06. Η έννοια του κλάσματος

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Η Έννοια του Κλάσματος

1.1 Κατανόηση του κλάσματος μέσω του χωρισμού του «όλου» σε μέρη

1.1.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Ετυμολογία: Η λέξη «κλάσμα» προέρχεται από το αρχαίο ελληνικό ρήμα «κλάω» ή «κλω», που σημαίνει κόβω ή τεμαχίζω κάτι.

  • Έννοια: Το κλάσμα δηλώνει ένα κομμάτι ή μέρος ενός πράγματος. Στα Μαθηματικά, το ολόκληρο («όλον») χωρίζεται σε ίσα μέρη.

Το οκτάγωνο είναι χωρισμένο σε 8 ίσα τρίγωνα, τα 3 στιγματισμένα μέρη είναι τα \(\dfrac{3}{8}\) όλου του πολυγώνου

  • Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε τη μονάδα.

  • Ο αριθμητής δείχνει πόσα από αυτά τα μέρη πήραμε.

  • Η κλασματική γραμμή συμβολίζει την πράξη της διαίρεσης.

  • Περιορισμός: Ο παρονομαστής δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν (0).

  • Κλασματική μονάδα: Είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα (1), π.χ. \(\dfrac{1}{ν}\) , (όπου \(\nu \neq 0\)) και εκφράζει το ένα από τα \(\nu\) ίσα μέρη στα οποία χωρίστηκε μια ποσότητα.

  • Κλασματικός Αριθμός: Είναι το άθροισμα πολλών κλασματικών μονάδων. Συμβολίζεται ως \(\dfrac{κ}{ν}\), όπου \(\kappa\) και \(\nu\) είναι φυσικοί αριθμοί με \(\nu \neq 0\).

  • Όροι του κλάσματος:

    • Παρονομαστής (\(\nu\)): Δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το ολόκληρο.
    • Αριθμητής (\(\kappa\)): Δείχνει πόσα από αυτά τα ίσα μέρη πήραμε.
    • Γραμμή κλάσματος: Η γραμμή που χωρίζει τους δύο όρους.

Στο σχήμα το κλάσμα μας \(\dfrac{3}{8}\) αποτελείται από τον αριθμητή \(3\) (πάνω), τον παρονομαστή \(8\) (κάτω) και την κλασματική γραμμή.

Ιδιότητες

  • Κάθε κλάσμα \(\dfrac{κ}{ν}\) μπορεί να γραφεί ως γινόμενο: \(\kappa \cdot \dfrac{1}{\nu}\).

  • Το ολόκληρο εκφράζεται όταν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή \(\dfrac{ν}{ν} = 1\).

1.1.2 Παραδείγματα

  1. Μια πίτσα χωρίζεται σε 8 ίσα κομμάτια· αν κάποιος φάει το 1, έχει φάει το \(\dfrac{1}{8}\) της πίτσας.

  2. Μια σοκολάτα χωρισμένη σε 8 ίσα τετραγωνίδια.

  3. Ένα τετράγωνο χωρισμένο σε 4 ίσα μέρη, όπου το καθένα είναι το \(\dfrac{1}{4}\) του όλου.

  4. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη.

  5. Ένας κύκλος χωρισμένος σε 6 ίσα τμήματα.

  6. Ποιος είναι ο αριθμητής και ποιος ο παρονομαστής στο κλάσμα \(\dfrac{4}{6}\);

Λύση: Αριθμητής είναι το 4 και παρονομαστής το 6.

  1. Γράψτε τη διαίρεση \(3:8\) ως κλάσμα.

Λύση: Το πηλίκο της διαίρεσης \(3:8\) εκφράζεται ως το κλάσμα \(\dfrac{3}{8}\).

  1. Αν χωρίσουμε μια πίτσα σε 5 ίσα μέρη και φάμε το 1, τι μέρος της πίτσας φάγαμε;

Λύση: Ο παρονομαστής είναι 5 (συνολικά μέρη) και ο αριθμητής 1 (μέρος που πήραμε), άρα φάγαμε το \(\dfrac{1}{5}\) της πίτσας.

