10. Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

24 Ιούνιος 2026

Τροποποιημένο

2 Ιούλιος 2026

1 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων

1.1 Νόμος των Ημιτόνων

Θεωρία: Σε κάθε τρίγωνο \(ABΓ\) με πλευρές \(α, β, γ\) και αντίστοιχες γωνίες \(A, B, Γ\), ισχύει η σχέση: \[\frac{α}{ημ A} = \frac{β}{ημΒ} = \frac{γ}{ημΓ} = 2R\] όπου \(R\) είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απόδειξη:

  1. Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου \(ABΓ\) με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(R\).
  2. Φέρουμε τη διάμετρο \(BΔ = 2R\). Τότε το τρίγωνο \(BΔΓ\) είναι ορθογώνιο στη γωνία \(Γ\) (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο).
  3. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(BΔΓ\), η γωνία \(Δ\) είναι ίση με τη γωνία \(A\) (βαίνουν στο ίδιο τόξο \(BΓ\)).
  4. Έχουμε \(ημΔ = ημΑ = \dfrac{α}{2R}\), άρα \(\dfrac{α}{ημ A} = 2R\).
  5. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύονται οι σχέσεις για τις άλλες πλευρές.

Παράδειγμα:

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση αναλογίας των ημιτόνων για υπολογισμούς στοιχείων σε τρίγωνο.

Σε τρίγωνο \(ABΓ\) δίνονται \(A = 30^\circ, \ \ \ α = 5\) και \(B = 45^\circ\). Να βρεθεί η πλευρά \(β\).

Λύση:

\(\dfrac{5}{ημ 30^\circ} = \dfrac{β}{ημ 45^\circ} \Rightarrow \dfrac{5}{1/2} = \dfrac{β}{\sqrt{2}/2} \Rightarrow 10 = \dfrac{2\beta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \beta = 5\sqrt{2}\).

1.2 Νόμος των Συνημιτόνων

Θεωρία: Σε κάθε τρίγωνο \(AB\Gamma\) ισχύουν οι σχέσεις:

  1. \(α^2 = β^2 + γ^2 - 2βγ συν A\)
  2. \(β^2 = α^2 + γ^2 - 2αγ συν B\)
  3. \(γ^2 = α^2 + β^2 - 2αβ συνΓ\)

Απόδειξη:

  1. Τοποθετούμε το τρίγωνο σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με την κορυφή \(A\) στο \((0,0)\) και την πλευρά \(γ\) πάνω στον άξονα \(x\).

  2. Οι συντεταγμένες των κορυφών είναι: \(A(0,0)\), \(B(γ, 0)\), \(Γ(β συν A, β ημ A)\).

  3. Χρησιμοποιούμε τον τύπο της απόστασης για την πλευρά \(α\) (απόσταση \(BΓ\)):

\(α^2 = (γ-β συν A )^2 + (β ημ A - 0)^2\)

  1. \(α^2 = γ^2+β^2 συν^2 A - 2βγ συν A + β^2 ημ^2 A \Rightarrow\)

\(α^2 = γ^2+β^2 (συν^2 A+ημ^2Α) - 2βγ συν A\)

  1. Επειδή \(ημ^2 A + συν^2 A = 1\), προκύπτει: \(α^2 = β^2 + γ^2 - 2βγ συν A\).

Παράδειγμα:

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των συνημιτόνων για υπολογισμούς στοιχείων σε τρίγωνο.

Σε τρίγωνο \(ABΓ\) είναι \(β = 3, γ = 5\) και \(A = 60^\circ\).

Να βρεθεί η πλευρά \(\alpha\).

Λύση:

\(α^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) συν 60^\circ \Rightarrow\)

\(α^2 = 9 + 25 - 30(0.5) \Rightarrow\)

\(α^2 = 34 - 15 = 19 \Rightarrow α = \sqrt{19}\).

1.3 Ασκήσεις

  1. Στο παρακάτω τρίγωνο, όπου οι γωνίες είναι \(64^\circ\) και \(70^\circ\) και οι απέναντι πλευρές είναι \(α\) και \(β\) αντίστοιχα, να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων.

  2. Σε ένα τρίγωνο \(ABΓ\) με σημείο \(Δ\) επί της πλευράς \(BΓ\):

  • α) Να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο \(ABΔ\), αν η γωνία \(\widehat{ΒΑΔ} = 30^\circ\) .

  • β) Να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο \(AΔΓ\), αν η γωνία \(\widehat{ΓΑΔ} = 45^\circ\) και η γωνία \(\widehat{ΓΔΑ} = 88^\circ\).

  1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (\(\Sigma\)), αν είναι σωστές ή με (\(\Lambda\)), αν είναι λανθασμένες:

κάντε τα σχήματα σύμφωνα με τα δεδομένα.

  • α) Σε κάθε τρίγωνο \(ABΓ\) ισχύει \(α \cdot ημΓ = γ \cdot ημΑ\)……………………………………………………..\([\ \quad \quad \quad ]\).

