1 Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς - Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό
1.1 Εκτέλεση Πράξεων με Δεκαδικούς Αριθμούς
1.1.1 Θεωρία - Ορισμοί
- Πρόσθεση και Αφαίρεση: Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Τοποθετούμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία της ίδιας τάξης, συμπληρώνοντας αν χρειάζεται με μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους.
Πιο συγκεκριμένα
Στοίχιση: Τοποθετούμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο έτσι ώστε οι υποδιαστολές να βρίσκονται στην ίδια στήλη.
Τάξεις Ψηφίων: Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία της ίδιας τάξης (μονάδες με μονάδες, δέκατα με δέκατα κ.λπ.).
Συμπλήρωση Μηδενικών: Αν οι αριθμοί έχουν διαφορετικό πλήθος δεκαδικών ψηφίων, προσθέτουμε μηδενικά στο τέλος για να τους εξισώσουμε.
Στοίχιση δεκαδικών
\[\begin{align}
56&,745\\
+ \quad 456&,8092\\
0&,734\\
10005&,00782\\
-------&,---------\\
10.519&,29602
\end{align}\]
\[\begin{align} 56&,74500\\ + \quad 456&,80920\\ 0&,73400\\ 10005&,00782\\ -------&,---------\\ 10.519&,29602 \end{align}\]
- Πολλαπλασιασμός: Εκτελείται όπως ο πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών. Στο αποτέλεσμα τοποθετούμε την υποδιαστολή μετρώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά τόσες θέσεις όσα είναι συνολικά τα δεκαδικά ψηφία και των δύο παραγόντων.
\[\begin{align} 56,745\\ \times \quad 4,5\\ ---------\\ 283725\\ + \quad226980 \phantom{5}\\ ---------\\ 255,3525 \end{align}\]
- Διαίρεση: Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη και τον διαιρετέο με την κατάλληλη δύναμη του 10 (10, 100, 1000…) ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός αριθμός. Η πράξη εκτελείται κανονικά, και όταν εξαντληθεί το ακέραιο μέρος του διαιρετέου, τοποθετούμε υποδιαστολή στο πηλίκο.
Άρα \(56,745:4,5=12,61\)
- Πολλαπλασιασμός/Διαίρεση με δυνάμεις του 10:
Όταν πολλαπλασιάζουμε με 10, 100, 1000… μεταφέρουμε την υποδιαστολή δεξιά τόσες θέσεις όσα τα μηδενικά. Όταν διαιρούμε με 10, 100, 1000… τη μεταφέρουμε αριστερά.
- Ειδικές περιπτώσεις (10, 100, 1000): Στον πολλαπλασιασμό η υποδιαστολή πάει δεξιά, \[46,78 \cdot10=467,8 \ \ \ , \ \ \ \ 23,5\cdot1000=23500\]
στη διαίρεση αριστερά. \[46,78 :10=4,678 \ \ \ , \ \ \ \ 23,5:1000=0,0235\]
- Ειδικές περιπτώσεις (0,1, 0,01, 0,001): Στον πολλαπλασιασμό η υποδιαστολή πάει αριστερά, \[46,78 \cdot0,1=4,678 \ \ \ , \ \ \ \ 23,5\cdot0,001=0,0235\]
στη διαίρεση δεξιά.
\[46,78 :0,1=467,8 \ \ \ , \ \ \ \ 23,5:0,001=23500\]
Ιδιότητες
- Ισχύουν οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών:
Αντιμεταθετική (\(a+\beta=\beta+a\), \(a \cdot \beta=\beta \cdot a\)),
Προσεταιριστική, και το
μηδέν (0) ως ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης/αφαίρεσης.
1.1.2 Παραδείγματα
\(86,907 + 132,76 = 219,667\).
\(54,452 - 15,905 = 38,547\).
\(15,82 \cdot 2,3 = 36,386\) (συνολικά 3 δεκαδικά ψηφία).
\(28,34 \cdot 10 = 283,4\).
\(15,4 + 3,25 = 15,40 + 3,25 = 18,65\).
\(10,8 - 2,456 = 10,800 - 2,456 = 8,344\).
\(48,18 + 3,256 + 7,129 = 58,565\).
\(15,833 - 4,791 = 11,042\).
\(13,902 - 12,5025 = 13,9020 - 12,5025 = 1,3995\).
\(20,0005 - 12,501 = 7,4995\).
\(5,46 + 0,1 = 5,46 + 0,10 = 5,56\).
\(8,75 - 0,215 = 8,750 - 0,215 = 8,535\).
