04. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα

1.1 Η Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης

1.1.1 Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Ορισμός: Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί \(\Delta\) και \(\delta\) (\(\delta \neq 0\)), τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί \(\pi\) και \(\upsilon\), τέτοιοι ώστε να ισχύει η ισότητα: \[\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon\]

  • Ορολογία: Ο αριθμός \(\Delta\) λέγεται διαιρετέος, ο \(\delta\) διαιρέτης, ο \(\pi\) πηλίκο και ο \(\upsilon\) υπόλοιπο,.

  • Βασική Συνθήκη: Το υπόλοιπο είναι πάντα αριθμός μικρότερος του διαιρέτη: \(0 \le \upsilon < \delta\),,.

  • Ονομασία: Η παραπάνω ισότητα ονομάζεται ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.

  • Ειδικές Περιπτώσεις:

    • Αν \(\delta = 1\), τότε \(\pi = \Delta\) και \(\upsilon = 0\),.
    • Αν \(\Delta = \delta\), τότε \(\pi = 1\) και \(\upsilon = 0\),.
    • Αν \(\Delta = 0\), τότε \(\pi = 0\) και \(\upsilon = 0\),.

Παραδείγματα

  1. Στη διαίρεση \(43 : 7\), η ταυτότητα είναι \(43 = 7 \cdot 6 + 1\), όπου \(\upsilon=1 < \delta=7\).
  2. Στην ισότητα \(120 = 28 \cdot 4 + 8\), το 8 είναι υπόλοιπο γιατί \(8 < 28\).
  3. Στην ισότητα \(125 = 35 \cdot 3 + 20\), το 20 είναι υπόλοιπο γιατί \(20 < 35\),.
  4. Στη διαίρεση \(24 : 5\), η ταυτότητα είναι \(24 = 5 \cdot 4 + 1\).
  5. Στη διαίρεση \(59 : 8\), έχουμε \(59 = 8 \cdot 7 + 3\).

Άλυτες Ασκήσεις

  1. Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης του 55 με το 6.
  2. Ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το υπόλοιπο μιας διαίρεσης με διαιρέτη το 8;,.
  3. Εξετάστε αν η ισότητα \(156 = 14 \cdot 10 + 16\) είναι ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης,.
  4. Αν \(\delta=12, \pi=9\) και \(\upsilon=5\), βρείτε τον διαιρετέο \(\Delta\).
  5. Στην ισότητα \(\Delta = 6 \cdot 12 + \upsilon\), ποιες είναι οι δυνατές τιμές του \(\upsilon\);.
  6. Βρείτε τον διαιρετέο μιας διαίρεσης με διαιρέτη 18, πηλίκο 16 και υπόλοιπο 17.
  7. Είναι η σχέση \(177 = 5 \cdot 35 + 2\) Ευκλείδεια διαίρεση;.
  8. Αν \(\delta=7\), γράψτε το σύνολο όλων των πιθανών υπολοίπων,.
  9. Συμπληρώστε την ισότητα \(... = 37 \cdot 13 + 22\).
  10. Γιατί η ισότητα \(223 = 8 \cdot 28 - 1\) δεν είναι ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης;,.

1.2 Υπολογισμός Πηλίκου και Υπολοίπου

1.2.1 Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Πηλίκο (\(\pi\)): Είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που το γινόμενό του με τον διαιρέτη είναι μικρότερο ή ίσο με τον διαιρετέο: \(\delta \cdot \pi \le \Delta\).
  • Υπόλοιπο (\(\upsilon\)): Είναι η διαφορά του διαιρετέου από το γινόμενο του διαιρέτη επί το πηλίκο: \(\upsilon = \Delta - (\delta \cdot \pi)\).
  • Προσέγγιση: Όταν η διαίρεση δεν είναι τέλεια (\(\upsilon \neq 0\)), το πηλίκο λέγεται “κατά προσέγγιση μονάδας”.
  • Διαίρεση με το 10, 100, 1000 …: Το πηλίκο προκύπτει αν παραλείψουμε από το τέλος του διαιρετέου τόσα ψηφία όσα τα μηδενικά του διαιρέτη. Τα ψηφία που παραλείφθηκαν αποτελούν το υπόλοιπο. \[568:10=56,8\Leftrightarrow \color{green}{568}=\color{red}{56}\times \color{blue}{10}+\color{brown}{8}\] \[4582:1000=4,582\Leftrightarrow \color{green}{4582}=\color{blue}{1000}\times\color{red}{4}+\color{brown}{582}\]

Παραδείγματα

  1. \(125 : 9 \rightarrow 125 = 9 \cdot 13 + 8\). Πηλίκο 13, υπόλοιπο 8.
  2. \(65 : 5 \rightarrow 65 = 5 \cdot 13 + 0\). Πηλίκο 13, υπόλοιπο 0.
  3. \(357 : 10 \rightarrow\) Πηλίκο 35, υπόλοιπο 7.
  4. \(25863 : 1000 \rightarrow\) Πηλίκο 25, υπόλοιπο 863.
  5. \(43 : 7 \rightarrow\) Πηλίκο 6, υπόλοιπο 1.

