17. Η έννοια της εξίσωσης – Στοιχειώδεις εξισώσεις

1 Η έννοια της εξίσωσης – Στοιχειώδεις εξισώσεις

1.1 Η Έννοια της Εξίσωσης

1.1.1 Ορισμοί

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

Ορισμός: Εξίσωση με έναν άγνωστο ονομάζεται μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα, το οποίο ονομάζεται άγνωστος (συνήθως συμβολίζεται με $x, y, z, \omega, \phi, \psi$ κ.λπ.).
Μέλη της Εξίσωσης: Τα μέρη της εξίσωσης που χωρίζονται από το σύμβολο της ισότητας ($=$) ονομάζονται μέλη. Το μέρος αριστερά του «$=$» είναι το πρώτο μέλος και το μέρος δεξιά το δεύτερο μέλος.
Λύση ή Ρίζα: Ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.
Επίλυση: Η διαδικασία μέσω της οποίας βρίσκουμε τη λύση της εξίσωσης.
Ταυτότητα ή Αόριστη: Μια ισότητα που αληθεύει για κάθε τιμή των γραμμάτων που περιέχει (π.χ. $x+3=3+x$).
Αδύνατη: Μια εξίσωση που δεν επαληθεύεται από κανέναν αριθμό (π.χ. $0 \cdot \omega = 5$).

1.1.2 Η μετάφραση μεταξύ λεκτικών προτάσεων και μαθηματικών εξισώσεων

είναι η διαδικασία διατύπωσης προτάσεων ή προβλημάτων με τη βοήθεια αριθμών και γραμμάτων (όπως $x, y, z$). Η ικανότητα αυτή επιτρέπει τη μετατροπή καθημερινών εκφράσεων σε μαθηματικά μοντέλα που μπορούν να επιλυθούν.

1. Από λεκτική πρόταση σε μαθηματική εξίσωση/έκφραση

Για να μεταφράσουμε μια πρόταση σε μαθηματική μορφή, αναζητούμε λέξεις-κλειδιά που αντιστοιχούν στις τέσσερις πράξεις και την ισότητα:

Πρόσθεση (+): Χρησιμοποιούνται φράσεις όπως «αυξάνεται κατά», «άθροισμα» ή «επόμενος».
- Παράδειγμα: «Ένας αριθμός αυξάνεται κατά 8» $\rightarrow x + 8$.
- Παράδειγμα: «Ο επόμενος ενός φυσικού αριθμού $x$» $\rightarrow x + 1$.
Αφαίρεση (-): Χρησιμοποιούνται φράσεις όπως «μειώνεται κατά», «ελαττώνεται κατά», «διαφορά» ή «προηγούμενος».
- Παράδειγμα: «Ένας αριθμός ελαττώνεται κατά 5» $\rightarrow x - 5$.
- Παράδειγμα: «Η ελάττωση ενός αριθμού κατά 3 ισούται με 8» $\rightarrow x - 3 = 8$.
Πολλαπλασιασμός (·): Χρησιμοποιούνται λέξεις όπως «διπλάσιο», «τριπλάσιο», «πολλαπλάσιο» ή «γινόμενο».
- Παράδειγμα: «Το τριπλάσιο ενός αριθμού» $\rightarrow 3x$.
- Παράδειγμα: «Το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με 32» $\rightarrow x \cdot y = 32$.
Διαίρεση (:): Χρησιμοποιούνται λέξεις όπως «μισό», «πηλίκο» ή «λόγος».
- Παράδειγμα: «Το μισό ενός αριθμού» $\rightarrow \dfrac{x}{2}$ ή $x : 2$.
- Παράδειγμα: «Ο λόγος του $a$ προς το $b$» $\rightarrow \dfrac{a}{b}$.
Ισότητα (=): Εκφράζεται με τις λέξεις «ισούται με», «είναι» ή «μας δίνει».
- Παράδειγμα: «Το τετραπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 2 μας δίνει 22» $\rightarrow 4x + 2 = 22$.

