09. Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

1 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας \(\theta\) (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη) συνδέονται μεταξύ τους με θεμελιώδεις σχέσεις που προκύπτουν από τους ορισμούς τους σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

1.1 Θεμελιώδεις Σχέσεις

Οι κυριότερες σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας \(\theta\) (όπου \(0^\circ < \theta < 90^\circ\)) είναι οι εξής:

1. \(ημ^2θ + συν^2θ = 1\): Το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας ισούται πάντοτε με τη μονάδα. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται με τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος σε ορθογώνιο τρίγωνο.
   

   \(ημθ=\dfrac{β}{α}\Rightarrow ημ^2θ=\dfrac{β^2}{α^2}\)

   \(συνθ=\dfrac{γ}{α}\Rightarrow ημ^2θ=\dfrac{γ^2}{α^2}\)

   άρα \(ημ^2θ+συν^2θ=\dfrac{β^2}{α^2}+\dfrac{γ^2}{α^2}=\dfrac{β^2+γ^2}{α^2}=\dfrac{α^2}{α^2}=1\)

   και \(\dfrac{ημθ}{συνθ}=\dfrac{\dfrac{β}{α}}{\dfrac{γ}{α}}=\dfrac{β}{γ}=εφθ\)

2. \(εφθ = \dfrac{ημθ}{συνθ}\): Η εφαπτομένη μιας γωνίας ισούται με το λόγο του ημιτόνου της προς το συνημίτονό της.

3. Σχέση Συμπληρωματικών Γωνιών: Αν δύο οξείες γωνίες \(\hat{B}\) και \(\hat{\Gamma}\) είναι συμπληρωματικές (δηλαδή \(B + \Gamma = 90^\circ\)), τότε το ημίτονο της μίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης (\(ημ B = συνΓ\) και \(συν B = ημΓ\)).

1.2 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Χαρακτηριστικών Γωνιών

Οι τιμές για τις γωνίες \(30^\circ\), \(45^\circ\) και \(60^\circ\) υπολογίζονται γεωμετρικά και συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα:

Γωνία \(\theta\)	\(\eta\mu\theta\)	\(\sigma\upsilon\nu\theta\)	\(\epsilon\phi\theta\)
\(30^\circ\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(\sqrt{3}/3\)
\(45^\circ\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(1\)
\(60^\circ\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}\)

Εδώ θα βρείτε τους τριγωνομετρικούς πίνακες

1.3 Παραδείγματα και Εφαρμογές

• Υπολογισμός με βάση τη σχέση ημιτόνου-συνημιτόνου: Αν γνωρίζουμε ότι \(ημθ = 0,6\), μπορούμε να βρούμε το συνημίτονο χρησιμοποιώντας τη σχέση \(ημ^2θ + συν^2θ = 1\). Έτσι, \(0,6^2 + συν^2θ = 1 \Rightarrow 0,36 + συν^2θ = 1 \Rightarrow συν^2θ = 0,64 \Rightarrow συνθ = 0,8\).

• Η γωνία \(30^\circ\) στο ορθογώνιο τρίγωνο: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία \(30^\circ\), η απέναντι κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Αυτό εξηγεί γιατί \(ημ 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).

• Εύρεση εφαπτομένης: Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι \(3\) και \(4\), τότε η εφαπτομένη της γωνίας \(θ\) που είναι απέναντι από την πλευρά \(3\) είναι \(εφθ = \dfrac{3}{4} = 0,75\).

• Ταυτότητες: Μπορεί να αποδειχθεί ότι η παράσταση \(συν^2θ(1 + εφ^2θ)\) ισούται με \(1\), αφού \(1 + εφ^2θ = 1 + \dfrac{ημ^2θ}{συν^2θ} = \dfrac{συν^2θ + ημ^2θ}{συν^2θ} = \dfrac{1}{συν^2}\).

Για οξείες γωνίες, οι τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου βρίσκονται πάντα μεταξύ \(0\) και \(1\) (\(0 < ημθ < 1\) και \(0 < συνθ < 1\)), ενώ η εφαπτομένη μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή.

