04. Ομοιοθεσία

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

24 Ιούνιος 2026

Τροποποιημένο

25 Ιούνιος 2026

1 Ομοιοθεσία

Η ομοιοθεσία είναι ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός του χώρου (ή του επιπέδου) που ορίζεται με τη βοήθεια ενός σταθερού σημείου \(O\) (κέντρο ομοιοθεσίας) και ενός σταθερού αριθμού \(\lambda \neq 0\) (λόγος ομοιοθεσίας).

1.1 Α. Θεωρία της Ομοιοθεσίας

1. Ορισμός και Βασική Σχέση Σε κάθε σημείο \(M\) του χώρου αντιστοιχίζεται ένα σημείο \(M'\) (το ομόθετο του \(M\)), έτσι ώστε να αληθεύει η σχέση: \[{OM'} = \lambda \cdot {OM}\] Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία \(O, M, M'\) είναι πάντοτε συνευθειακά.

2. Είδη Ομοιοθεσίας

  • Θετική ομοιοθεσία (\(\lambda > 0\)): Τα διανύσματα \(\vec{OM}\) και \(\vec{OM'}\) είναι ομόρροπα, δηλαδή τα \(M\) και \(M'\) βρίσκονται στην ίδια ημιευθεία με αρχή το \(O\). Ονομάζεται επίσης εξωτερική ομοιοθεσία.
  • Αρνητική ομοιοθεσία (\(\lambda < 0\)): Τα διανύσματα είναι αντίρροπα και το κέντρο \(O\) βρίσκεται ανάμεσα στα \(M\) και \(M'\). Ονομάζεται επίσης εσωτερική ομοιοθεσία.
  • Διαστολή και Συστολή: Αν \(|\lambda| > 1\), το ομόθετο σχήμα είναι μεγέθυνση του αρχικού (διαστολή), ενώ αν \(|\lambda| < 1\), είναι σμίκρυνση (συστολή).

3. Ειδικές Περιπτώσεις

  • Αν \(\lambda = 1\), η ομοιοθεσία είναι ταυτοτική (κάθε σημείο απεικονίζεται στον εαυτό του).
  • Αν \(\lambda = -1\), η ομοιοθεσία ταυτίζεται με τη συμμετρία ως προς κέντρο το \(O\).
  • Το κέντρο \(O\) είναι το μοναδικό αμετάβλητο σημείο (για \(\lambda \neq 1\)), καθώς απεικονίζεται πάντα στον εαυτό του.

Εξετάστε τις παραπάνω περιπτώσεις αλλάζοντας την τιμή του λ (δρομέα). Επιλέξτε τον δρομέα (κλίκ) και με τα βέλη ή < αλλάξτε την τιμή. Για πιο μικρές αλλαγές κρατήστε συνχρόνως πατημένο και το
Τι συμβαίνει όταν λ>1;
Τι συμβαίνει όταν 0<λ<1;
Τι συμβαίνει όταν λ=1;
Τι συμβαίνει όταν λ=0;
Τι συμβαίνει όταν -1<λ<0;
Τι συμβαίνει όταν λ<-1;

1.2 Β. Ομόθετα Σχήματα και Ιδιότητες

  • Ευθεία: Το ομόθετο μιας ευθείας \(\epsilon\) είναι μια ευθεία \(\epsilon'\) παράλληλη προς αυτήν. Αν η ευθεία διέρχεται από το κέντρο \(O\), τότε το ομόθετό της συμπίπτει με την ίδια την ευθεία.

Αλλάξτε την τιμή του λ. Αλλάξτε την θέση της ευθείας αλλάζοντας την θέση των Α και Β.

  • Τμήμα: Το ομόθετο ενός τμήματος \({ΑΒ}\) είναι το τμήμα \({Α'Β'} = \lambda \cdot{ΑΒ}\). Ο λόγος των μηκών τους είναι \(|Α'Β'| = |\lambda|\cdot |ΑΒ|\).

Στο προηγούμενο λάβετε υπόψιν μόνο το τμήμα ΑΒ

  • Επίπεδο: Το ομόθετο ενός επιπέδου είναι ένα επίπεδο παράλληλο προς το αρχικό.