2. Από μαθηματική έκφραση/εξίσωση σε λεκτική πρόταση

Αντίστροφα, κάθε μαθηματική σχέση μπορεί να περιγραφεί με λόγια, ερμηνεύοντας τα σύμβολα και τις πράξεις:

$x + 12$: «Ένας αριθμός αυξημένος κατά 12».
$3x + 25$: «Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 25».
$\dfrac{1}{2}x - 7 = 2$: «Το μισό ενός αριθμού μειωμένο κατά 7 ισούται με 2».
$\alpha - 2\beta$: «Ένας αριθμός μειωμένος κατά το διπλάσιο ενός άλλου αριθμού».
$4\kappa + 7\kappa = 88$: «Το τετραπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά το επταπλάσιο του ίδιου αριθμού ισούται με 88».
$\dfrac{\alpha}{\beta}$: Διαβάζεται ως «άλφα προς βήτα» ή «λόγος του άλφα προς το βήτα».
$a : b = \pi$: Διαβάζεται ως «άλφα διά βήτα ίσον πι».

Συμπερασματικά, η «μετάφραση» απαιτεί την αντιστοίχιση των μαθηματικών πράξεων με τις κατάλληλες λέξεις της γλώσσας μας, επιτρέποντας τη μετατροπή μιας αφηρημένης ισότητας σε κατανοητή πρόταση και το αντίστροφο.

1.1.3 Παραδείγματα

Η ισότητα $x + 5 = 12$ είναι εξίσωση με άγνωστο το $x$.
Στην εξίσωση $y - 2 = 3$, το πρώτο μέλος είναι το $y - 2$ και το δεύτερο το $3$.
Η έκφραση «ένας αριθμός αυξάνεται κατά 8» γράφεται ως $x + 8$.
Η πρόταση «το τετραπλάσιο ενός αριθμού ισούται με 16» μετατρέπεται στην εξίσωση $4x = 16$.
Η σχέση $x + 3 = 3 + x$ είναι ταυτότητα, γιατί ισχύει για κάθε τιμή του $x$.

1.1.4 Ασκήσεις

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω ισότητες ως εξισώσεις ή ταυτότητες:

$x + 17 = 20$,
$\alpha + \beta = \beta + \alpha$,
$1 + x = 5$,
$x + 8 = 12$,
$45 - x = 42$,
$z + 0 = z$,
$\alpha + 3 = 3 + \alpha$,
$x = x$,
$0 \cdot z = 0$,
$157 + 33 = 190$.

Μετατρέψτε τις φράσεις σε μαθηματικές εκφράσεις:

Ο επόμενος ενός φυσικού αριθμού $x$.
Το διπλάσιο ενός αριθμού $x$.
Ένας αριθμός $x$ ελαττωμένος κατά 4.
Τα πολλαπλάσια του 3.
Αν σε έναν αριθμό $x$ προσθέσουμε 5, το άθροισμα γίνεται 8.

1.2 Έλεγχος αν ένας Αριθμός είναι Λύση Εξίσωσης

1.2.1 Ορισμοί

Θεωρία - Ορισμοί

Για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι λύση (ρίζα) μιας εξίσωσης, τον τοποθετούμε στη θέση του αγνώστου (αντικατάσταση) και εκτελούμε τις πράξεις.
Αν το αποτέλεσμα στο πρώτο μέλος είναι ίσο με το αποτέλεσμα στο δεύτερο μέλος, τότε ο αριθμός επαληθεύει την εξίσωση και είναι η λύση της.

1.2.2 Παραδείγματα

Ελέγχουμε αν το $12$ είναι λύση της $x + 13 = 25$: $\ \ \ 12 + 13 = 25$, άρα είναι λύση.
Ελέγχουμε αν το $3$ είναι λύση της $4x + 5 = 17$: $\ \ \ 4 \cdot 3 + 5 = 12 + 5 = 17$, άρα είναι λύση.
Ελέγχουμε αν το $8$ είναι λύση της $x : 4 + 8 = 2x - 3$: $\ \ \ 8 : 4 + 8 = 2 + 8 = 10$, ενώ $2 \cdot 8 - 3 = 16 - 3 = 13$. Επειδή $10 \neq 13$, το $8$ δεν είναι λύση.
Στην εξίσωση $x - 7 = 5$, ο αριθμός $12$ είναι η ρίζα διότι $12 - 7 = 5$.
Στην εξίσωση $2x = 8$, ο αριθμός $4$ την επαληθεύει ($2 \cdot 4 = 8$).

