07. Ισοδύναμα κλάσματα

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Ισοδύναμα κλάσματα

1.1 Έννοια των ισοδύναμων κλασμάτων

1.1.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμός: Δύο κλάσματα \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) και \(\dfrac{\gamma}{\delta}\) ονομάζονται ισοδύναμα ή ίσα, όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών.

  • Θεμελιώδης αρχή: Αν και οι δύο όροι ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό (διάφορο του μηδενός), προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό.

\[\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{κ\cdot α}{κ\cdot β}\] και

\[\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{ α : λ}{ β : λ}\]

Ιδιότητες

  • Κάθε κλάσμα αποτελεί μέλος μιας κλάσης ισοδυναμίας, η οποία περιέχει άπειρα κλάσματα που εκφράζουν την ίδια τιμή.

\[\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{2\cdot α}{2\cdot β}= \dfrac{3\cdot α}{3\cdot β}= \dfrac{4\cdot α}{4\cdot β}= \dfrac{5\cdot α}{5\cdot β}= \dfrac{6\cdot α}{6\cdot β}= \dfrac{7\cdot α}{7\cdot β} = \cdots\]

  • Ισχύουν οι ιδιότητες της ισότητας:

ανακλαστική (\(\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\alpha}{\beta}\)),

συμμετρική (αν \(\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\gamma}{\delta}\) τότε \(\dfrac{\gamma}{\delta} = \dfrac{\alpha}{\beta}\)) και

μεταβατική.

\[ Άν \ \ \ \begin{cases} \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\gamma}{\delta}\\ \dfrac{γ}{δ} = \dfrac{ζ}{η} \end{cases} \Rightarrow \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{ζ}{η} \]

1.1.2 Παραδείγματα

  1. \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{4}{12}\).

  2. \(\dfrac{8}{4} = \dfrac{4}{2}\) (διαίρεση με το 2) Απλοποίηση.

  3. \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}\) (πολλαπλασιασμός με το 5).

  4. \(\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\) (διαίρεση με το 5). Απλοποίηση

  5. \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{100}\) (πολλαπλασιασμός με το 20).

1.1.3 Ασκήσεις

  1. Βρείτε ένα ισοδύναμο κλάσμα του \(\dfrac{3}{5}\) με παρονομαστή 100.

  2. Εξετάστε αν τα κλάσματα \(\dfrac{2}{3}\) και \(\dfrac{18}{27}\) είναι ισοδύναμα.

  3. Μετατρέψτε το \(\dfrac{2}{3}\) σε ισοδύναμο με παρονομαστή 6.

  4. Μετατρέψτε το \(\dfrac{2}{3}\) σε ισοδύναμο με παρονομαστή 15.

  5. Συμπληρώστε το κενό: \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{22}{\dots}\).

  6. Συμπληρώστε το κενό: \(\dfrac{\dots}{5} = \dfrac{9}{15}\).

  7. Συμπληρώστε το κενό: \(\dfrac{14}{4} = \dfrac{\dots}{20}\).

  8. Συμπληρώστε το κενό: \(\dfrac{48}{36} = \dfrac{\dots}{24}\).

  9. Γράψτε το \(\dfrac{3}{4}\) ως ισοδύναμο με παρονομαστή 100.

  10. Γράψτε το \(\dfrac{8}{5}\) ως ισοδύναμο με παρονομαστή 100.

  11. Γράψτε το \(\dfrac{5}{2}\) ως ισοδύναμο με παρονομαστή 100.

  12. Βρείτε το σύνολο των κλασμάτων ισοδυνάμων με το \(\dfrac{2}{3}\) που έχουν αριθμητή \(21 \leq \alpha \leq 55\).

1.2 Απλοποίηση κλασμάτων

1.2.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμός: Απλοποίηση είναι η διαδικασία κατά την οποία διαιρούμε και τους δύο όρους ενός κλάσματος με έναν κοινό διαιρέτη τους.

\[\dfrac{18}{30}=\dfrac{18:2}{30:2}=\dfrac{9}{15}= \dfrac{9:3}{15:3}=\dfrac{3}{5} \ \ \ \textbf{ Ανάγωγο}\]

  • Ανάγωγο κλάσμα: Το κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο, επειδή ο αριθμητής και ο παρονομαστής του είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους (\(ΜΚΔ=1\)).

