11. Διαίρεση κλασμάτων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Διαίρεση κλασμάτων

1.1 Διαίρεση Κλασμάτων

1.1.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Κανόνας Διαίρεσης: Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα (διαιρετέο) με τον αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος (διαιρέτη).

    • Σύμβολα: \[\frac{\alpha}{\beta} : \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\delta}{\gamma} = \frac{\alpha \cdot \delta}{\beta \cdot \gamma}\].

  • Αντίστροφοι Αριθμοί: Δύο αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα (1). Για παράδειγμα, ο αντίστροφος του κλάσματος \(\dfrac{\gamma}{\delta}\) είναι το \(\dfrac{\delta}{\gamma}\).

  • Φυσικοί Αριθμοί: Κάθε φυσικός αριθμός \(\alpha\) μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα (\(\dfrac{\alpha}{1}\)). Έτσι, η διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό ακολουθεί τον ίδιο κανόνα: \(\dfrac{\alpha}{\beta} : \gamma = \dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{\alpha}{\beta \cdot \gamma}\).

  • Σύνθετα Κλάσματα: Ένα κλάσμα ονομάζεται σύνθετο όταν τουλάχιστον ένας από τους όρους του (αριθμητής ή παρονομαστής) είναι κλάσμα. Για να το μετατρέψουμε σε απλό, πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους (αριθμητής του πάνω και παρονομαστής του κάτω) για να βρούμε τον νέο αριθμητή, και τους μέσους όρους για να βρούμε τον νέο παρονομαστή.

    • Σύμβολα: \[\frac{\frac{\alpha}{\beta}}{\frac{\gamma}{\delta}} = \frac{\alpha \cdot \delta}{\beta \cdot \gamma}\].

Ιδιότητες

  1. Η διαίρεση δεν είναι αντιμεταθετική πράξη (\(\alpha : \beta \neq \beta : \alpha\)).

  2. Η διαίρεση δεν είναι προσεταιριστική (\(\alpha : (\beta : \gamma) \neq (\alpha : \beta) : \gamma\)).

  3. Προτεραιότητα Πράξεων: Σε αριθμητικές παραστάσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις (από τις εσωτερικές προς τις εξωτερικές), μετά τις δυνάμεις, έπειτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και, τέλος, τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

  4. Η διαίρεση με το μηδέν (0) δεν ορίζεται.

1.1.2 Παραδείγματα

  1. Διαίρεση κλασμάτων: \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{1} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\).

  2. Διαίρεση φυσικού με κλάσμα: \(2 : \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{1} = 6\).

  3. Διαίρεση με μεικτούς αριθμούς: \(1 \dfrac{1}{5} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{5} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{18}{10} = \dfrac{9}{5}\).

  4. Απλοποίηση σύνθετου κλάσματος: \(\dfrac{\frac{2}{3}}{\dfrac{10}{9}} = \dfrac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\).

  5. Σύνθετη παράσταση: \(\dfrac{3 + \dfrac{1}{2}}{4 - \dfrac{2}{3}} = \dfrac{\frac{7}{2}}{\dfrac{10}{3}} = \dfrac{7 \cdot 3}{2 \cdot 10} = \dfrac{21}{20}\).

1.1.3 Ασκήσεις

Απλές Διαιρέσεις

  1. \(\dfrac{7}{3} : \dfrac{21}{27}\)

  2. \(\dfrac{10}{100} : \dfrac{1}{5}\)

  3. \(4 \dfrac{1}{10} : 3 \dfrac{1}{3}\)

Σύνθετα Κλάσματα

  1. \(\dfrac{15}{\dfrac{3}{4}}\)

  2. \(\dfrac{\dfrac{20}{5}}{4}\)

  3. \(\dfrac{\dfrac{3}{8}}{\dfrac{4}{5}}\)

Παραστάσεις με Παρενθέσεις και Όλες τις Πράξεις

  1. \(\left(\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{4}\)