  1. Ποιος φυσικός αριθμός είναι ίσος με το κλάσμα \(\dfrac{24}{6}\);

Λύση: \(24 : 6 = 4\). Άρα το κλάσμα ισούται με τον φυσικό αριθμό 4.

  1. Υπολογίστε το \(\dfrac{1}{5}\) του 20.

Λύση: Πολλαπλασιάζουμε το \(\dfrac{1}{5}\) με το 20: \(\dfrac{1 \cdot 20}{5} = \dfrac{20}{5} = 4\).

1.1.3 Ασκήσεις

  1. Γράψτε το κλάσμα που εκφράζει το χρωματισμένο μέρος ενός κύκλου χωρισμένου σε 6 ίσα μέρη.

  1. Ποιο κλάσμα ενός τετραγώνου αποτελεί ένα μέρος του αν χωριστεί σε 4 ίσα τμήματα;
  2. Σε μια τάξη 28 μαθητών, οι 4 είναι απόντες. Τι κλάσμα των μαθητών είναι οι απόντες;
  3. Αν χωρίσουμε ένα μέγεθος σε 10 ίσα μέρη, πώς ονομάζεται το ένα μέρος;
  4. Ποιος είναι ο αριθμητής και ποιος ο παρονομαστής στο κλάσμα \(\dfrac{3}{5}\);
  5. Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο και χρωματίστε τα \(\dfrac{3}{4}\) αυτού.
  6. Γράψτε με μορφή κλάσματος την κλασματική μονάδα «ένα έβδομο».
  7. Από ποια κλασματική μονάδα αποτελείται το κλάσμα \(\dfrac{5}{8}\);.
  8. Πόσες κλασματικές μονάδες \(\dfrac{1}{4}\) χρειάζονται για να σχηματίσουν τη μονάδα;.
  9. Αν πάρουμε 5 τμήματα από μια ποσότητα χωρισμένη σε 7 ίσα μέρη, ποιο κλάσμα προκύπτει;.

1.2 Κατανόηση του κλάσματος ως σχέση μεταξύ ομοειδών ποσοτήτων

1.2.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Πηλίκο Διαίρεσης: Κάθε κλάσμα \(\dfrac{\kappa}{\nu}\) παριστάνει το ακριβές πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά του παρονομαστή \(\kappa:\nu = \dfrac{\kappa}{\nu}\).

  • Λόγος (Ratio): Το πηλίκο των μέτρων δύο ομοειδών μεγεθών (π.χ. δύο μηκών) ονομάζεται λόγος.

  • Ρητός Αριθμός: Κάθε αριθμός που μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακεραίων (με διαιρέτη \(\neq 0\)).

Ιδιότητες

  • Σύγκριση με τη μονάδα:

  • Αν Αριθμητής < Παρονομαστή, το κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας (γνήσιο).

  • Αν Αριθμητής > Παρονομαστή, το κλάσμα είναι μεγαλύτερο της μονάδας (καταχρηστικό).

  • Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να θεωρηθεί κλάσμα με παρονομαστή το 1.

  • Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τους δύο όρους κλάσματος με τον ίδιο αριθμό (\(\neq 0\)), προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα.

1.2.2 Παραδείγματα

  1. Ο λόγος του ύψους μιας γυναίκας (8cm σε φωτό) προς το πραγματικό (192cm) είναι \(\dfrac{8}{192} = \dfrac{1}{24}\).
  2. Η διαίρεση 3:8 εκφράζεται από το κλάσμα \(\dfrac{3}{8}\).
  3. Το βάρος ενός ατόμου 40kg προς ένα άλλο 45kg έχει λόγο \(\dfrac{40}{45} = \dfrac{8}{9}\).
  4. Ο αριθμός 6 γράφεται ως \(\dfrac{6}{1}\).
  5. Σύγκριση τμημάτων: αν το τμήμα β αποτελείται από 8 μονάδες α και το γ από 13 μονάδες α, ο λόγος \(\dfrac{β}{γ}\) είναι \(\dfrac{8}{13}\).