1.2.3 Ασκήσεις

Εξετάστε αν οι αριθμοί στις παρενθέσεις είναι λύσεις των αντίστοιχων εξισώσεων:

$x - 2 = 4$ ($x=6$),
$1 + y = 4$ ($y=3$),
$18 - \omega = 10$ ($\omega=8$),
$2 - \alpha = 1$ ($\alpha=1$),
$93 - \beta = 86$ ($\beta=7$),
$x + 5 = 12$ ($x=7$),
$y - 2 = 3$ ($y=5$),
$10 - z = 1$ ($z=9$),
$7 \cdot \phi = 14$ ($\phi=2$),
$\omega : 5 = 4$ ($\omega=20$),
$24 : \psi = 6$ ($\psi=4$),
$5 - x = 4$ ($x=1$),
$6 : x = 2$ ($x=3$),
$x : 2 = 3$ ($x=6$),
$x + 7 = 30$ ($x=23$).

================================================

1.3 Τα λάθη των μαθητών στις εξισώσεις

και τα μαθηματικά γενικότερα χωρίζονται σε δομικά (λογικά), διαδικαστικά και σφάλματα μαθηματικών συμβάσεων.

1.3.1 Σφάλματα στη Λογική της Εξίσωσης

Σύγχυση Αντίστροφων Πράξεων: Το συχνότερο δομικό λάθος είναι η επιλογή λανθασμένης πράξης για την απομόνωση του αγνώστου. Ιδιαίτερα στην αφαίρεση, όταν ο άγνωστος είναι ο αφαιρετέος (π.χ. $a - x = \beta$), πολλοί μαθητές προσπαθούν λανθασμένα να κάνουν πρόσθεση αντί για αφαίρεση.
Αδυναμία Επαλήθευσης: Οι μαθητές συχνά θεωρούν ότι η διαδικασία ολοκληρώθηκε μόλις βρουν μια τιμή για το $x$, χωρίς να ελέγξουν αν η τιμή αυτή επαληθεύει την αρχική ισότητα ή αν το αποτέλεσμα είναι λογικό σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος.
Διαχείριση Μηδενικών στους Δεκαδικούς: Συχνά παρατηρείται σύγχυση κατά την προσθήκη ή αφαίρεση μηδενικών στο τέλος του δεκαδικού μέρους, γεγονός που οδηγεί σε λάθος εκτίμηση της αξίας του αριθμού (π.χ. σύγχυση μεταξύ $2,6$ και $2,06$).

1.3.2 Λάθη στις Μαθηματικές Συμβάσεις και τη Γραφή

Κλασματικές Γραμμές: Οι μαθητές συχνά δεν τοποθετούν την κλασματική γραμμή στην ίδια ευθεία με το σύμβολο της ισότητας ($=$) ή των πράξεων, γεγονός που προκαλεί παρανοήσεις στην ιεραρχία των υπολογισμών.
Δυνάμεις και Εκθέτες: Παραμελείται η σαφής διάκριση μεταξύ βάσης και εκθέτη (π.χ. το $3^4$ γράφεται ως $34$), οδηγώντας σε λάθος αποτελέσματα.
Διάταξη Εξίσωσης: Απαγορεύεται η γραφή μιας εξίσωσης σε δύο σειρές ή η χρήση πολλών συμβόλων ισότητας στην ίδια σειρά, πρακτικές που μπερδεύουν τον λύτη.
Σύγχυση Αριθμών: Η κακή γραφή μπορεί να οδηγήσει στη σύγχυση αριθμών μεταξύ τους, όπως το 1 με το 7, ακόμα και από τον ίδιο τον μαθητή.