  2. \(\dfrac{1}{8} : \left(\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{2}\right)\)

  3. \(\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{5}\right) : \dfrac{1}{2}\)

  4. \(\left(\dfrac{7}{3} - \dfrac{5}{8}\right) : \dfrac{3}{2}\)

  5. \(\left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{1}{8} : \dfrac{3}{4}\right)\)

  6. \(\left[\left(\dfrac{2}{3} \cdot 3\right) - \dfrac{1}{2}\right] : \dfrac{5}{4}\)

Σύνθετες Παραστάσεις με Πολλαπλές Παρενθέσεις (έως 3 και εσωτερικές)

  1. \(\dfrac{3}{4} : \left\{ \left[ \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right) : \dfrac{3}{4} \right] \cdot \dfrac{1}{2} \right\}\)

  2. \(\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \right) : \left\{ \dfrac{2}{3} \cdot \left[ \left( \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{10} \right) : \dfrac{7}{2} \right] \right\}\)

  3. \(\dfrac{ \left( \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4} \right) : \dfrac{5}{5} }{ \left[ 4 \cdot \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \right) \right] - \dfrac{1}{3} }\)

1.2 Ασκήσεων …. συνέχεια

Λυμένες Ασκήσεις

  1. Διαιρέστε \(\dfrac{2}{5} : \dfrac{3}{8}\).

Λύση: \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{(2 \cdot 8)}{ (5 \cdot 3)} = \dfrac{16}{15}\).

  1. Βρείτε τον αντίστροφο του \(\dfrac{2}{3}\).

Λύση: Είναι το \(\dfrac{3}{2}\), γιατί \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{6} = 1\).

  1. Διαιρέστε \(\dfrac{4}{7} : \dfrac{3}{8}\).

Λύση: \(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{32}{21}\).

  1. Λύστε το σύνθετο κλάσμα \(\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{5}{4}}\).

Λύση: Άκροι (7, 4) \(\rightarrow 7 \cdot 4 = 28\). Μέσοι (3, 5) \(\rightarrow 3 \cdot 5 = 15\). Αποτέλεσμα \(\dfrac{28}{15}\).

  1. Αν τα \(\dfrac{2}{5}\) ενός αριθμού είναι το 100, ποιος είναι ο αριθμός;

Λύση: Κάνουμε διαίρεση \(100 : \dfrac{2}{5} = 100 \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{500}{2} = 250\).


Άλυτες Ασκήσεις

  1. Βρείτε τους αντίστροφους των: \(\dfrac{12}{13}, 5, \dfrac{1}{9}\).

  2. Κάντε τη διαίρεση: \(\dfrac{1}{3} : \dfrac{2}{5}\).

  3. Διαιρέστε έναν φυσικό αριθμό με κλάσμα: \(3 : \dfrac{1}{14}\).

  4. Λύστε την εξίσωση \(6x = 1\) βελτιώνοντας τη γνώση σας για τους αντίστροφους.

  5. Μετατρέψτε το σύνθετο κλάσμα σε απλό: \(\dfrac{\dfrac{3}{2}} {\dfrac{5}{8}}\).

  6. Ένας παππούς έχει 32 κιλά κρασί και μπουκάλια των \(\dfrac{2}{5}\) του κιλού. Πόσα μπουκάλια θα γεμίσει;

(\(32 : \dfrac{2}{5}\))

  1. Αν τα \(\dfrac{3}{4}\) των μαθητών είναι 270, πόσους μαθητές έχει το σχολείο συνολικά;

(\(270 : \dfrac{3}{4}\))

  1. Ποιος αριθμός έχει αντίστροφο τον εαυτό του;

  2. Κάντε τις πράξεις: \(\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2} - \dfrac{5}{6}\right) : \left(3 - \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{4}\right)\).