  • β) Αν σε τρίγωνο \(ABΓ\) είναι \(\hat{B} = 40^\circ, \hat{Γ} = 80^\circ\), τότε \(\dfrac{β}{ημ 40^\circ} = \dfrac{α}{ημ 60^\circ}\) ……………………..\([\ \quad \quad \quad ]\).

  • γ) Σε κάθε τρίγωνο \(ABΓ\) ισχύει \(2βγ συν A = β^2 + γ^2 - α^2\) …………………………………………\([\ \quad \quad \quad ]\).

  • δ) Αν σε τρίγωνο \(ABΓ\) είναι \(\hat{A} = 50^\circ\), τότε ισχύει \(α^2 = β^2 + γ^2 - 2 \ β \ γ \ συν 50^\circ\) ……..\([\ \quad \quad \quad ]\).

  • ε) Αν σε τρίγωνο \(ABΓ\) είναι \(\hat{A} = 120^\circ\), τότε ισχύει \(α^2 = β^2 + γ^2 + βγ\) …………………….\([\ \quad \quad \quad ]\).

  1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων για ένα τρίγωνο με πλευρές \(a, β, γ\) και γωνίες \(\hat{A} = 50^\circ\) απέναντι από την πλευρά \(α\) και \(\hat Γ=70^ο\) απέναντι από την πλευρά \(γ\):

κάντε τα σχήματα σύμφωνα με τα δεδομένα.

  • \(α^2 = \dots\)

  • \(β^2 = \dots\)

  • \(γ^2 = \dots\)

  1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

κάντε τα σχήματα σύμφωνα με τα δεδομένα.

  • α) Η γωνία \(\hat B\) σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με πλευρές \(AB=7, BΓ=8 \text{ και } ΑΓ=9\) υπολογίζεται με τον νόμο των ……………… από την ισότητα …………………………

  • β) Η πλευρά \(ΑΓ\) σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με πλευρές \(ΑΒ=6, ΒΓ=9\) και περιεχόμενη γωνία \(45^\circ\) υπολογίζεται με τον νόμο των …………… από την ισότητα ………………

  • γ) Η γωνία \(\hat Γ\) σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με πλευρές \(ΑΒ=5, ΑΓ=5, ΒΓ=8\) υπολογίζεται με τον νόμο των ……………. από την ισότητα …. …………

  • δ) Η πλευρά \(AB\) σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες \(\hat A=50^\circ, \hat Γ=80^\circ\) και πλευρά ΑΓ=10 cm υπολογίζεται με τον νόμο των …………………. από την ισότητα ……………..

  1. Να υπολογίσετε το \(x\) στα παρακάτω τρίγωνα:

κάντε τα σχήματα σύμφωνα με τα δεδομένα.

  • α) Τρίγωνο με πλευρές \(5\) και \(x\) και απέναντι γωνίες \(60^\circ\) και \(45^\circ\) αντίστοιχα.

  • β) Τρίγωνο με πλευρά \(20\) απέναντι από γωνία \(120^\circ\), και πλευρά \(x\) απέναντι από γωνία \(30^\circ\).

  • γ) Τρίγωνο με πλευρές \(10\) και \(x\) και απέναντι γωνίες \(75^\circ\) και \(30^\circ\) αντίστοιχα.

  1. Να υπολογίσετε το \(x\) στα παρακάτω τρίγωνα (εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων):

κάντε τα σχήματα σύμφωνα με τα δεδομένα

  • α) Τρίγωνο με πλευρές \(6\) και \(9\) και περιεχόμενη γωνία \(60^\circ\).

  • β) Τρίγωνο με πλευρές \(4\sqrt{2}\) και \(5\) και περιεχόμενη γωνία \(135^\circ\).

  • γ) Τρίγωνο με πλευρές \(7\) και \(8\) και περιεχόμενη γωνία \(45^\circ\).

  1. Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου \(ABΓ\), όταν:

  • α) \(α = 3\), \(β = 3\sqrt{3}\) και \(\hat{A} = 30^\circ\).

  • β) \(β = \sqrt{2}\), \(γ = 2\) και \(\hat{Γ} = 45^\circ\).

  1. Αν σε τρίγωνο \(ABΓ\) είναι \(\hat{A} = 45^\circ\), \(α = 2\sqrt{2}\) και \(β = 2\), τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

  2. Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής \(x=ΔΓ\) ενός τελεφερίκ που ξεκινά από την ΑΡΧΗ ΤΕΛΕΦΕΡΙΚ , σε σημείο που απέχει \(ΔΕ=400\) m από τη βάση του βουνού, αν η γωνία της κορυφής είναι \(ΔΓΕ=10^\circ\) και η γωνία της κλίσης της διαδρομής ως προς το οριζόντιο έδαφος είναι \(ΕΔΓ=30^\circ\).