1.3.3 Διαδικαστικά και Μεθοδολογικά Λάθη

Μη Αναλυτική Επίλυση: Πολλοί μαθητές αποφεύγουν να λύνουν τις ασκήσεις βήμα-βήμα, με αποτέλεσμα να χάνουν μονάδες ή να κάνουν λάθη που θα απέφευγαν αν εργάζονταν μεθοδικά.
Χρήση Πρόχειρου: Οι πράξεις πρέπει να γράφονται δίπλα στη λύση της άσκησης (χωρίζουμε την σελίδα σε ένα μέρος κατά 1/3 όπου θα κάνουμε τις πράξεις) και όχι σε ξεχωριστά χαρτιά ή στο θράνιο, καθώς οι πράξεις αυτές βαθμολογούνται και βοηθούν στον εντοπισμό σφαλμάτων.
Βιασύνη και Παρορμητισμός: Ο παρορμητισμός στην τάξη και η επιθυμία για γρήγορη απάντηση οδηγούν συχνά σε λάθη σε ερωτήσεις που απαιτούν προσεκτική σκέψη.
Φιλολογικά Λάθη: Η παράλειψη τόνων ή η ορθογραφία μετρούν και στα μαθηματικά, καθώς αποτελούν μέρος της ακρίβειας που απαιτείται στο γραπτό.

1.3.4 Λάθη στη Χρήση Εργαλείων

Υπολογιστής Τσέπης: Συχνά γίνονται λάθη στην πληκτρολόγηση συμβόλων ή της υποδιαστολής, ενώ οι μαθητές τείνουν να εμπιστεύονται τυφλά το αποτέλεσμα της μηχανής χωρίς να το εξετάζουν με τη λογική.

1.4 Επίλυση Βασικών Μορφών Εξισώσεων

Θεωρία και Κανόνες (βάσει ορισμών πράξεων):

\[ \begin{array}{|rcl|} \hline \text{1. } & \mathbf{\color{royalblue}{\alpha + x = \beta}} & \mathbf{\Rightarrow \color{royalblue}{x = \beta - \alpha}} \\ \text{2. } & \mathbf{\color{forestgreen}{x - α = β}} & \Rightarrow \mathbf{\color{forestgreen}{x = \beta + \alpha}}\\ \text{3. }& \mathbf{\color{blue}{\alpha - x = \beta}} &\Rightarrow \mathbf{\color{blue}{x = \alpha - \beta}}\\ \text{4. }& \mathbf{\color{red}{\alpha \cdot x = \beta}} &\Rightarrow \mathbf{\color{red}{x = \beta : \alpha}} \ \ \ (\text{ για } \alpha \neq 0)\\ \text{5. }& \mathbf{\color{brown}{x : \alpha = \beta}} &\Rightarrow \mathbf{\color{brown}{x = \beta \cdot \alpha}} \\ \text{6. }& \mathbf{\color{magenta}{\alpha : x = \beta}} &\Rightarrow \mathbf{\color{magenta}{x = \alpha : \beta}} \\ \hline \end{array} \]

1.4.1 Περίπτωση Α: $\alpha + x = \beta$ (ή $x + \alpha = \beta$)

Παραδείγματα

$x + 5 = 12 \Rightarrow x = 12 - 5 = 7$.
$5 + x = 17 \Rightarrow x = 17 - 5 = 12$.
$x + 4,9 = 15,83 \Rightarrow x = 15,83 - 4,9 = 10,93$.
$40,4 + x = 93,19 \Rightarrow x = 93,19 - 40,4 = 52,79$.
$x + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{4} \Rightarrow x + \dfrac{5}{4} = \dfrac{7}{4} \Rightarrow x = \dfrac{7}{4} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Ασκήσεις

$x + 17 = 20$,
$25 + x = 30$,
$x + 47 = 47$,
$x + 13 = 25$,
$x + 25 = 975$,
$38 + x = 38$,
$\alpha + x = \alpha$,
$x + 12 = 14$,
$x + 8,56 = 18$,
$x + \dfrac{5}{4} = \dfrac{7}{8}$,
$x + (+3) = 5,45$,
$\nu + 3 = 4$,
$t + 5,06 = 22,43$,
$x + 0,01 = 1,5$,
$x + \dfrac{2}{3} = 1$.

1.4.2 Περίπτωση Β: $x - \alpha = \beta$

Παραδείγματα

$x - 7 = 5 \Rightarrow x = 5 + 7 = 12$.
$x - 23 = 1 \Rightarrow x = 1 + 23 = 24$.
$x - 18 = 0 \Rightarrow x = 0 + 18 = 18$.
$x - \dfrac{5}{4} = 2 \Rightarrow x = 2 + \dfrac{5}{4} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{13}{4} = 3,25$.
$x - 2 = 8 \Rightarrow x = 8 + 2 = 10$.