  3. Μια δεξαμενή είναι γεμάτη κατά τα \(\dfrac{5}{8}\) και περιέχει 1250 λίτρα. Πόσα λίτρα χωράει συνολικά;

  4. Υπολογίστε την παράσταση (2 Παρενθέσεις) \[\left(\frac{4}{5} : 2\right) + \left(3 \times \frac{1}{6}\right)\]

…………………………………

………………………………..

Τελική Απάντηση \(\dfrac{9}{10}\)

  1. Να κάνετε τις πράξεις (3 Παρενθέσεις & Εσωτερική)

\[\left[ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) : \frac{3}{8} \right] - \left( 1 : \frac{2}{1} \right)\]

Λύση

Βήμα 1: Εσωτερική παρένθεση αγκύλης \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = .............................\).

Βήμα 2: Διαίρεση εντός αγκύλης \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{8} = .................................... = 2\).

Βήμα 3: Δεύτερη παρένθεση και τελική αφαίρεση \(................................ = \dfrac{3}{2}\).

Τελική Απάντηση \(\dfrac{3}{2}\) ή \(1 \dfrac{1}{2}\)

  1. Κάντε τις πράξεις (4 Παρενθέσεις & Εσωτερικές)

\[\left\{ \left[ \left( 5 - 3 \right) \times \frac{1}{4} \right] : \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) \right\} + \frac{3}{4}\]

Λύση

Βήμα 1: Εσωτερική παρένθεση αφαίρεσης

\(................= 2\).

Βήμα 2: Πράξεις εντός αγκύλης

\(2 \times \dfrac{1}{4} = ................= \dfrac{1}{2}\).

Βήμα 3: Δεύτερη εσωτερική παρένθεση και διαίρεση

\(\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) = 1\).

Άρα μέσα στο άγκιστρο έχουμε: \(\dfrac{1}{2} : 1 = \dfrac{1}{2}\).

Βήμα 4: Τελική πρόσθεση \(................................. = \dfrac{5}{4}\).

Τελική Απάντηση \(\dfrac{5}{4}\) ή \(1 \dfrac{1}{4}\)

  1. Να κάνετε τις πράξεις (Σύνθετη με Διαίρεση Φυσικού)

\[10 : \left\{ \left[ \left( \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} \right) + \frac{1}{5} \right] \times \left( 2 - \frac{1}{2} \right) \right\}\]

Λύση

Βήμα 1: Εσωτερικός πολλαπλασιασμός αγκύλης \(.................................. = \dfrac{4}{5}\).

Βήμα 2: Ολοκλήρωση αγκύλης

\(\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = ................= 1\).

Βήμα 3: Δεύτερη παρένθεση και άγκιστρο \(............................ = \dfrac{3}{2}\).

Άγκιστρο: \(1 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}\).

Βήμα 4: Τελική διαίρεση φυσικού \(10 : \dfrac{3}{2} = .................. = \dfrac{20}{3}\).

Τελική Απάντηση \(\dfrac{20}{3}\) ή \(6 \dfrac{2}{3}\)

  1. Υπολογίστε την παράσταση (4 Παρενθέσεις με πολλαπλάσια)

\[\left[ \left( \frac{3}{4} : \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \right) \right] : \left[ \left( 1 + 1 \right) : \frac{1}{2} \right]\]

Λύση

Βήμα 1: Πρώτη αγκύλη (εσωτερικές)

\(\left(\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}\right) = .......................... = \dfrac{3}{2}\).

\(\left(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}\right) = ....................= \dfrac{1}{4}\).

Αφαίρεση: \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\).

Βήμα 2: Δεύτερη αγκύλη (εσωτερικές)

\((1 + 1) = 2\).

\(2 : \dfrac{1}{2} = 2 \times 2 = 4\).

Βήμα 3: Τελική διαίρεση \(\dfrac{5}{4} : 4 = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{16}\).