Αλλάξτε την θέση των σημείων Β (λόγος) και Ο (κέντρο) Περιστρέψτε αν θέλετε το σχήμα (δεξί κλικ και σύρσιμο)

  • Γωνίες: Η ομοιοθεσία διατηρεί το μέτρο των γωνιών (επίπεδων και δίεδρων). Οι ομόλογες γωνίες είναι ίσες.

Αλλάξτε το λ (λόγο). Αλλάξτε τα Α,Β και Γ για να αλλάξετε θέση και μορφή της γωνίας Τι συμβαίνει όταν 0<λ<1; Τι συμβαίνει όταν λ<0;

  • Κύκλος και Σφαίρα: Το ομόθετο κύκλου (ή σφαίρας) ακτίνας \(R\) είναι κύκλος (ή σφαίρα) ακτίνας \(R' = |\lambda|\cdot R\), με κέντρο το ομόθετο του αρχικού κέντρου.

Για τον κύκλο: Αλλάξτε το λ Μετακινήστε τα Α και Κ

Για την σφαίαρα: Σύρατε το Β (λόγος) Σύρατε τα Κ και Α , ΚΑ= ακτίνα της σφαίρας Ο κέντρο ομοιοθεσίας.

  • Λόγος Εμβαδών και Όγκων: Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοθέτων σχημάτων είναι \(\lambda^2\), ενώ ο λόγος των όγκων δύο ομοθέτων στερεών είναι \(\lambda^3\).

  • Στο τρίγωνο

  • Ομοιοθεσία με κέντρο την κορυφή: Αν σε ένα τρίγωνο \(ΑΒΓ\) πάρουμε τα μέσα \(Β'\) και \(Γ'\) των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα, το τρίγωνο \(ΑΒ'Γ'\) είναι ομοιόθετο του \(ΑΒΓ\) με κέντρο ομοιοθεσίας την κορυφή \(Α\) και λόγο \(\lambda = 1/2\). Σε αυτή την περίπτωση, η πλευρά \(Β'Γ'\) είναι παράλληλη προς τη βάση \(ΒΓ\) και ίση με το μισό της.

Κάντε το σχήμα

  • Ομοιοθεσία σε τριγωνική πυραμίδα: Αν θεωρήσουμε μια τριγωνική πυραμίδα \(ΟΑΒΓ\) και πάρουμε τα μέσα \(Α', Β', Γ'\) των ακμών \(ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ\), τότε το τρίγωνο \(Α'Β'Γ'\) είναι ομοιόθετο του \(ΑΒΓ\) με κέντρο την κορυφή της πυραμίδας \(Ο\) και λόγο \(\lambda = 1/2\).

Κάντε το σχήμα

  • Κατασκευή ομοιόθετου τριγώνου: Για να κατασκευάσουμε το ομοιόθετο ενός τριγώνου \(ΑΒΓ\) με κέντρο ένα τυχαίο σημείο \(Ο\) και λόγο π.χ. \(\lambda = 1.5\), ακολουθούμε τα εξής βήματα:
    1. Χαράσσουμε τις ημιευθείες (ακτίνες ομοιοθεσίας) \(ΟΑ, ΟΒ\) και \(ΟΓ\).
    2. Προσδιορίζουμε το σημείο \(Α'\) πάνω στην \(ΟΑ\) τέτοιο ώστε \(ΟΑ' = 1.5 \cdot ΟΑ\).
    3. Από το \(Α'\) φέρνουμε την \(Α'Β' // ΑΒ\) και από το \(Β'\) την \(Β'Γ' // ΒΓ\).
    4. Το τρίγωνο \(Α'Β'Γ'\) που προκύπτει είναι ομοιόθετο του αρχικού.

Δείτε την περίπτωση της γωνίας. Θεωρήστε και το τμήμα ΒΓ και έχετε το τρίγωνο ΑΒΓ.