Ασκήσεις

$x - 5 = 9$,
$x - 30 = 50$,
$x - 75 = 80$,
$x - 4,56 = 1,82$,
$x - 2 = 4$,
$x - 10 = 16$,
$x - 0 = 11$,
$x - 13,34 = 15,82$,
$x - 8 = \beta$,
$x - 2 = 1$,
$x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$,
$x - 1 = 10$,
$x - \beta = \gamma$,
$x - 4 = 12$,
$x - 10 = 12$.

1.4.3 Περίπτωση Γ: $\alpha - x = \beta$

Παραδείγματα

$10 - z = 1 \Rightarrow z = 10 - 1 = 9$.
$20 - x = 6 \Rightarrow x = 20 - 6 = 14$.
$15 - x = 8 \Rightarrow x = 15 - 8 = 7$.
$50 - x = 40 \Rightarrow x = 50 - 40 = 10$.
$53,404 - x = 4,19 \Rightarrow x = 53,404 - 4,19 = 49,214$.

Ασκήσεις

$6 - x = 5$,
$38 - x = 7,1$,
$\dfrac{5}{3} - x = \dfrac{2}{5}$,
$18 - \omega = 10$,
$2 - \alpha = 1$,
$93 - \beta = 86$,
$11 = 0 - x$,
$18,84 - x = 12,45$,
$34,5 - x = 34,2$,
$15 - x = \alpha$,
$20 - x = \alpha$,
$25,69 - x = 20,86$,
$8 - x = 12$,
$\dfrac{8}{5} - x = 1$,
$53,404 - x = 4,19$.

1.4.4 Περίπτωση Δ: $\alpha \cdot x = \beta$

Παραδείγματα

$7 \cdot \phi = 14 \Rightarrow \phi = 14 : 7 = 2$.
$3x = 18 \Rightarrow x = 18 : 3 = 6$.
$2x = 8 \Rightarrow x = 8 : 2 = 4$.
$25x = 200 \Rightarrow x = 200 : 25 = 8$.
$3x = 63 \Rightarrow x = 63 : 3 = 21$.

Ασκήσεις

$3x = 6$,
$7x = 21$,
$18x = 9$,
$3x = 74$,
$0,14x = 49$,
$x \cdot 2 = 12,56$,
$\dfrac{2}{3} \cdot x = \dfrac{4}{6}$,
$4,3x = 20,86$,
$5x = 30,92$,
$8,2x = 48$,
$5x = 135$,
$2,7x = 5,85$,
$6x = 18$,
$3,4x = 7,3$,
$1,25x = 1,85$.

1.4.5 Περίπτωση Ε: $x : \alpha = \beta$

Παραδείγματα

$\omega : 5 = 4 \Rightarrow \omega = 4 \cdot 5 = 20$.
$x : 5 = 20 \Rightarrow x = 20 \cdot 5 = 100$.
$x : 2 = 5 \Rightarrow x = 5 \cdot 2 = 10$.
$x : 3 = 7 \Rightarrow x = 7 \cdot 3 = 21$.
$x : 10 = 0,85 \Rightarrow x = 0,85 \cdot 10 = 8,5$.

Ασκήσεις

$x : 4 = 3$,
$x : 3 = 9$,
$x : 2 = 3$,
$x : \alpha = \beta$,
$x : 5 = 3$,
$x : 8 = 11$,
$x : 5,3 = 12$,
$x : 0,5 = 27$,
$x : 15,5 = 3$,
$x : \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{4}$,
$x : 1 = \dfrac{8}{9}$,
$x : \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6}$,
$x : 0,25 = 10$,
$x : 1,2 = 1,028$,
$x : 5,7 = 34,5$.