Ιδιότητες

  • Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα απευθείας στο ισοδύναμο ανάγωγό του, διαιρούμε τους όρους του με τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (ΜΚΔ) τους.

  • Αν ένας από τους όρους είναι 1, το κλάσμα είναι πάντα ανάγωγο.

1.2.2 Παραδείγματα

  1. \(\dfrac{24}{36} = \dfrac{24:12}{36:12} = \dfrac{2}{3}\) (το \(\dfrac{2}{3}\) είναι ανάγωγο).

  2. \(\dfrac{18}{48} = \dfrac{18:6}{48:6} = \dfrac{3}{8}\).

  3. \(\dfrac{30}{66} = \dfrac{30:6}{66:6} = \dfrac{5}{11}\).

  4. \(\dfrac{25}{30} = \dfrac{25:5}{30:5} = \dfrac{5}{6}\).

  5. \(\dfrac{12}{9} = \dfrac{12:3}{9:3} = \dfrac{4}{3}\).

1.2.3 Ασκήσεις

  1. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{14}{42}\).

  2. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{144}{96}\).

  3. Εξετάστε αν το \(\dfrac{39}{40}\) είναι ανάγωγο.

  4. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{225}{315}\).

  5. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{32}{56}\).

  6. Ελέγξτε αν το \(\dfrac{32}{30}\) είναι ανάγωγο.

  7. Ελέγξτε αν το \(\dfrac{15}{14}\) είναι ανάγωγο.

  8. Ελέγξτε αν το \(\dfrac{51}{16}\) είναι ανάγωγο.

  9. Ελέγξτε αν το \(\dfrac{26}{50}\) είναι ανάγωγο.

  10. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{16}{60}\).

  11. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{72}{108}\).

  12. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{55}{66}\).

1.3 3. Μετατροπή κλασμάτων σε ομώνυμα

1.3.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμοί: Τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα, ενώ εκείνα με διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα.

  • Σκοπός: Η μετατροπή σε ομώνυμα είναι απαραίτητη για τη σύγκριση, την πρόσθεση και την αφαίρεση ετερωνύμων κλασμάτων.

Ιδιότητες και Μέθοδος

  1. Ελέγχουμε αν τα κλάσματα απλοποιούνται.
  2. Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών.
  3. Διαιρούμε το ΕΚΠ με κάθε παρονομαστή για να βρούμε τους «πολλαπλασιαστές».
  4. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με τον αντίστοιχο αριθμό.

1.3.2 Παραδείγματα

  1. Τα \(\dfrac{3}{5}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{4}\) γίνονται \(\dfrac{36}{60}, \dfrac{40}{60}, \dfrac{15}{60}\) (\(ΕΚΠ=60\)).

  2. Τα \(\dfrac{5}{6}, \dfrac{11}{9}\) γίνονται \(\dfrac{15}{18}, \dfrac{22}{18}\) (\(ΕΚΠ=18\)).

  3. Τα \(\dfrac{5}{6}, \dfrac{7}{8}\) γίνονται \(\dfrac{20}{24}, \dfrac{21}{24}\) (\(ΕΚΠ=24\)).

  4. Τα \(\dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{4}\) γίνονται \(\dfrac{8}{12}, \dfrac{21}{12}\) (\(ΕΚΠ=12\)).

  5. Τα \(\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{6}\) γίνονται \(\dfrac{9}{12}, \dfrac{10}{12}\) (\(ΕΚΠ=12\)).

1.3.3 Ασκήσεις

  1. Κάντε ομώνυμα τα κλάσματα \(\dfrac{3}{5}\) και \(\dfrac{7}{9}\).

  2. Κάντε ομώνυμα τα κλάσματα \(\dfrac{7}{8}\) και \(\dfrac{3}{10}\).