1.2.3 Ασκήσεις

  1. Βρείτε τον λόγο των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ=4cm και ΓΔ=1cm.

  2. Είναι το κλάσμα \(\dfrac{8}{3}\) μεγαλύτερο ή μικρότερο της μονάδας;.

  3. Γράψτε τον αριθμό 15 σε μορφή κλάσματος.

  4. Ποια διαίρεση παριστάνει το κλάσμα \(\dfrac{2}{21}\);.

  5. Βρείτε τον λόγο των εμβαδών δύο τετραγώνων με πλευρές 3m και 5m.

  6. Χαρακτηρίστε το κλάσμα \(\dfrac{45}{54}\) ως γνήσιο ή καταχρηστικό.

  7. Βρείτε τον λόγο των υψών δύο παιδιών, 180cm και 160cm.

  8. Γράψτε ως κλάσματα τις διαιρέσεις: \(9:10\), \(45:68\), \(132:234\).

  9. Ποια διαίρεση παριστάνει το κλάσμα \(\dfrac{5}{23}\) και ποια το \(\dfrac{18}{8}\);

  10. Μια οικογένεια έχει 6 μέλη (2 γονείς, 4 παιδιά). Τι κλάσμα του συνόλου είναι τα παιδιά;

  11. Στην ίδια οικογένεια, τι κλάσμα του συνόλου είναι οι ενήλικες;

  12. Βρείτε με ποιον φυσικό αριθμό είναι ίσα τα κλάσματα: \(\dfrac{12}{2}, \dfrac{30}{5}, \dfrac{8}{2}\).

  13. Στο κλάσμα \(\dfrac{x}{x-3}\), ποιον περιορισμό πρέπει να βάλουμε για τον παρονομαστή;

  14. Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι 0, με τι ισούται το κλάσμα;

  15. Γράψτε τον φυσικό αριθμό 13 ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα.

  16. Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο, χωρίστε το σε 8 ίσα μέρη και σκιάστε τα \(\dfrac{3}{8}\).

  17. Τι ονομάζουμε όρους ενός κλάσματος;

1.3 Υπολογισμός μέρους από το όλο (Αναγωγή στη μονάδα)

Θεωρία και Μέθοδος Όταν γνωρίζουμε την τιμή του όλου και ζητάμε την τιμή ενός μέρους \(\dfrac{κ}{ν}\):

  1. Διαιρούμε το όλο με τον παρονομαστή (\(\nu\)) για να βρούμε την τιμή της κλασματικής μονάδας \(\dfrac{1}{ν}\).
  2. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή (\(\kappa\)).

1.3.1 Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Η δεξαμενή νερού ενός χωριού, χωράει \(40 \ m^3\). Ο πρόεδρος της κοινότητας το μέτρησε κάποια στιγμή και βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα \(\dfrac{2}{5}\). Πόσα λίτρα νερό είχε η δεξαμενή.

Λύση

Για να υπολογίσουμε πόσα λίτρα νερό είχε η δεξαμενή, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα βασιζόμενοι στις μονάδες μέτρησης και τις μεθόδους υπολογισμού των πηγών:

1. Μετατροπή των κυβικών μέτρων (\(m^3\)) σε λίτρα (lt)

  • Σύμφωνα με τις μονάδες μέτρησης όγκου, 1 κυβικό μέτρο (\(m^3\)) ισούται με 1.000 κυβικά δεκατόμετρα (\(dm^3\)).

  • Η μονάδα χωρητικότητας λίτρο (lt) είναι ακριβώς ίση με 1 κυβικό δεκατόμετρο (\(dm^3\)).

  • Επομένως, 1 \(m^3\) αντιστοιχεί σε 1.000 λίτρα.