1.4 Ασκήσεις

1. Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει \(συνω=-\dfrac{3}{5}\) , τότε να υπολογιστούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

Από την ταυτότητα \(ημ^2θ + συν^2θ = 1 \Rightarrow ........\)

2. Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει \(εφω = 10\), τότε να υπολογιστούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

Από την ταυτότητα \(εφθ = \dfrac{ημθ}{συνθ} \Rightarrow ........\) και μετά από την \(ημ^2θ + συν^2θ = 1 \Rightarrow ........\)

3. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες:

• α) \((ημx + συνx)^2 - 2ημxσυνx = 1\)
• β) \((ημ x + συν x)^2 + (ημ x - συν x)^2 + εφ^2x = \dfrac{1}{συν^2x} + 1\)

Βοήθεια

1. Αριστερό Μέλος: Ξεκίνα αναπτύσσοντας τις δύο ταυτότητες \((α+β)^2\) και \((α-β)^2\) στην αρχή.
2. Απλοποίηση: Θα δεις ότι κάποιοι όροι διαγράφονται και εμφανίζεται το \(ημ^2x + συν^2x\), το οποίο ισούται με \(1\).
3. Εφαπτομένη: Θυμήσου ότι \(εφ^2x = \dfrac{ημ^2x}{συν^2x}\).
4. Σύγκριση: Στο τέλος, προσπάθησε να φέρεις την παράσταση στη μορφή που έχει το δεξί μέλος.

4. Αν για μια οξεία γωνία \(x\) γνωρίζουμε ότι \(ημ x = 0,4\), να υπολογίσετε το \(συν x\) χρησιμοποιώντας τη σχέση \(ημ^2 x + συν^2 x = 1\) καθώς και την \(εφx\).

5. Αν σε μια οξεία γωνία \(\theta\) ισχύει \(συν θ = \dfrac{5}{13}\) να βρείτε την \(εφθ\).

6. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο \(ABΓ\) (\(\hat{A}=90^\circ\)) ισχύει: \(\dfrac{ημ B + συνΓ}{ημΓ + συν B} = εφ B\).

7. Να απλοποιήσετε την παράσταση \(A = ημ^2 α (1 + \dfrac{1}{εφ^2α}) + συν^2 α (1 + εφ^2 α)\) και να δείξετε ότι ισούται με \(2\).

8. Αν \(ημ 65^\circ = συν x\), να υπολογίσετε την τιμή της οξείας γωνίας \(x\).

9. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις:

• (α) \(συν 50^\circ = ημ \dots\) και
• (β) \(ημ 10^\circ = συν \dots\).

10. Να αποδείξετε ότι αν \(α + β = 90^\circ\), τότε \(ημ^2 α + ημ^2 β = 1\).

11. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: \(S = ημ 30^\circ \cdot συν 60^\circ + συν 30^\circ \cdot ημ 60^\circ\).

12. Να δείξετε ότι \((ημ 30^\circ)^2 + (ημ 45^\circ)^2 + (ημ 60^\circ)^2 = \dfrac{3}{2}\).

13. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \((εφ 30^\circ)^2 + (εφ 45^\circ)^2 + (εφ 60^\circ)^2\).

14. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία \(\omega\) αν γνωρίζετε ότι \(4εφ ω = 4\).

15. Να βρείτε την οξεία γωνία \(x\) που επαληθεύει την εξίσωση \(2συν x - 1 = 0\).

16. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία \(30^\circ\), η απέναντι κάθετη πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

17. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με \((\Sigma)\), αν είναι σωστές ή με \((\Lambda)\), αν είναι λανθασμένες:

• α) Αν \(ημ^2ω = \dfrac{7}{10}\), τότε \(συν^2 ω = \dfrac{3}{10}\) \(\quad \ \ \ [\quad \quad \quad ]\).

• β) Αν \(ημω = 0\), τότε \(εφω\) ισούται πάντα με \(1\) \(\quad \ \ \ [\quad \quad \quad ]\).

• γ) Για κάθε γωνία \(ω\) ισχύει \(ημ^2ω + συν^2ω = 1\) \(\quad \ \ \ [\quad \quad \quad ]\).