Βρες το \(x\) αν \(x + 4,9 = 15,83\): \(x = 15,83 - 4,9 = 10,93\).
Βρες το \(x\) αν \(53,404 - x = 4,19\) τότε \(x = 53,404 - 4,19 = 49,214\).
\(2,3 \times 5 = 11,5\) (ως \(23 \times 5 = 115\) και μία θέση υποδιαστολής).
\(1,25 \times 4 = 5,00 = 5\).
\(1,25 : 0,5 = 12,5 : 5 = 2,5\).
\(520 \times 0,1 = 52\).
\(0,32 \times 100 = 32\).
\(4,7 : 0,1 = 47\).
\(45 : 10 = 4,5\).
\(49,35 : 7 = 7,05\).
\(3,4 \times 7,3 = 24,82\).
\(0,69 : 4,6 = 6,9 : 46 = 0,15\).
\(12,45 : 1000 = 0,01245\).
1.1.3 Ασκήσεις
\(48,18 + 3,256 + 7,129\),
\(3,59 + 7,13 + 8,195\),
\(32 + 14,085\),
\(18,31 - 7,952\),
\(4 - 3,852\),
\(32,01 - 4,001\),
\(5,2 \cdot 0,4\),
\(2,03 + 0,47\),
\(1,25 \cdot 1,85\),
\(0,69 : 4,6\),
\(14 : 70\),
\(26 : 4\),
\(121 : 200\),
\(72 : 90\),
\(36 : 200\).
\(3,59 + 7,13 + 8,195 = \dots\).
\(543 + 9,876 = \dots\).
\(999 - 0,999 = \dots\).
\(765,432 + 4,44 = \dots\).
\(123,456 - 8,88 = \dots\).
Ένα δοχείο με μέλι ζυγίζει \(1,250\) kg. Αν το άδειο δοχείο ζυγίζει \(0,350\) kg, πόσο είναι το μέλι;.
Ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσω από το \(89,45\) για να βρω \(44,006\);.
Το άθροισμα δύο αριθμών είναι \(1.275,845\). Ο ένας είναι ο \(878,247\). Ποιος είναι ο άλλος;.
Η Μαρία έχει \(163\) € και ο Αλέξανδρος έχει \(0,98\) € περισσότερα. Πόσα έχουν και οι δύο μαζί;.
Ένας ψαράς έπιασε \(8,37\) kg μπαρμπούνια και \(12,45\) kg σαρδέλες. Πόσα κιλά έπιασε συνολικά;.
\(4,91 \times 0,01 + 0,819 \times 10 = \dots\).
Αγόρασε κάποιος 5 χυμούς προς \(2,3\) € τον έναν. Πόσο πλήρωσε;.
Ένας έμπορος αγόρασε \(87\) kg καρπούζια προς \(2,7\) €/kg και τα πούλησε \(3,2\) €/kg. Τι κέρδισε;.
Πόσο κοστίζουν 38 κιβώτια μπισκότα αν το ένα κάνει \(21\) €;.
\(142\) παιδιά καταναλώνουν \(0,250\) λίτρα γάλα το καθένα. Πόσο γάλα θέλουν συνολικά;.
\(0,98 : 0,0001 - 6785 : 1000 = \dots\).
\(579 : 48 = \dots\).
\(314 : 25 = \dots\).
\(520 : 5,14 = \dots\).
Ένας παραγωγός έβγαλε \(70\) kg κρασί και το μοίρασε σε 10 βαρελάκια. Πόσα κιλά έχει το κάθε βαρελάκι;.
1.2 Ιδιότητες Πράξεων σε Αριθμητικές Παραστάσεις
1.2.1 Θεωρία - Ορισμοί
Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται με σύμβολα πράξεων.
Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς.
Επιμεριστική ιδιότητα: \(a \cdot (\beta + \gamma) = a \cdot \beta + a \cdot \gamma\) και \(a \cdot (\beta - \gamma) = a \cdot \beta - a \cdot \gamma\).
Ιδιότητες
- Κοινός Παράγοντας: Η αντίστροφη πορεία της επιμεριστικής (\(a \cdot \beta + a \cdot \gamma = a \cdot (\beta + \gamma)\)) επιτρέπει τον υπολογισμό παραστάσεων με λιγότερες πράξεις.
1.2.2 Παραδείγματα
\(89 \cdot 7 + 89 \cdot 3 = 89 \cdot (7 + 3) = 89 \cdot 10 = 890\).
\(23 \cdot 49 + 77 \cdot 49 = (23 + 77) \cdot 49 = 100 \cdot 49 = 4.900\).
\(76 \cdot 13 - 76 \cdot 3 = 76 \cdot (13 - 3) = 76 \cdot 10 = 760\).
