = 5,27444...\)

    1. Πρώτα πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλη δύναμη του 10 ώστε να μετατρέψουμε τον αριθμό σε απλό περιοδικό. Εδώ πολλαπλασιάζουμε με το 100 (όσα τα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία): \(100x = 527,444...\).
    2. Ονομάζουμε αυτόν τον νέο αριθμό \(y\) (\(y = 527,444...\)).
    3. Εφαρμόζουμε τη μέθοδο του απλού περιοδικού για το \(y\), πολλαπλασιάζοντας με το 10 (αφού η περίοδος είναι το ψηφίο 4): \(10y = 5274,444...\).
    4. Αναλύουμε: \(10y = 4747 + 527,444... \implies 10y = 4747 + y\).
    5. Λύνουμε ως προς \(y\): \(9y = 4747 \implies y = \dfrac{4747}{9}\).
    6. Εφόσον \(100x = y\), τότε \(100x = \dfrac{4747}{9} \implies \mathbf{x = \dfrac{4747}{900}}\).

Συνοπτικός Κανόνας (επαλήθευση):

Για τον μικτό περιοδικό, ο αριθμητής είναι η διαφορά (όλα τα ψηφία μέχρι το τέλος της πρώτης περιόδου) - (τα ψηφία πριν την περίοδο). Ο παρονομαστής έχει τόσα 9 όσα τα ψηφία της περιόδου και τόσα 0 όσα τα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία.

Ασκήσεις

Περίπτωση 1: Απλός περιοδικός δεκαδικός (χωρίς ακέραιο μέρος)

Σε αυτή την περίπτωση, ονομάζουμε τον αριθμό \(x\) και πολλαπλασιάζουμε με τη δύναμη του 10 που έχει τόσα μηδενικά όσα τα ψηφία της περιόδου.

Να μετατραπούν σε κλάσματα με τη μέθοδο της εξίσωσης οι αριθμοί:

  1. \(0,888...\) (Περίοδος το 8)
  2. \(0,3535...\) (Περίοδος το 35)
  3. \(0,126126...\) (Περίοδος το 126)
  4. \(0,783783...\) (Περίοδος το 783)
  5. \(0,3636...\) (Περίοδος το 36)

Περίπτωση 2: Απλός περιοδικός δεκαδικός (με ακέραιο μέρος)

Εδώ, η εξίσωση αναλύεται έτσι ώστε να απομονωθεί το ακέραιο μέρος ή να αφαιρεθούν οι δύο εξισώσεις για να εξαλειφθεί το άπειρο δεκαδικό μέρος.

Να μετατραπούν σε κλάσματα οι αριθμοί:

  1. \(24,555...\)
  2. \(2,8383...\)
  3. \(32,5656...\)
  4. \(12,4343...\)
  5. \(1,3939...\)

Περίπτωση 3: Μικτός περιοδικός δεκαδικός

Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούμε διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς με δυνάμεις του 10: πρώτα για να φέρουμε την υποδιαστολή πριν την περίοδο και μετά για να την «πηδήξουμε», ώστε με την αφαίρεση να εξαφανιστεί το περιοδικό μέρος.

Να βρεθεί η γεννήτρια μορφή των αριθμών:

  1. \(5,27444...\) (Περίοδος το 4, μη περιοδικό μέρος το 27)
  2. \(0,35151...\) (Περίοδος το 51, μη περιοδικό μέρος το 3)
  3. \(0,54888...\) (Περίοδος το 8, μη περιοδικό μέρος το 54)
  4. \(6,83737...\) (Περίοδος το 37, μη περιοδικό μέρος το 8)
  5. \(2,47222...\) (Περίοδος το 2, μη περιοδικό μέρος το 47)

1.4 Η μετατροπή ενός περιοδικού δεκαδικού αριθμού στο αντίστοιχο κοινό κλάσμα (γεννήτρια μορφή)

εξαρτάται από το αν ο αριθμός είναι απλός ή μικτός περιοδικός. Η διαδικασία ακολουθεί τους παρακάτω κανόνες:

1. Απλοί Περιοδικοί Δεκαδικοί

Στους απλούς περιοδικούς δεκαδικούς, η περίοδος ξεκινά αμέσως μετά την υποδιαστολή.

  • Χωρίς ακέραιο μέρος (π.χ. \(0,3535...\)):

    • Αριθμητής: Είναι η ίδια η περίοδος.
    • Παρονομαστής: Ο αριθμός που σχηματίζεται από τόσα εννέα (9), όσα είναι τα ψηφία της περιόδου.
    • Παράδειγμα: \(0,3535... = \dfrac{35}{99}\).