• δ) Αν \(ημω = \dfrac{3}{5}\) και \(συνω = \dfrac{4}{5}\), τότε \(εφω = \dfrac{4}{3}\) \(\quad \ \ \ [\quad \quad \quad ]\).

18. Η Μαρία ισχυρίζεται ότι μπορεί να βρει μια γωνία \(ω\) τέτοια ώστε \(ημω = 1\) και \(συνω = 1\). Έχει δίκιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα \(ημ^2ω + συν^2ω = 1\).

19. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

• α) Αν \(συνω = 1\), τότε \(ημω =\) ………..

• β) Αν \(συνω = 0\), τότε \(ημω =\) ……….. ή ………..

20. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Αν \(ημω = \dfrac{12}{13}\), τότε το \(συνω\) είναι ίσο με:

• α) \(\dfrac{1}{13}\)

• β) \(\dfrac{5}{13}\)

• γ) \(\dfrac{5}{13}\) ή \(-\dfrac{5}{13}\)

• δ) \(\dfrac{12}{5}\) ή \(-\dfrac{12}{5}\)

21. Αν για την οξεία γωνία \(\omega\) ισχύει \(ημω = \dfrac{3}{5}\), τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \(\omega\).

22. Αν για την αμβλεία γωνία \(\omega\) ισχύει \(συνω = -\dfrac{4}{5}\), τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \(\omega\).

23. Αν για την οξεία γωνία \(\omega\) ισχύει \(εφω= \dfrac{5}{12}\), τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \(\omega\).

24. Αν για την αμβλεία γωνία \(\omega\) ισχύει \(ημω = \dfrac{12}{13}\), τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \[B = 2ημω - 5συνω + 12εφω\]

25. Να αποδείξετε ότι:

• α) \(συν^3ω + συνω \cdot ημ^2ω = συνω\)
• β) \(ημ^2ω - ημ^4ω = ημ^2ω \cdot συν^2ω\)

26. Αν είναι \(x = 4συνω\) και \(y = 4ημω\), τότε να αποδείξετε ότι:

\(x^2 + y^2 = 16\)

27. Να αποδείξετε ότι:

• α) \(1 - 2ημ^2α = συν^2α - ημ^2α\)
• β) \((ημα \cdot ημβ)^2 + (ημα \cdot συνβ)^2 + συν^2α = 1\)

28. Να αποδείξετε ότι:

• α) \((ημω + συνω)^2 - 2ημω \cdot συνω = 1\)
• β) \((α \cdot ημω - β \cdot συνω)^2 + (α \cdot συνω + β \cdot ημω)^2 = α^2 + β^2\)

29. Να αποδείξετε ότι:

• α) \(\dfrac{1}{συν^2x} - εφ^2x = 1\)
• β) \(\dfrac{ημ x}{1 + συν x} + \dfrac{1 + συν x}{ημ x} = \dfrac{2}{ημ x}\)

30. Να αποδείξετε ότι:

• α) \(\dfrac{συν^2x}{1 - ημ x} = 1 + ημ x\)
• β) \(\dfrac{ημ x \cdot συν x}{1 - ημ^2x} = εφ x\)

31. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

• α) \(ημ^2 40^\circ + ημ^2 50^\circ\)

(Υπόδειξη: \(50^\circ = 90^\circ - 40^\circ\))

• β) \(συν 20^\circ + συν 160^\circ\)

32. Να αποδείξετε ότι:

• α) \(εφ 30^\circ \cdot συν 30^\circ - ημ 30^\circ = 0\)
• β) \(ημ^2 150^\circ + συν^2 30^\circ = 1\)

33. Αν είναι \(α = 45^\circ\) και \(β = 45^\circ\), τότε να αποδείξετε ότι: \[ημα \cdot συνβ + συνα \cdot ημβ = 1\]

34. Μια γωνία \(\omega\) είναι αμβλεία. Αν το ημίτονό της είναι \(ημω = \dfrac{\kappa}{\kappa+1}\) και το συνημίτονό της είναι \(συνω = -1\), ποια είναι η γωνία \(\omega\) και ποια η τιμή του \(\kappa\);

(Υπόδειξη: Σκεφτείτε τις γωνίες \(90^\circ, 180^\circ\)).

---

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

Συμβουλή

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!