1.4.6 Περίπτωση ΣΤ: $\alpha : x = \beta$

Παραδείγματα

$24 : \psi = 6 \Rightarrow \psi = 24 : 6 = 4$.
$14 : x = 7 \Rightarrow x = 14 : 7 = 2$.
$6 : x = 2 \Rightarrow x = 6 : 2 = 3$.
$20 : 5x = 4 \Rightarrow 5x = 20 : 4 = 5 \Rightarrow x = 5 : 5 = 1$. (για $x=1$)
$12 : x = 8 \Rightarrow x = 12 : 8 = 1,5$.

Ασκήσεις

$10 : x = 0,25$,
$0,75 : x = 0,5$,
$3 : x = \dfrac{12}{20}$,
$5 : x = \dfrac{15}{7}$,
$35 : x = \dfrac{40}{8}$,
$64,32 : x = 2$,
$14 : x = 7$,
$24,8 : x = 6,4$,
$104 : x = 8$,
$1550 : x = 25$,
$1445 : x = 17$,
$4002 : x = 69$,
$15 : x = \dfrac{3}{5}$,
$450 : x = 15$,
$125 : x = 9$.

1.4.7 Έλεγχος και Επαλήθευση (Παραδείγματα)

Ερώτηση: Είναι ο αριθμός 12 η λύση της εξίσωσης $x + 13 = 25$;

Έλεγχος: Αντικαθιστούμε το $x$ με το 12: $12 + 13 = 25$. Η ισότητα ισχύει, άρα το 12 είναι η λύση.

Ερώτηση: Είναι ο αριθμός 3 η λύση της εξίσωσης $5 \cdot x = 15$;

Έλεγχος: $5 \cdot 3 = 15$. Ισχύει, άρα είναι η λύση.

1.5 Βήματα και Στρατηγικές Επίλυσης

Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος δεν είναι απλή εκτέλεση πράξεων, αλλά μια πορεία μετάφρασης από τη φυσική γλώσσα στη μαθηματική.

Τα βασικά βήματα είναι:

Ανάγνωση και Κατανόηση: Προσεκτική μελέτη της εκφώνησης για τον εντοπισμό των δεδομένων (γνωστά στοιχεία) και των ζητουμένων (άγνωστα στοιχεία).
Σχεδιασμός: Επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής και των πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση) που απαιτούνται.
Εκτέλεση: Πραγματοποίηση των υπολογισμών. Στους δεκαδικούς αριθμούς, προσέχουμε την ευθυγράμμιση της υποδιαστολής στην πρόσθεση/αφαίρεση και τον σωστό υπολογισμό των δεκαδικών ψηφίων στον πολλαπλασιασμό.
Έλεγχος και Επαλήθευση: Εξέταση αν το αποτέλεσμα είναι λογικό σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος.

1.6 Ασκήσεων …. συνέχεια

Λυμένες

Πρόβλημα Ηλικίας:

Η ηλικία μιας μητέρας μειωμένη κατά 18 έτη είναι 25. Πόσο χρονών είναι η μητέρα;.

Λύση:

Έστω $x$ η ηλικία της μητέρας. Η εξίσωση είναι: $x - 18 = 25$.

Επίλυση: $x = 25 + 18 \Rightarrow \mathbf{x = 43}$.

Απάντηση: Η μητέρα είναι 43 ετών.

Πρόβλημα Λεωφορείου:

Σε ένα λεωφορείο υπήρχαν 53 επιβάτες. Σε μια στάση κατέβηκαν μερικοί ($a$) και έμειναν 18. Πόσοι κατέβηκαν;.

Λύση:

Η εξίσωση είναι: $53 - a = 18$.

Επίλυση: $a = 53 - 18 \Rightarrow \mathbf{a = 35}$.

Απάντηση: Κατέβηκαν 35 επιβάτες.

Πρόβλημα Αγοράς:

Η Δήμητρα αγόρασε σχολικά είδη αξίας 6,40 €. Αν της έμειναν 2,30 €, πόσα χρήματα είχε αρχικά;.

Λύση:

Έστω $x$ τα αρχικά χρήματα. Η εξίσωση είναι: $x - 6,40 = 2,30$.

Επίλυση: $x = 2,30 + 6,40 \Rightarrow \mathbf{x = 8,70}$.

Απάντηση: Είχε αρχικά 8,70 €.

Πρόβλημα Γεωμετρίας:

Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 48,52 εκ. Αν η βάση του είναι 10,7 εκ., πόσο είναι η κάθε μία από τις ίσες πλευρές ($x$);.