Τελική Απάντηση

\(\dfrac{5}{16}\)

  1. Να υπολογίσετε την παράσταση (Η πιο σύνθετη)

\[\left\{ 2 + \left[ \left( \frac{1}{5} : \frac{1}{10} \right) - \left( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \right) \right] \right\} : \left( 1 - \frac{1}{3} \right)\]

Λύση

Βήμα 1: Εσωτερικές πράξεις αγκύλης

\(\left(\dfrac{1}{5} : \dfrac{1}{10}\right) = ................... = 2\).

\(\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\right) = .................. = \dfrac{2}{3}\).

Βήμα 2: Επίλυση αγκύλης και αγκίστρου

Αγκύλη: \(2 - \dfrac{2}{3} = ........................... = \dfrac{4}{3}\).

Άγκιστρο: \(2 + \dfrac{4}{3} = ......................... = \frac{10}{3}\).

Βήμα 3: Τελευταία παρένθεση και τελική διαίρεση

\(\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3}\).

Τελική πράξη: \(\dfrac{10}{3} : \dfrac{2}{3} = ................................ = 5\).

Τελική Απάντηση

\(5\)


1.3 Για την επίλυση ενός σύνθετου κλάσματος

(δηλαδή ενός κλάσματος που έχει ως όρους του ένα ή περισσότερα άλλα κλάσματα), προτείνουμε δύο βασικές μεθόδους, αφού πρώτα βεβαιωθούμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν πάρει την τελική τους κλασματική μορφή.

Συμβουλή

Βασικό Προπαρασκευαστικό Βήμα

Αν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής της κλασματικής παράστασης περιέχουν πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση κ.λπ.), πρέπει αρχικά να εκτελέσουμε αυτές τις πράξεις ξεχωριστά, ώστε να καταλήξουμε σε ένα απλό κλάσμα πάνω και ένα απλό κλάσμα κάτω.

1.3.1 Μέθοδος 1: Ο Κανόνας των Άκρων και Μέσων Όρων

Αυτή θεωρείται η ταχύτερη μέθοδος για τη μετατροπή ενός σύνθετου κλάσματος σε απλό. Τα βήματα είναι τα εξής:

  1. Πολλαπλασιάζουμε τους “άκρους” όρους (τον πάνω-πάνω αριθμητή με τον κάτω-κάτω παρονομαστή).

  2. Το γινόμενο αυτό το τοποθετούμε στη θέση του αριθμητή του νέου κλάσματος.

  3. Πολλαπλασιάζουμε τους “μέσους” όρους (τους δύο εσωτερικούς όρους).

  4. Το γινόμενο αυτό το τοποθετούμε στη θέση του παρονομαστή του νέου κλάσματος.

  5. Μαθηματικός τύπος: \(\dfrac{\dfrac{\alpha}{\beta}}{\dfrac{\gamma}{\delta}} = \dfrac{\alpha \cdot \delta}{\beta \cdot \gamma}\).

1.3.2 Μέθοδος 2: Μετατροπή σε Διαίρεση

Επειδή η κλασματική γραμμή συμβολίζει την πράξη της διαίρεσης, μπορούμε να λύσουμε το σύνθετο κλάσμα ως εξής:

  1. Μετατρέπουμε την κύρια κλασματική γραμμή σε σύμβολο διαίρεσης (:).

  2. Γράφουμε το κλάσμα του αριθμητή ως διαιρετέο και το κλάσμα του παρονομαστή ως διαιρέτη.

  3. Εκτελούμε τη διαίρεση πολλαπλασιάζοντας το πρώτο κλάσμα με τον αντίστροφο του δεύτερου.

1.4 Σημαντικές Παρατηρήσεις

  • Απλοποίηση: Αφού βρούμε το τελικό αποτέλεσμα, ελέγχουμε αν το κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί ώστε να γίνει ανάγωγο.

  • Περιορισμοί: Όπως σε κάθε κλάσμα, ο παρονομαστής (ή οι παρονομαστές των επιμέρους κλασμάτων) δεν επιτρέπεται ποτέ να είναι μηδέν.