Άλυτες Ασκήσεις

  1. Εκτελέστε τη διαίρεση \(145 : 12\) και γράψτε την ταυτότητά της.
  2. Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης \(2345 : 44\).
  3. Υπολογίστε νοερά το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης \(487 : 100\).
  4. Βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του 129 με το 6, αν το υπόλοιπο είναι 3.
  5. Ποιο είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης \(70.000 : 1000\);
  6. Αν \(\Delta=122, \pi=24, \upsilon=2\), βρείτε τον διαιρέτη \(\delta\).
  7. Ποιο είναι το πηλίκο αν διαιρέσουμε έναν αριθμό με τον εαυτό του;.
  8. Εκτελέστε τη διαίρεση \(1550 : 25\).
  9. Βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης \(8 : 11\) στο σύνολο των φυσικών αριθμών.
  10. Αν διαιρέσουμε το 916 με το 38, ποιο είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο;

1.3 Τέλεια Διαίρεση και Διαιρετότητα

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Τέλεια Διαίρεση: Μια διαίρεση λέγεται τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν (\(\upsilon = 0\)). Τότε ισχύει: \[\Delta = \delta \cdot \pi\]

  • Ισοδύναμες Εκφράσεις: Οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτόσημες:

    1. Η διαίρεση του \(\Delta\) με τον \(\delta\) είναι τέλεια.
    2. Ο \(\Delta\) είναι πολλαπλάσιο του \(\delta\).
    3. Ο \(\delta\) είναι διαιρέτης του \(\Delta\).
    4. Ο \(\Delta\) διαιρείται ακριβώς με τον \(\delta\).

  • Ιδιότητα: Αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλον, θα διαιρεί και όλα τα πολλαπλάσιά του.

  • Πράξη: Η τέλεια διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.

Παραδείγματα

  1. \(12 : 3 = 4\). Ο 12 διαιρείται ακριβώς δια του 3, άρα ο 3 είναι διαιρέτης του 12 και ο 12 πολλαπλάσιο του 3.
  2. \(450 : 15 = 30\). Η διαίρεση είναι τέλεια γιατί \(\upsilon=0\).
  3. Ο αριθμός 20 είναι πολλαπλάσιο του 5 γιατί \(20 = 5 \cdot 4\).
  4. Ο αριθμός 4 διαιρεί τον 280, γιατί διαιρεί τον 28 (\(280 = 28 \cdot 10\)).
  5. Στην ισότητα \(35 = 7 \cdot 5\), ο 7 και ο 5 είναι διαιρέτες του 35.
  6. Αν ένας αριθμός διαιρεθεί με το \(9\) δίνει πηλίκο \(73\) και υπόλοιπο \(4\). Ποιος είναι;
  • Λύση: \(\Delta = 9 \cdot 73 + 4 = 657 + 4 = 661\).

Άλυτες Ασκήσεις

  1. Είναι ο αριθμός 450 πολλαπλάσιο του 9; Δικαιολογήστε την απάντηση.
  2. Γράψτε τρεις ισοδύναμες εκφράσεις για τη σχέση \(42 : 7 = 6\).
  3. Αν ο \(\alpha\) είναι πολλαπλάσιο του \(\beta\), διαιρείται ο \(\alpha\) με τον \(\beta\);
  4. Βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού 12.
  5. Ποια είναι η γενική μορφή κάθε πολλαπλασίου του 6;
  6. Αν ο 3 διαιρεί τον 12 και τον 27, διαιρεί και το άθροισμά τους;
  7. Εξετάστε αν ο 6 είναι διαιρέτης του 180.
  8. Γράψτε τα 5 πρώτα πολλαπλάσια του 8.
  9. Αν ένας αριθμός διαιρεί το 630, είναι απαραίτητα διαιρέτης και του \(630 \cdot 5\);
  10. Ποιες τέλειες διαιρέσεις προκύπτουν από την ισότητα \(480 = 32 \cdot 15\);
  11. Ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ενός αριθμού με το \(8\);
  12. Εξετάστε αν η ισότητα \(762 = 38 \cdot 19 + 40\) είναι Ευκλείδεια διαίρεση.