Λύση:

Η περίμετρος είναι $x + x + 10,7 = 48,52$, δηλαδή $2x + 10,7 = 48,52$.

Επίλυση: $2x = 48,52 - 10,7 \Rightarrow 2x = 37,82 \Rightarrow x = 37,82 : 2 \Rightarrow \mathbf{x = 18,91}$.

Απάντηση: Κάθε πλευρά είναι 18,91 εκ.

Πρόβλημα Συσκευασίας:

Σε πόσες θήκες ($x$) μπορούμε να μοιράσουμε 176 αυγά, αν κάθε θήκη χωράει 4 αυγά;.

Λύση:

Η εξίσωση είναι: $176 : x = 4$.

Επίλυση: $x = 176 : 4 \Rightarrow \mathbf{x = 44}$.

Απάντηση: Χρειαζόμαστε 44 θήκες.

Πρόβλημα Εμβαδού:

Σε ένα ορθογώνιο το πλάτος είναι 3 εκ. και το εμβαδόν 36 τ.εκ. Πόσο είναι το μήκος ($x$);.

Λύση:

Η εξίσωση του εμβαδού είναι: $3 \cdot x = 36$.

Επίλυση: $x = 36 : 3 \Rightarrow \mathbf{x = 12}$.

Απάντηση: Το μήκος είναι 12 εκ.

Πρόβλημα Διανομής:

Τρεις φίλοι μοιράστηκαν 2.000 €. Ο πρώτος πήρε 500 € περισσότερα από τον δεύτερο ($x$) και ο τρίτος 300 € λιγότερα από τον δεύτερο. Πόσα πήρε ο δεύτερος;.

Λύση:

$(x + 500) + x + (x - 300) = 2.000 \Rightarrow 3x + 200 = 2.000$.

Επίλυση: $3x = 1.800 \Rightarrow x = 1.800 : 3 \Rightarrow \mathbf{x = 600}$.

Απάντηση: Ο δεύτερος πήρε 600 €.

Πρόβλημα Ζυγαριάς:

Ένας άγνωστος αριθμός κύβων ($k$) μειώνεται κατά 4 και η ζυγαριά ισοροπεί όταν η άλλη πλευρά της ζυγαριάς έχει 10 κύβους. Πόσοι είναι οι κύβοι σε κάθε πλευρά;.

Λύση:

Προφανώς η μια πλευρά έχει 10 κύβους.

Η εξίσωση είναι: $k - 4 = 10$.

Επίλυση: Η άλλη πλευρά θα έχει $k = 10 + 4 \Rightarrow \mathbf{k = 14}$.

Απάντηση: Υπάρχουν 14 κύβοι στη μια πλευρά και 10 στην άλλη.

Πρόβλημα Φρούτων:

Ένας μανάβης αγόρασε 65 κιλά μπανάνες για 104 €. Επειδή κάποιες χάλασαν, πούλησε τις υπόλοιπες 0,4 € ακριβότερα το κιλό για να εισπράξει πάλι 104 €. Πόσα κιλά ($x$) πούλησε;.

Λύση:

Αρχική τιμή: $104 : 65 = 1,6$ €.

Νέα τιμή: $1,6 + 0,4 = 2$ €.

Εξίσωση: $2 \cdot x = 104$.

Επίλυση: $x = 104 : 2 \Rightarrow \mathbf{x = 52}$.

Απάντηση: Πούλησε 52 κιλά (άρα χάλασαν 13 κιλά).

Πρόβλημα Αναλογίας:

Μια συνταγή θέλει 6 αυγά και 0,75 κούπες ζάχαρη. Αν χρησιμοποιήσω 12 αυγά, πόση ζάχαρη ($x$) θα χρειαστώ;.

Λύση:

Η αναλογία είναι: $12 : 6 = x : 0,75$ (ή $\dfrac{12}{6} = \dfrac{x}{0,75}$).

Επίλυση: $6 \cdot x = 12 \cdot 0,75 \Rightarrow 6x = 9 \Rightarrow x = 9 : 6 \Rightarrow \mathbf{x = 1,5}$.