  • Με ακέραιο μέρος (π.χ. \(2,8383...\)):

    • Αριθμητής: Ο αριθμός που σχηματίζεται από το ακέραιο μέρος και μία περίοδο, ελαττωμένος κατά το ακέραιο μέρος.
    • Παρονομαστής: Τόσα εννέα (9), όσα είναι τα ψηφία της περιόδου.
    • Παράδειγμα: \(2,8383... = \dfrac{283-2}{99} = \dfrac{281}{99}\).

2. Μικτοί Περιοδικοί Δεκαδικοί

Στους μικτούς περιοδικούς δεκαδικούς, υπάρχει ένα μη περιοδικό μέρος (προπερίοδος) ανάμεσα στην υποδιαστολή και την περίοδο.

  • Κανόνας μετατροπής (π.χ. \(0,35151...\) ή \(5,27444...\)):

    • Αριθμητής: Η διαφορά που προκύπτει αν από τον αριθμό που σχηματίζεται από όλα τα ψηφία (ακέραιο μέρος και δεκαδικά) μέχρι το τέλος της πρώτης περιόδου, αφαιρέσουμε τον αριθμό που σχηματίζεται από τα ψηφία πριν την πρώτη περίοδο (ακέραια και μη περιοδικά δεκαδικά).
    • Παρονομαστής: Ο αριθμός που γράφεται με τόσα εννέα (9) όσα είναι τα ψηφία της περιόδου, ακολουθούμενα από τόσα μηδενικά (0) όσα είναι τα ψηφία του μη περιοδικού δεκαδικού μέρους.
    • Παράδειγμα 1: \(0,35151... = \dfrac{351-3}{990} = \dfrac{348}{990}\).
    • Παράδειγμα 2: \(5,27444... = \dfrac{5274-527}{900} = \dfrac{4747}{900}\).

Σημείωση: Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός προέρχεται από ένα κοινό ανάγωγο κλάσμα, του οποίου ο παρονομαστής περιέχει οπωσδήποτε πρώτους παράγοντες διαφορετικούς από το 2 και το 5.

1.5 Η ισότητα του περιοδικού δεκαδικού αριθμού 0,999… με τη μονάδα (1)

προκύπτει άμεσα από τους κανόνες μετατροπής των περιοδικών δεκαδικών σε κλάσματα και τις ιδιότητες των ρητών αριθμών, όπως αυτοί αναλύονται στις πηγές:

  1. Ορισμός του 0,999… ως απλού περιοδικού: Ο αριθμός 0,999… είναι ένας απλός περιοδικός δεκαδικός αριθμός με περίοδο το ψηφίο 9.
  2. Κανόνας μετατροπής σε κλάσμα: Σύμφωνα με τη θεωρία, ένας απλός περιοδικός δεκαδικός αριθμός χωρίς ακέραιο μέρος είναι ισοδύναμος με ένα κλάσμα που έχει:
    • Αριθμητή: Την ίδια την περίοδο (δηλαδή το 9).
    • Παρονομαστή: Τόσα εννέα (9), όσα είναι τα ψηφία της περιόδου.
  3. Η μαθηματική πράξη: Εφόσον η περίοδος του 0,999… αποτελείται από ένα μόνο ψηφίο (το 9), ο παρονομαστής θα είναι επίσης το ψηφίο 9. Συνεπώς: \[0,999... = \dfrac{9}{9}\].
  4. Ισότητα με τη μονάδα: Στη θεωρία ορίζεται ρητά ότι κάθε κλάσμα με ίσους όρους (αριθμητή και παρονομαστή) είναι ίσο με τη μονάδα (1). Εφόσον \(\dfrac{9}{9} = 1\), συμπεραίνουμε ότι \(0,999... = 1\).
  5. Συγκριτική επαλήθευση: Η λογική αυτή ακολουθεί τη διαδοχή των κλασμάτων με παρονομαστή το 9:
    • \(\dfrac{1}{9} = 0,111...\)
    • \(\dfrac{8}{9} = 0,888...\)
    • \(\dfrac{9}{9} = 0,999...\), το οποίο όμως ισούται με 1.

Επιπλέον, δύο αριθμοί θεωρούνται ίσοι αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι μηδέν. Στην περίπτωση του 1 και του 0,999…, η διαφορά τους μηδενίζεται καθώς το πλήθος των εννιαριών προχωρά στο άπειρο.

Συμβουλή