1.4 Ασκήσεων ……συνέχεια

  1. Κάθετες Διαιρέσεις και Δοκιμές

Να κάνετε τις ακόλουθες διαιρέσεις και τις δοκιμές τους:

  • α. \(3.150 : 45\)
  • β. \(1.932 : 23\)
  • γ. \(864 : 24\)
  • δ. \(4.512 : 122\)
  • ε. \(28.800 : 2.400\)
  • στ. \(6.120 : 85\)
  1. Προβλήματα με Μονάδες και Ποσότητες

Να υπολογίσετε:

  • α. Πόσο κοστίζει το \(1\) μέτρο καλώδιο αν τα \(8\) μέτρα κοστίζουν \(96 \text{ €}\);
  • β. Πόσο κοστίζει το \(1\) κιλό τυρί αν για τα \(4\) κιλά πληρώσαμε \(48 \text{ €}\);
  • γ. Πόσα κιβώτια των \(24\) μπουκαλιών θα χρειαστούν για \(15.600\) μπουκάλια αναψυκτικού;
  1. Αναγνώριση Ευκλείδειας Διαίρεσης

Να εξετάσεις ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις (θυμήσου ότι το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρέτη):

  • α. \(140 = 25 \cdot 5 + 15\)
  • β. \(850 = 40 \cdot 20 + 50\)
  • γ. \(2.000 = 60 \cdot 33 + 20\)
  • δ. \(450 = 20 \cdot 21 + 30\)
  1. Πιθανά Υπόλοιπα

Ποια μπορεί να είναι τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης \(x : 6\) όπου \(x\) είναι ένας φυσικός αριθμός;

  1. Εύρεση Διαιρετέου

Ένας αριθμός όταν διαιρεθεί με το \(12\), δίνει πηλίκο \(45\) και υπόλοιπο \(7\). Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

  1. Πρόβλημα με Ημέρες (Περιοδικότητα)

Αν σήμερα είναι Πέμπτη, τι μέρα θα είναι μετά από \(150\) ημέρες;

Λύση

Βήμα 1: Κατανοούμε το πρόβλημα

Ξέρουμε ότι η εβδομάδα επαναλαμβάνεται κάθε \(7\) ημέρες. Δηλαδή, αν σήμερα είναι Πέμπτη, μετά από \(7\) ημέρες θα είναι πάλι Πέμπτη, μετά από \(14\) ημέρες πάλι Πέμπτη, και ούτω καθεξής.

Για να βρούμε τι μέρα θα είναι μετά από \(150\) ημέρες, πρέπει να δούμε πόσες ολόκληρες εβδομάδες χωράνε στο \(150\) και, κυρίως, πόσες ημέρες “περισσεύουν”.

Βήμα 2: Κάνουμε τη διαίρεση

Διαιρούμε το \(150\) με το \(7\):

\[150 : 7 = \dots\]

  • Το \(7\) στο \(15\) χωράει \(2\) φορές (\(2 \cdot 7 = 14\)).
  • \(15 - 14 = 1\) (υπόλοιπο \(1\)).
  • Κατεβάζουμε το \(0\), οπότε έχουμε \(10\).
  • Το \(7\) στο \(10\) χωράει \(1\) φορά (\(1 \cdot 7 = 7\)).
  • \(10 - 7 = 3\) (υπόλοιπο \(3\)).

Άρα: \[150 = (21 \cdot 7) + 3\]

Αυτό σημαίνει ότι σε \(150\) ημέρες θα έχουν περάσει \(21\) ολόκληρες εβδομάδες και θα περισσέψουν \(3\) ημέρες.

Βήμα 3: Μετράμε τις ημέρες που περίσσεψαν

Αφού οι \(21\) εβδομάδες μας ξαναφέρνουν στην ημέρα Πέμπτη, εμείς πρέπει να μετρήσουμε \(3\) ημέρες μετά την Πέμπτη:

  1. Παρασκευή (\(1\) ημέρα μετά)
  2. Σάββατο (\(2\) ημέρες μετά)
  3. Κυριακή (\(3\) ημέρες μετά)

Απάντηση:

Μετά από \(150\) ημέρες θα είναι Κυριακή.

  1. Βρείτε τον διαιρετέο \(\Delta\) αν ο διαιρέτης είναι \(18\), το πηλίκο \(16\) και το υπόλοιπο \(12\).
ΣυμβουλήΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!