Απάντηση: Χρειάζονται 1,5 κούπες ζάχαρη.

Άλυτες

Να βρεθεί ο $x$ στην εξίσωση: $x + 0,75 = 1,5$.
Να λυθεί η εξίσωση: $40,4 + \psi = 93,19$.
Να βρεθεί η τιμή της μεταβλητής: $\omega - 31 = 45$.
Να βρεθεί ο $x$: $x - 0,05 = 0,95$.
Ποια είναι η λύση της εξίσωσης; $12,5 - x = 3,8$.
Να υπολογιστεί ο άγνωστος: $20,1 - \chi = 7$.
Να λυθεί η εξίσωση: $x \cdot 0,5 = 20$.
Να βρεθεί ο άγνωστος παράγοντας: $14 \cdot x = 11,2$.
Να βρεθεί ο διαιρετέος στην εξίσωση: $x : 0,2 = 50$.
Να βρεθεί ο διαιρέτης: $144 : x = 9$.
Το δεκαπλάσιο ενός αριθμού είναι 32. Ποιος είναι ο αριθμός;.
Αν σε έναν αριθμό προσθέσουμε 4,9 βρίσκουμε 15,83. Ποιος είναι ο αριθμός;.
Ένας αριθμός ελαττώνεται κατά 5 και γίνεται 12,5. Ποιος είναι ο αριθμός;.
Το γινόμενο του 14 επί έναν άγνωστο αριθμό είναι 11,2. Βρείτε τον άγνωστο.
Ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσω από το 89,45 για να βρω 44,006;.
Ο Γιάννης έχει 1.500 € στην τράπεζα. Η Λίζα έχει τριπλάσια. Πόσα έχει η Λίζα;.
Μια διαδρομή 292,5 μιλίων πρέπει να γίνει σε 9 ώρες. Με τι ταχύτητα ($x$) πρέπει να πηγαίνει το πλοίο;.
Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 1.275,845. Ο ένας είναι 878,247. Ποιος είναι ο άλλος;.
Αν από το μισό ενός αριθμού αφαιρέσουμε το 7 βρίσκουμε 5. Ποιος είναι ο αριθμός;.
Ένας εργάτης πήρε προκαταβολή 180 €, που ήταν το μισό της συνολικής του αμοιβής για 5 ημέρες. Ποιο ήταν το μεροκάματό του;.

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!

17. Η έννοια της εξίσωσης – Στοιχειώδεις εξισώσεις

1 Η έννοια της εξίσωσης – Στοιχειώδεις εξισώσεις

1.1 Η Έννοια της Εξίσωσης

1.1.1 Ορισμοί

1.1.2 Η μετάφραση μεταξύ λεκτικών προτάσεων και μαθηματικών εξισώσεων

1.1.3 Παραδείγματα

1.1.4 Ασκήσεις

1.2 Έλεγχος αν ένας Αριθμός είναι Λύση Εξίσωσης

1.2.1 Ορισμοί

1.2.2 Παραδείγματα

1.2.3 Ασκήσεις

1.3 Τα λάθη των μαθητών στις εξισώσεις

1.3.1 Σφάλματα στη Λογική της Εξίσωσης

1.3.2 Λάθη στις Μαθηματικές Συμβάσεις και τη Γραφή

1.3.3 Διαδικαστικά και Μεθοδολογικά Λάθη

1.3.4 Λάθη στη Χρήση Εργαλείων

1.4 Επίλυση Βασικών Μορφών Εξισώσεων

1.4.1 Περίπτωση Α: \(\alpha + x = \beta\) (ή \(x + \alpha = \beta\))

1.4.2 Περίπτωση Β: \(x - \alpha = \beta\)

1.4.3 Περίπτωση Γ: \(\alpha - x = \beta\)

1.4.4 Περίπτωση Δ: \(\alpha \cdot x = \beta\)

1.4.5 Περίπτωση Ε: \(x : \alpha = \beta\)

1.4.6 Περίπτωση ΣΤ: \(\alpha : x = \beta\)

1.4.7 Έλεγχος και Επαλήθευση (Παραδείγματα)

1.5 Βήματα και Στρατηγικές Επίλυσης

1.6 Ασκήσεων …. συνέχεια