\(284 \cdot 99 = 284 \cdot (100 - 1) = 28.400 - 284 = 28.116\).
1.2.3 Ασκήσεις
\(12 \cdot 147 + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 150\),
\(24 \cdot 16 + 24 \cdot 18 - 24 \cdot 32\),
\(520 \cdot 0,1 + 0,32 \cdot 100\),
\(4,91 : 0,01 + 0,819 \cdot 10\),
\(4,7 : 0,1 - 45 : 10\),
\(0,98 : 0,0001 - 6,785 : 1000\),
\(41900 \cdot 0,0001 - 0,0419 \cdot 1000\),
\(56,89 \cdot 0,01 + 4311 : 10000\),
\(3 \cdot 13\),
\(7 \cdot 11\),
\(45 \cdot 12\),
\(12 \cdot 101\),
1.3 Δυνάμεις με Βάση Δεκαδικό Αριθμό
1.3.1 Θεωρία - Ορισμοί
- Ορισμός: Η δύναμη \(a^ν\) είναι το γινόμενο \(ν\) παραγόντων ίσων με \(a\).
\[α^ν=\underset{\text{ν φορές}}{\underbrace{\alpha\cdot a\cdot a \cdots a}}\]
Δεκαδικά Ψηφία Αποτελέσματος: Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων στο αποτέλεσμα ισούται με το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της βάσης επί τον εκθέτη της δύναμης.
Ειδικές περιπτώσεις: \(a^1 = a\) και \(a^0 = 1\) (για \(a \neq 0\)).
Ιδιότητες
- Οι δυνάμεις των δεκαδικών έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τις δυνάμεις των φυσικών αριθμών (π.χ. \(a^\mu \cdot a^v = a^{\mu+v}\)).
1.3.2 Παραδείγματα
\((2,5)^2 = 2,5 \cdot 2,5 = 6,25\) (\(1 \times 2 = 2\) δεκαδικά ψηφία).
\((1,5)^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 3,375\) (\(1 \times 3 = 3\) δεκαδικά ψηφία).
\((0,15)^2 = 0,0225\) (\(2 \times 2 = 4\) δεκαδικά ψηφία).
\((0,5)^4 = 0,0625\) (\(1 \times 4 = 4\) δεκαδικά ψηφία).
\((0,2)^2 = 0,04\).
1.3.3 Ασκήσεις
\(3,1^2\),
\(7,01^2\),
\(4,5^2\),
\(0,5^2\),
\(0,3^3\),
\(1,25^2\),
\(0,115^2\),
\(0,15^3\),
\(0,15^4\),
\(2,3^1\),
\(3,2^{4}\) (ως εφαρμογή ορισμού βάσης),
\(4,1^{25}\) (Πόσα δεκαδικά ψηφία ’εχει;),
\(5,7^{5}\), (Πόσα δεκαδικά ψηφία ’εχει;)
\(1,25^4\), (Πόσα δεκαδικά ψηφία ’εχει;)
\(0,1^5\). (Πόσα δεκαδικά ψηφία ’εχει;)
1.4 Προτεραιότητα Πράξεων σε Αριθμητικές Παραστάσεις
1.4.1 Θεωρία - Ορισμοί
Σε παραστάσεις με πολλές πράξεις, ακολουθούμε την εξής σειρά:
- Δυνάμεις.
- Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις.
- Προσθέσεις και Αφαιρέσεις.
Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα σε αυτές (ξεκινώντας από τις εσωτερικές) με την παραπάνω σειρά προτεραιότητας.
1.4.2 Παραδείγματα
\(4 \cdot (7 + 7 \cdot 9) + 20 = 4 \cdot (7 + 63) + 20 = 4 \cdot 70 + 20 = 280 + 20 = 300\).
\((2 \cdot 5)^4 + 4 \cdot (3 + 2)^2 = 10^4 + 4 \cdot 5^2 = 10.000 + 4 \cdot 25 = 10.000 + 100 = 10.100\).
\((2 + 3)^3 - 8 \cdot 3^2 = 5^3 - 8 \cdot 9 = 125 - 72 = 53\).
\((1,5 : 3 + 0,4 \cdot 7) \cdot 5 = (0,5 + 2,8) \cdot 5 = 3,3 \cdot 5 = 16,5\).
\(31,2 : (0,9 \cdot 2 + 3,3 : 1,1) = 31,2 : (1,8 + 3) = 31,2 : 4,8 = 6,5\).
\(0,3^2 = 0,3 \times 0,3 = 0,09\).
\(0,5^2 = 0,25\).
\(0,2^2 = 0,04\).