  3. Κάντε ομώνυμα τα κλάσματα \(\dfrac{11}{3}\) και \(\dfrac{7}{12}\).

  4. Κάντε ομώνυμα τα \(\dfrac{5}{12}, \dfrac{7}{18}, \dfrac{11}{24}\).

  5. Κάντε ομώνυμα τα \(\dfrac{7}{5}, \dfrac{9}{12}, \dfrac{21}{15}, \dfrac{17}{30}\).

  6. Μετατρέψτε τα \(\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{7}{12}\) σε κλάσματα με παρονομαστή 24.

  7. Να γίνουν ομώνυμα τα \(\dfrac{5}{6}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\).

  8. Να γίνουν ομώνυμα τα \(\dfrac{11}{2}, \dfrac{7}{16}, \dfrac{3}{8}\).

  9. Να γίνουν ομώνυμα τα \(\dfrac{3}{5}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\).

  10. Κάντε ομώνυμα τα \(\dfrac{6}{8}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{6}{18}\).

  11. Κάντε ομώνυμα τα \(\dfrac{3}{15}, \dfrac{4}{16}, \dfrac{5}{24}\).

  12. Κάντε ομώνυμα τα \(\dfrac{3}{10}, \dfrac{5}{100}, \dfrac{18}{27}, \dfrac{19}{1000}\).

1.4 Χρήση της «χιαστί ιδιότητας»

1.4.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμός: Η χιαστί ιδιότητα είναι ένα μαθηματικό κριτήριο που μας επιτρέπει να ελέγξουμε γρήγορα την ισοδυναμία δύο κλασμάτων.

  • Κανόνας: Δύο κλάσματα \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) και \(\dfrac{\gamma}{\delta}\) είναι ισοδύναμα αν και μόνο αν τα χιαστί γινόμενα είναι ίσα: \(\alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma\).

\[\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\gamma}{\delta} \Leftrightarrow \alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma\]

Ιδιότητες

  • Αν τα γινόμενα δεν είναι ίσα, τότε τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.

  • Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται επίσης για την επίλυση εξισώσεων όπου αναζητείται ένας άγνωστος όρος κλάσματος.

1.4.2 Παραδείγματα

  1. \(\dfrac{3}{5}\) και \(\dfrac{10}{14}\): \(3 \cdot 14 = 42\), \(5 \cdot 10 = 50\). Επειδή \(42 \neq 50\), δεν είναι ισοδύναμα.

  2. \(\dfrac{3}{8}\) και \(\dfrac{18}{48}\): \(3 \cdot 48 = 144\), \(8 \cdot 18 = 144\). Είναι ίσα, άρα ισοδύναμα.

  3. \(\dfrac{12}{48}\) και \(\dfrac{14}{52}\): \(12 \cdot 52 = 624\), \(14 \cdot 48 = 672\). Δεν είναι ίσα.

  4. \(\dfrac{12}{48}\) και \(\dfrac{3}{12}\): \(12 \cdot 12 = 144\), \(3 \cdot 48 = 144\). Είναι ίσα.

  5. \(\dfrac{13}{14}\) και \(\dfrac{26}{28}\): \(13 \cdot 28 = 364\), \(14 \cdot 26 = 364\). Είναι ισοδύναμα.

1.4.3 Ασκήσεις

  1. Ελέγξτε την ισοδυναμία των \(\dfrac{2}{3}\) και \(\dfrac{18}{27}\).

  2. Ελέγξτε την ισοδυναμία των \(\dfrac{3}{4}\) και \(\dfrac{1}{2}\).

  3. Ελέγξτε την ισοδυναμία των \(\dfrac{7}{8}\) και \(\dfrac{30}{40}\).

  4. Ελέγξτε αν τα \(\dfrac{13}{12}\) και \(\dfrac{169}{144}\) είναι ισοδύναμα.

  5. Ελέγξτε αν τα \(\dfrac{14}{9}\) και \(\dfrac{58}{36}\) είναι ισοδύναμα.