Βασικές ιδιότητες στο παράδειγμα αυτό:

  • Οι ομόλογες πλευρές των δύο τριγώνων είναι παράλληλες.
  • Οι ομόλογες γωνίες των δύο τριγώνων παραμένουν ίσες.
  • Ο λόγος των πλευρών τους είναι ίσος με τον λόγο της ομοιοθεσίας (\(\dfrac{A'B'}{AB} = \lambda\)), ενώ ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιοθεσίας (\(\lambda^2\)).

1.3 Γ. Παραδείγματα και Εφαρμογές

  1. Ομόθετη Πυραμίδα: Αν κόψουμε μια πυραμίδα με ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση της, η νέα πυραμίδα που σχηματίζεται στην κορυφή είναι ομόθετη της αρχικής με κέντρο την κορυφή της πυραμίδας.
  2. Κατασκευή Ομοθέτου Τετραγώνου: Για να βρούμε το ομόθετο ενός τετραγώνου \(ΑΒΓΔ\) με κέντρο \(O\) και λόγο \(\lambda=2\), βρίσκουμε τα ομόθετα των κορυφών του (\(OA'=2OA\), \(OB'=2OB\) κ.λπ.) και σχηματίζουμε το τετράγωνο \(Α'Β'Γ'Δ'\), που θα έχει πλευρά διπλάσια του αρχικού. Το ίδιο κάνουμε και για οποιοδήποτε άλλο τετράπλευρο ή πολύγωνο γενικότερα.
  3. Ομοιότητα και Ομοιοθεσία: Δύο σχήματα (π.χ. δύο κύβοι ή δύο σφαίρες) είναι όμοια όταν το ένα μπορεί να γίνει ομόθετο του άλλου με μια κατάλληλη μετατόπιση. Για παράδειγμα, όλες οι σφαίρες είναι μεταξύ τους όμοιες και ο λόγος ομοιότητάς τους είναι ο λόγος των ακτίνων τους.
  4. Κέντρο Βάρους Τριγώνου: Το κέντρο βάρους \(G\) ενός τριγώνου \(ΑΒΓ\) διαιρεί κάθε διάμεσο (π.χ. \(ΑΑ'\)) σε λόγο \(2:1\), έτσι ώστε \(\vec{GA'} = -\dfrac{1}{2} \vec{GA}\). Αυτό σημαίνει ότι το σημείο \(A'\) είναι ομόθετο του \(A\) με κέντρο \(G\) και λόγο \(\lambda = -1/2\).

2 Ασκήσεις

Α. Βασικές Έννοιες και Ορισμοί

  1. Προσδιορισμός Εικόνας: Σε μια ομοιοθεσία με κέντρο \(O\) και λόγο \(\lambda=3\), αν ένα σημείο \(M\) απέχει από το κέντρο \(2\text{ cm}\), ποια είναι η απόσταση του ομοθέτου σημείου \(M'\) από το κέντρο;
  2. Θέση Σημείων: Αν ο λόγος ομοιοθεσίας είναι \(\lambda=-2\), πού βρίσκεται το κέντρο \(O\) σε σχέση με τα σημεία \(M\) και \(M'\); Πώς ονομάζεται αυτή η ομοιοθεσία;
  3. Συνευθειακά Σημεία: Δίνεται κέντρο ομοιοθεσίας \(K\) και ένα σχήμα \((\sigma)\). Αν \(A\) και \(B\) είναι δύο σημεία του σχήματος, εξηγήστε γιατί τα σημεία \(K, A, A'\) (όπου \(A'\) το ομόθετο του \(A\)) είναι πάντα συνευθειακά.
  4. Αμετάβλητα Σημεία: Ποιο είναι το μοναδικό σημείο του χώρου που απεικονίζεται στον εαυτό του σε μια ομοιοθεσία με λόγο \(\lambda=1,5\);
  5. Ειδικές Τιμές Λόγου: Για ποια τιμή του λόγου \(\lambda\) η ομοιοθεσία ταυτίζεται με την κεντρική συμμετρία ως προς το κέντρο \(O\);
  6. Αντίστροφη Ομοιοθεσία: Αν μια ομοιοθεσία έχει κέντρο \(O\) και λόγο \(\lambda=4\), ποιος είναι ο λόγος της αντίστροφης ομοιοθεσίας που επαναφέρει τα σημεία στην αρχική τους θέση;