  3. Ένας μαθητής λέει ότι βρήκε ένα τρίγωνο \(ABΓ\) με \(α = 5\), \(β = 15\) και \(\hat{A} = 120^\circ\). Γιατί ο καθηγητής του είπε ότι είναι αδύνατο να υπάρχει τέτοιο τρίγωνο;

  4. Δύο δυνάμεις \(F_1, F_2\) έχουν συνισταμένη \(F = 20\) N. Η δύναμη \(F_1\) σχηματίζει με τη συνισταμένη \(F\) γωνία \(30^\circ\), ενώ η δύναμη \(F_2\) σχηματίζει με τη συνισταμένη \(F\) γωνία \(45^\circ\).

Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων \(F_1\) και \(F_2\).

  1. Ένας τοπογράφος θέλει να μετρήσει το ύψος ενός πύργου. Από το σημείο \(A\) μετράει τη γωνία ανύψωσης \(40^\circ\). Μετακινείται κατά \(20\) m πλησιέστερα προς τον πύργο (σημείο \(B\)) και μετράει γωνία \(55^\circ\). Αν το γωνιόμετρο βρίσκεται σε ύψος \(1.5\) m από το έδαφος, ποιο είναι το ύψος του πύργου;

  2. Να υπολογίσετε τά \(λ\) και \(θ\) στις παρακάτω περιπτώσεις :

  • α) Τρίγωνο με πλευρές \(2\sqrt{3}, 4\) και γωνία \(30^\circ\) μεταξύ τους.

  • β) Τρίγωνο με πλευρές \(5, 6\) και \(8\).

  • γ) Τρίγωνο με πλευρές \(4, 7\) και γωνία \(120^\circ\) μεταξύ τους.

  • δ) Τρίγωνο με πλευρές \(10, 11\) και \(15\).

  1. Να υπολογίσετε τις ίσες πλευρές \(\beta, \gamma\) ισοσκελούς τριγώνου \(AB\Gamma\), αν η γωνία \(\hat{A} = 90^\circ\) και η βάση \(\alpha = 6\sqrt{2}\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Σε κύκλο με ακτίνα \(R = 8\) cm, η χορδή \(AB\) αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \(60^\circ\). Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής \(AB\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Να υπολογίσετε τις διαγωνίους παραλληλογράμμου \(ABΓΔ\) με πλευρές \(AB = 5\), \(BΓ = 4\) και γωνία \(\hat{A} = 60^\circ\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Μια εταιρεία θέλει να κατασκευάσει σήραγγα μεταξύ των σημείων \(A\) και \(B\). Ένας μηχανικός μετράει από το σημείο \(M\) την απόσταση \(MA = 200\) m, \(MB = 150\) m και τη γωνία \(\widehat{AMB} = 60^\circ\). Να υπολογίσετε το μήκος της σήραγγας \(AB\).

  2. Ένας τεχνικός στηρίζει μια μεταλλική κατασκευή με δύο βέργες \(AB = 0.50\) m και \(BΓ = 1.20\) m. Αν η γωνία μεταξύ τους είναι \(120^\circ\), να υπολογίσετε το μήκος της τρίτης πλευράς \(AΓ\) που απαιτείται για να κλείσει το τρίγωνο.

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Σε ένα τρίγωνο \(ΑΒΓ\), αν μια πλευρά είναι \(6\) και η απέναντι γωνία της \(50^\circ\), υπολογίστε την πλευρά \(x\) που βρίσκεται απέναντι από γωνία \(45^\circ\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Σε τρίγωνο με πλευρές \(10\) και \(5\), αν η γωνία απέναντι από την πλευρά \(5\) είναι \(30^\circ\), βρείτε τη γωνία \(x\) που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά \(10\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Δίνονται οι πλευρές \(α = 5\), \(β= \sqrt{3}\) και η γωνία \(\hat{B} = 50^\circ\). Υπολογίστε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου.

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) δίνονται \(β = 7\) cm, \(γ = 5\) cm και η περιεχόμενη γωνία \(\hat{A} = 60^\circ\). Βρείτε την πλευρά \(α\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) οι πλευρές είναι \(α = \sqrt{13}\), \(β = 4\) και \(γ = 3\). Υπολογίστε τη γωνία \(\hat{A}\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει η σχέση \(α^2 = β^2 + γ^2 - βγ\sqrt{3}\), βρείτε το μέτρο της γωνίας \(\hat{A}\).

  2. Σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) δίνονται \(α = 3\), \(β = 5\) και η γωνία \(\hat{Γ} = 135^\circ\). Υπολογίστε την πλευρά \(γ\).

κάντε το σχήμα σύμφωνα με τα δεδομένα

  1. Σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι \(α = 2γ\) και \(β = γ\sqrt{7}\). Υπολογίστε τη γωνία \(\hat{B}\).

  2. Βρείτε την πλευρά \(x\) ενός τριγώνου όταν οι άλλες δύο πλευρές είναι \(3\) και \(4\) και η περιεχόμενη γωνία τους είναι \(60^\circ\).

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

Συμβουλή
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!