  • Άρα, η συνολική χωρητικότητα της δεξαμενής σε λίτρα είναι: \(40 \times 1.000 = \mathbf{40.000}\) λίτρα.

2. Υπολογισμός του μέρους (\(\dfrac{2}{5}\)) από το όλο (40.000 λίτρα)

Για να βρούμε την ποσότητα του νερού, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα:

  • Βρίσκουμε την τιμή της κλασματικής μονάδας \(\dfrac{1}{5}\): Διαιρούμε τη συνολική χωρητικότητα με τον παρονομαστή (5). \(40.000 : 5 = 8.000\) λίτρα.

  • Βρίσκουμε την τιμή του μέρους \(\dfrac{2}{5}\): Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή (2). \(8.000 \times 2 = 16.000\) λίτρα.

Εναλλακτικά, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε απευθείας τον αριθμό που εκφράζει το όλο με το κλάσμα: \(40.000 \times \dfrac{2}{5} = 16.000\) λίτρα.

Συμπέρασμα:

Η δεξαμενή είχε 16.000 λίτρα νερό.

Παράδειγμα 2

Πόσα λεπτά είναι τα \(\dfrac{2}{5}\) της ώρας (60 λεπτά);

Λύση

  • \(\dfrac{1}{5}\) της ώρας: \(60 : 5 = 12\) λεπτά.
  • \(\dfrac{2}{5}\) της ώρας: \(2 \cdot 12 = 24\) λεπτά.

Παράδειγμα 3

Βρείτε το μήκος του ΑΚ αν είναι τα \(\dfrac{5}{8}\) του ΑΒ=32cm.

Λύση

  • \(\dfrac{1}{8}\) του ΑΒ: \(32 : 8 = 4cm\).
  • \(\dfrac{5}{8}\) του ΑΒ: \(5 \cdot 4 = 20cm\).

Παράδειγμα 4

Βρείτε πόσα γραμμάρια είναι τα \(\dfrac{3}{4}\) του κιλού (1000g).

Λύση

  • \(\dfrac{1}{4}\) του kg: \(1000 : 4 = 250g\).
  • \(\dfrac{3}{4}\) του kg: \(3 \cdot 250 = 750g\).

1.3.2 Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε τα \(\dfrac{4}{5}\) των 1500 γραμμαρίων.
  2. Βρείτε τα \(\dfrac{5}{8}\) των 2 κιλών (2000g).
  3. Πόσα ml είναι το \(\dfrac{1}{15}\) ενός αναψυκτικού 330ml;.
  4. Ένας εργάτης παίρνει 880 δρχ. για \(\dfrac{4}{5}\) της εργασίας. Πόσα θα πάρει για το \(\dfrac{1}{5}\);
  5. Βρείτε τα \(\dfrac{9}{10}\) των 5 κιλών σε γραμμάρια.
  6. Από 140 αυτοκίνητα, τα \(\dfrac{2}{7}\) είναι λευκά. Πόσα είναι τα λευκά;
  7. Μια διαδρομή είναι 80km. Πόσα km είναι τα \(\dfrac{3}{8}\) της διαδρομής;
  8. Πόσα λεπτά είναι τα \(\dfrac{5}{6}\) της ώρας;
  9. Βρείτε τα \(\dfrac{11}{13}\) του αριθμού 13.
  10. Πόσα ευρώ είναι τα \(\dfrac{3}{4}\) των 200€;

1.4 Υπολογισμός του όλου από την τιμή ενός μέρους του

Θεωρία και Μέθοδος

Όταν γνωρίζουμε την τιμή ενός μέρους \(\dfrac{κ}{ν}\) και ζητάμε το «όλον»:

  1. Διαιρούμε τη γνωστή τιμή με τον αριθμητή (\(\kappa\)) για να βρούμε την τιμή της κλασματικής μονάδας \(\dfrac{1}{ν}\).
  2. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή (\(\nu\)) για να βρούμε το όλο \(\dfrac{ν}{ν}\).