\(0,3^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027\).
\(3,1^2 = 9,61\).
\(1,5 : 3 + 0,4 \times 7 = 0,5 + 2,8 = 3,3\).
\(0,9 \times 2 + 3,3 : 1,1 = 1,8 + 3 = 4,8\).
\(4 \times (7 + 7 \times 9) + 20 = 4 \times (7 + 63) + 20 = 4 \times 70 + 20 = 300\).
\((2 \times 5)^4 + 4 \times (3 + 2)^2 = 10^4 + 4 \times 5^2 = 10.000 + 4 \times 25 = 10.100\).
\((2 + 3)^3 - 8 \times 3^2 = 5^3 - 8 \times 9 = 125 - 72 = 53\).
- Κάντε τις πράξεις
Σε κάθε βήμα μπορούν να γίνουν οι πράξεις που είναι σημειωμένες με χρώμα.
Λύση
\[\begin{align} (5,24 - {\color{red} {2 \times 1,82}})^3 +({\color{green}{0,7^3}}+2\times\color{blue}{4,6^2})\times\color{brown}{2,6^2} =& \\ =({\color{blue}{5,24-3,64}})^3+(\color{brown}{0,343+2+21,16})\times6,76 =& \\= \color{green}{1,60^3}+\color{brown}{23,503\times6,67} = &\\= \color{red}{4,096+156,76501}=&\\=160,86101 \end{align}\]
Ασκήσεις
\(24 \cdot 5 - 2 + 3 \cdot 5\),
\(3 \cdot 11 - 2 + 54,1 : 2\),
\((3,2 + 7,2 \cdot 2 + 24 \cdot 0,1) : 100\),
\(3 \cdot 5^2\),
\(3 \cdot 5^2 + 2\),
\(3 \cdot 5^2 + 2^2\),
\(3 \cdot 5 + 2^2\),
\(3 \cdot (5 + 2)^2\),
\(3^2 + 3^3 + 2^3 + 2^4\),
\((13 - 2)^4 + 5 \cdot 3^2\),
\((6+5)^2\),
\(12,5^2 \cdot 0,1 + 4,02 \cdot 10 - 1,01 : 0,1 + 0,9^2\),
\((14,4 : 0,5 + 7,12 \cdot 10)^2 : (10,56 : 2,2 + 5,25 : 1,25)^2\),
\((7,28 : 5,2 - 0,4) \cdot 5,8 + 4,2\),
\(1,44 + 1,63 \cdot 2,2\) (με στρογγυλοποίηση στο εκατοστό).
\(7,01^2 = \dots\).
\(4,5^2 = \dots\).
\(24 \times 5 - 2 + 3 \times 5 = \dots\).
\(3 \times 11 - 2 + 54,1 : 2 = \dots\).
\((3,2 + 7,2 \times 2 + 24 \times 0,1) : 100 = \dots\).
\(10^6 = \dots\) (πόσα μηδενικά;).
\((2,4 + 7,1) : 5 = \dots\).
\(7,28 : 5,2 - 0,4 = \dots\).
\(2,03 + 0,47 \times 3,2 = \dots\).
\(1,5 : 3 + 0,4 \times 7 \times 5 - 31,2 : (0,9 \times 2 + 3,3 : 1,1) = \dots\).
\((5,2^2-3,56+(7-2,4\times0,8^2)-(6,2-2,1^2)+1)=\)
\(452,56:3,4+\dfrac{4,8^2}{2,2}-(\dfrac{32}{5,2^2}+3\times0,8^2)=\)
Ας δούμε τρία χαρακτηριστικά προβλήματα από την αγορά:
1. Ψώνια στο Σούπερ Μάρκετ
Ο Γιώργος αγόρασε 5 χυμούς που κόστιζαν 2,3€ ο καθένας και 4 σοκολάτες με 1,25€ τη μία. Πλήρωσε με ένα χαρτονόμισμα των 30€. Πόσα ρέστα πήρε;
Λύση
Κόστος χυμών: \(5\cdot2,3=11,5 \text{ €}\)
Κόστος σοκολατών: \(4\times1,25=5\text{ €}\)
Συνολικό ποσό: \(11,5+5=16,5 \text{ €}\)
Ρέστα: \(30-16,5=13,5\text{ €}\)
2. Υπολογισμός Φ.Π.Α.
Ένα πουλόβερ έχει αξία 150€ (χωρίς τον φόρο). Αν η επιβάρυνση Φ.Π.Α. είναι 19%, ποια θα είναι η τελική τιμή πώλησης;
Λύση
Ποσό Φ.Π.Α.:
Η αξία επί το ποσοστό: \(150 \times 19\% = 150 \times 0,19 = 28,5\text{ €}\).