Β. Ομόθετα Σχήματα και Ιδιότητες

  1. Μήκος Ευθύγραμμου Τμήματος: Ένα ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) έχει μήκος \(10\text{ cm}\). Ποιο θα είναι το μήκος του ομοθέτου τμήματος \(A'B'\) αν ο λόγος ομοιοθεσίας είναι \(\lambda=0,5\);
  2. Παραλληλία Ευθειών: Μια ευθεία \((\epsilon)\) διέρχεται από το κέντρο ομοιοθεσίας \(O\). Ποια είναι η θέση της ομόθετης ευθείας \((\epsilon')\) ως προς την αρχική;
  3. Ομόθετος Κύκλος: Ένας κύκλος έχει ακτίνα \(R=4\text{ cm}\). Αν ο λόγος ομοιοθεσίας είναι \(\lambda=2,5\), ποια θα είναι η ακτίνα \(R'\) του ομοθέτου κύκλου;
  4. Διατήρηση Γωνιών: Ένα τρίγωνο \(ΑΒΓ\) έχει γωνίες \(40^\circ, 60^\circ\) και \(80^\circ\). Αν κατασκευάσουμε το ομόθετο τρίγωνο \(Α'Β'Γ'\) με λόγο \(\lambda=2\), ποιες θα είναι οι γωνίες του νέου τριγώνου;
  5. Ομόθετα Επίπεδα: Στο χώρο, αν ένα επίπεδο \((\rho)\) δεν διέρχεται από το κέντρο \(O\), ποια είναι η γεωμετρική σχέση του \((\rho)\) με το ομόθετο επίπεδο \((\rho')\);

Γ. Λόγοι Εμβαδών και Όγκων

  1. Εμβαδόν Τετραγώνου: Ένα τετράγωνο έχει πλευρά \(5\text{ cm}\). Ποιο είναι το εμβαδό του ομοθέτου του αν ο λόγος ομοιοθεσίας είναι \(\lambda=3\);
  2. Σχέση Εμβαδών: Αν ο λόγος ομοιοθεσίας δύο σχημάτων είναι \(\lambda=1/4\), ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους;
  3. Όγκος Κύβου: Ένας κύβος έχει ακμή \(a=2\text{ cm}\). Αν ο λόγος ομοιοθεσίας είναι \(\lambda=2\), ποιος θα είναι ο όγκος του ομοθέτου κύβου;
  4. Σχέση Όγκων: Δύο στερεά είναι ομόθετα με λόγο \(\lambda=5\). Πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο όγκος του δεύτερου στερεού σε σχέση με το πρώτο;

Δ. Σύνθετες Ασκήσεις και Κατασκευές

  1. Κατασκευή Τριγώνου: Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και σημείο \(O\) εκτός αυτού. Σχεδιάστε το ομόθετο τρίγωνο \(Α'Β'Γ'\) με λόγο \(\lambda=1,5\) (εξωτερική ομοιοθεσία).
  2. Μέσα Πλευρών Τριγώνου: Σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) παίρνουμε τα μέσα \(Δ, Ε, Ζ\) των πλευρών \(ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ\). Εξηγήστε γιατί το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ομόθετο του \(ΑΒΓ\) με κέντρο την κορυφή \(Α\) και προσδιορίστε το λόγο. Το ΒΔΖ είναι ομοιόθετο του ΑΒΓ; με τι λόγο;
  3. Ομόθετη Πυραμίδα: Μια πυραμίδα κόβεται από επίπεδο παράλληλο προς τη βάση της που διέρχεται από το μέσο του ύψους της. Ποιος είναι ο λόγος ομοιοθεσίας της νέας μικρής πυραμίδας ως προς την αρχική;
  4. Διαστολή και Συστολή: Αν η εικόνα \(A'B'\) ενός τμήματος \(AB\) είναι μικρότερη από το αρχικό τμήμα (\(A'B' < AB\)), τι είδους ομοιοθεσία έχουμε και τι γνωρίζετε για την απόλυτη τιμή του λόγου \(\lambda\);

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

Συμβουλή
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!