  • Προτεραιότητα Πράξεων: Εάν το σύνθετο κλάσμα αποτελεί μέρος μιας ευρύτερης αριθμητικής παράστασης, πρέπει να τηρείται η αυστηρή σειρά των πράξεων (παρενθέσεις, δυνάμεις, πολλαπλασιασμοί/διαιρέσεις, προσθέσεις/αφαιρέσεις).

1.5 Η επίλυση προβλημάτων με βρύσες (ή κρουνούς)

που γεμίζουν και αδειάζουν ταυτόχρονα μια δεξαμενή βασίζεται στη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα και στη χρήση κλασματικών εξισώσεων.

Συμβουλή

Τα βασικά βήματα και η λογική επίλυσης έχουν ως εξής:

  • Κατανόηση του Ρυθμού Πλήρωσης/Εκροής: Αν μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε \(t\) ώρες, τότε σε 1 ώρα έχει γεμίσει το \(\dfrac{1}{t}\) μέρος της δεξαμενής.

    Αυτό το κλάσμα αντιπροσωπεύει την «απόδοση» ή τον ρυθμό παραγωγής έργου ανά μονάδα χρόνου.

  • Πρόσθεση και Αφαίρεση Αποδόσεων: Όταν περισσότερες από μία βρύσες λειτουργούν ταυτόχρονα, οι αποδόσεις τους συνδυάζονται.

    • Οι βρύσες που γεμίζουν τη δεξαμενή έχουν θετική απόδοση (πρόσθεση).

    • Οι σωλήνες ή βρύσες που αδειάζουν τη δεξαμενή έχουν αρνητική απόδοση (αφαίρεση).

  • Η Γενική Εξίσωση: Αν \(t_1\) και \(t_2\) είναι οι χρόνοι των βρυσών που γεμίζουν τη δεξαμενή, \(t_3\) ο χρόνος της βρύσης που την αδειάζει και \(x\) ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για να γεμίσει η δεξαμενή όταν λειτουργούν όλες μαζί, η εξίσωση έχει τη μορφή:

\(\mathbf{\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t2} - \dfrac{1}{t_3} = \dfrac{1}{x}}\).

Παράδειγμα Εφαρμογής: Αν μια βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 12 ώρες (\(\dfrac{1}{12}\)), μια δεύτερη σε 15 ώρες (\(\dfrac{1}{15}\)) και μια τρίτη την αδειάζει σε 5 ώρες (\(\dfrac{1}{5}\)), τότε σε μία ώρα η δεξαμενή θα περιέχει το \(\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{5}\) του συνολικού νερού.


Σημαντικές Παρατηρήσεις:

  1. Αδύνατη Πλήρωση: Αν μετά τις πράξεις το αποτέλεσμα για το \(x\) είναι αρνητικός αριθμός, αυτό σημαίνει ότι η δεξαμενή δεν θα γεμίσει ποτέ, καθώς ο ρυθμός εκροής είναι μεγαλύτερος από τον ρυθμό πλήρωσης.

  2. Μετατροπή Μονάδων: Επειδή ο χρόνος συχνά προκύπτει ως καταχρηστικό κλάσμα (π.χ. \(\frac{4}{3}\) της ώρας), πολλαπλασιάζουμε με το 60 για να βρούμε τα ακριβή λεπτά (π.χ. \(\frac{4}{3} \cdot 60 = 80\) λεπτά).

  3. Συγκεκριμένη Χωρητικότητα: Αν το πρόβλημα δίνει τη χωρητικότητα της δεξαμενής σε λίτρα, μπορούμε να υπολογίσουμε πόσα λίτρα προστίθενται ή αφαιρούνται ανά δευτερόλεπτο ή λεπτό για να βρούμε τον τελικό ρυθμό πλήρωσης.

ΣημείωσηΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!