  6. Ελέγξτε αν τα \(\dfrac{84}{97}\) και \(\dfrac{1176}{1358}\) είναι ισοδύναμα.

  7. Εξετάστε αν τα αεροπλάνα με πληρότητα \(\dfrac{28}{32}\) και \(\dfrac{98}{112}\) μεταφέρουν τον ίδιο αριθμό επιβατών.

  8. Βρείτε το \(x\) αν το \(\dfrac{x}{8}\) μετατραπεί σε ισοδύναμο με παρονομαστή 24.

  9. Βρείτε την τιμή του \(\alpha\) ώστε \(\dfrac{12}{5} = \dfrac{\alpha}{55}\).

  10. Βρείτε την τιμή του \(\beta\) ώστε \(\dfrac{125}{55} = \dfrac{25}{\beta}\).

  11. Εξετάστε την ισοδυναμία των \(\dfrac{7}{5}\) και \(\dfrac{84}{60}\).

  12. Εξετάστε την ισοδυναμία των \(\dfrac{1}{8}\) και \(\dfrac{48}{528}\).

1.5 Ασκήσεων …. συνέχεια

Λυμένες Ασκήσεις

  1. Ερώτηση: Βρείτε ένα ισοδύναμο κλάσμα του \(\dfrac{1}{2}\) με παρονομαστή το 4.

Λύση: Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με το 2: \(\dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \dfrac{2}{4}\).

  1. Ερώτηση: Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{6}{15}\).

Λύση: Διαιρούμε και τους δύο όρους με τον ΜΚΔ τους, που είναι το 3: \(\dfrac{6:3}{15:3} = \dfrac{2}{5}\).

  1. Ερώτηση: Είναι τα κλάσματα \(\dfrac{1}{2}\) και \(\dfrac{4}{8}\) ισοδύναμα;

Λύση: Ελέγχουμε τα χιαστί γινόμενα: \(1 \cdot 8 = 8\) και \(2 \cdot 4 = 8\). Επειδή \(8=8\), είναι ισοδύναμα.

  1. Ερώτηση: Τρέψτε το \(\dfrac{3}{4}\) σε ισοδύναμο με αριθμητή 21.

Λύση: Επειδή \(3 \cdot 7 = 21\), πολλαπλασιάζουμε και τον παρονομαστή με το 7: \(4 \cdot 7 = 28\). Άρα \(\dfrac{21}{28}\).

  1. Ερώτηση: Το κλάσμα \(\dfrac{2}{5}\) είναι ανάγωγο;

Λύση: Ναι, γιατί το 2 και το 5 δεν έχουν κοινό διαιρέτη εκτός από τη μονάδα.

Άλυτες Ασκήσεις

  1. Μετατρέψτε το κλάσμα \(\dfrac{1}{6}\) σε ισοδύναμο με παρονομαστή 12, 30 και 60.

  2. Απλοποιήστε τα κλάσματα: \(\dfrac{24}{48}, \dfrac{36}{45}, \dfrac{66}{77}\).

  3. Εξετάστε αν είναι ισοδύναμα τα ζεύγη: \(\dfrac{4}{5}\) και \(\dfrac{20}{25}\), \(\dfrac{32}{64}\) και \(\dfrac{1}{2}\).

  4. Βρείτε τον άγνωστο \(x\) στην ισότητα: \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{x}{42}\).

  5. Κάντε ομώνυμα τα κλάσματα \(\dfrac{5}{6}\) και \(\dfrac{4}{15}\).

  6. Μετατρέψτε το \(\dfrac{2}{3}\) σε ισοδύναμο με παρονομαστή 120.

  7. Απλοποιήστε το κλάσμα \(\dfrac{114}{76}\) μέχρι να γίνει ανάγωγο.

  8. Βρείτε τρία ισοδύναμα κλάσματα για το \(\dfrac{1}{3}\).

  9. Πώς ονομάζεται η διαδικασία με την οποία μικραίνουμε τους όρους ενός κλάσματος;

  10. Συμπληρώστε την ισότητα: \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{a= }{24}\).

ΣυμβουλήΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!