Τελική τιμή:
Αξία + Φ.Π.Α.: \(150 + 28,5 = 178,5\text{ €}\).
3. Αγορά με Εκπτώσεις
Σε περίοδο εκπτώσεων, ένα κατάστημα κάνει έκπτωση 35% στα ρούχα και 15% στα παπούτσια. Πόσο θα πληρώσουμε για ένα πουκάμισο των 58€ και ένα ζευγάρι παπούτσια των 170€;
Λύση
Τιμή πουκάμισου:
Ποσό έκπτωσης \(58 \times 0,35 = 20,3\text{ €}\). Άρα τελική τιμή \(58 - 20,3 = 37,7\text{ €}\).
Τιμή παπουτσιών:
Ποσό έκπτωσης \(170 \times 0,15 = 25,5\text{ €}\). Άρα τελική τιμή \(170 - 25,5 = 144,5\text{ €}\).
Συνολικό κόστος:
\(37,7 + 144,5 = 182,2\text{ €}\).
1.5 Ασκήσεων …. συνέχεια
1. Προβλήματα Καθημερινής Ζωής και Αγορών
Υπολογισμός Κόστους: Αν για την αγορά \(8,75\) μέτρων υφάσματος πληρώσαμε \(143,75 \text{ €}\) , πόσα επιπλέον χρήματα θα χρειαστούν για να αγοράσουμε άλλα \(2,45\) μέτρα με την ίδια τιμή;
Κατανάλωση Ρεύματος: Ένα εργαστήριο κατανάλωσε \(3,750\) κιλοβατώρες (kWh). Αν η τιμή της κιλοβατώρας είναι \(0,014 \text{ €}\) , ποια είναι η συνολική δαπάνη;
Εμπορικές Συναλλαγές: Ένας έμπορος αγοράζει \(3,80\) μέτρα υφάσματος προς \(278,80 \text{ €}\) και το μεταπουλά προς \(381,50 \text{ €}\) . Πόσο κοστίζουν τα \(7\) μέτρα; Πόσο κέρδος έχει ανά μέτρο;
2. Γεωμετρικά Προβλήματα (Περίμετρος)
Περίμετρος Οικοπέδων: Υπολογίστε το συνολικό μήκος της περίφραξης για οικόπεδα με πλευρές όπως \(80,19\) m, \(26,14\) m, \(39,93\) m, κ.λπ..
Εύρεση Πλευράς: Αν η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι \(20,2\) m, πόσο είναι το μήκος της κάθε πλευράς του;.
3. Προβλήματα Μάζας και Μειγμάτων
Σύνθεση Κράματος: Ένα μεταλλικό κράμα βάρους \(25,5\) kg αποτελείται κατά \(\dfrac{4}{10}\) από χαλκό, κατά \(\dfrac{34}{100}\) από κασσίτερο και το υπόλοιπο από μόλυβδο. Βρείτε το βάρος του κάθε μετάλλου στο κράμα.
Ζύγισμα με Σταθμά: Διαθέτουμε σταθμά των \(50\) g, \(500\) g και \(1\) kg. Πώς θα ζυγίσουμε ένα σώμα που ζυγίζει \(2,45\) kg;.
4. Προβλήματα Χωρητικότητας και Μετρήσεων
Διανομή Υγρών: Πόσα ποτήρια χωρητικότητας \(0,3\) λίτρων μπορούμε να γεμίσουμε από ένα μπουκάλι νερό που περιέχει \(1,5\) λίτρο;.
Δεξαμενές: Μια δεξαμενή περιέχει \(768\) λίτρα πετρελαίου. Αν μια αντλία αφαιρεί \(8\) λίτρα το λεπτό, σε πόση ώρα θα αδειάσει η δεξαμενή;.
5. Προβλήματα Κίνησης και Φυσικής
Κατανάλωση Καυσίμων: Ένα αυτοκίνητο καταναλώνει \(4\) γαλόνια βενζίνης για να διανύσει \(350\) km. Πόση βενζίνη θα χρειαστεί για μια διαδρομή \(210\) km και ποιο θα είναι το κόστος αν το γαλόνι κοστίζει \(7,5 \text{ €}\) ;
Ταχύτητα: Αν ένας ποδηλάτης διανύει μια απόσταση σε \(1\) ώρα και \(15\) λεπτά (\(75\) λεπτά) και ένας δεύτερος σε \(1\) ώρα και \(45\) λεπτά (\(105\) λεπτά), βρείτε τον λόγο των ταχυτήτων τους.
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!