1.4.1 Παραδείγματα

  1. Τα \(\dfrac{2}{3}\) μιας δεξαμενής περιέχουν 1440kg λάδι. Πόσο λάδι χωράει όλη η δεξαμενή;

  • \(\dfrac{1}{3}\) της δεξαμενής: \(1440 : 2 = 720kg\).

  • Όλη η δεξαμενή (\(\dfrac{3}{3}\)): \(3 \cdot 720 = 2160kg\).

  1. Οι μαθήτριες ενός σχολείου είναι τα \(\dfrac{5}{9}\) του συνόλου. Αν οι μαθήτριες είναι 85, πόσα είναι όλα τα παιδιά;
  • \(\dfrac{1}{9}\) των παιδιών: \(85 : 5 = 17\) παιδιά.
  • Όλα τα παιδιά (\(\dfrac{9}{9}\)): \(9 \cdot 17 = 153\) παιδιά.
  1. Από μια τούρτα περίσσεψαν 2 κομμάτια που είναι τα \(\dfrac{2}{7}\) της τούρτας. Πόσα ήταν αρχικά όλα τα κομμάτια;
  • \(\dfrac{1}{7}\) της τούρτας: \(2 : 2 = 1\) κομμάτι.
  • Όλη η τούρτα (\(\dfrac{7}{7}\)): \(7 \cdot 1 = 7\) κομμάτια.
  1. Αν το \(\dfrac{1}{5}\) ενός κιλού καρύδια είναι 14 καρύδια, πόσα καρύδια έχει όλο το κιλό;
  • \(\dfrac{5}{5}\) του κιλού: \(5 \cdot 14 = 70\) καρύδια.
  1. Βρείτε τον αριθμό του οποίου τα \(\dfrac{4}{7}\) είναι το \(29/5\).
  • \(\dfrac{1}{7}\) του αριθμού: \(\dfrac{29}{5} : 4 = \dfrac{29}{20}\).
  • Όλος ο αριθμός: \(7 \cdot \dfrac{29}{20} = \dfrac{203}{20}\).

1.4.2 Ασκήσεις

  1. Αν τα \(\dfrac{3}{4}\) ενός ποσού είναι 1500€, ποιο είναι το συνολικό ποσό;.
  2. Τα \(\dfrac{2}{7}\) μιας διαδρομής είναι 14km. Πόσο είναι όλη η διαδρομή;.
  3. Βρείτε τον αριθμό του οποίου το \(\dfrac{1}{3}\) είναι 40.
  4. Αν τα \(\dfrac{2}{9}\) του ύψους είναι 40cm, ποιο είναι το συνολικό ύψος;.
  5. Αν τα \(\dfrac{4}{7}\) ενός ποσού είναι 800€, ποιο είναι το συνολικό ποσό;.
  6. Βρείτε το συνολικό βάρος αν τα \(\dfrac{5}{8}\) είναι 25kg.
  7. Αν τα \(\dfrac{10}{12}\) ενός τμήματος είναι 5cm, ποιο είναι το μήκος του τμήματος;.
  8. Βρείτε την αξία ενός έργου αν το \(\dfrac{1}{3}\) κοστίζει 1260 δρχ..
  9. Αν τα \(\dfrac{3}{5}\) μιας δεξαμενής είναι 105 λίτρα, πόσο χωράει όλη;.
  10. Βρείτε τον αριθμό του οποίου τα \(\dfrac{2}{5}\) είναι 18.
  11. Αν τα \(\dfrac{5}{8}\) μιας ποσότητας είναι 12, υπολογίστε τα \(\dfrac{3}{8}\), τα \(\dfrac{7}{8}\) και όλη την ποσότητα.
  12. Για τα παρακάτω σχήματα γράψε το κλάσμα που αντιστοιχεί στο γραμμοσκιασμένο μέρος.

ΣυμβουλήΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!