22. Έννοια της πιθανότητας

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

15 Ιούνιος 2026

Τροποποιημένο

16 Ιούνιος 2026

1 Έννοια της πιθανότητας

1.1 Θεωρία

Η θεωρία των πιθανοτήτων είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μέτρηση της αβεβαιότητας που χαρακτηρίζει πολλά φαινόμενα της καθημερινής ζωής, όπου δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια το τελικό αποτέλεσμα (π.χ. η ακριβής θερμοκρασία της επόμενης ημέρας ή το αποτέλεσμα ενός διαγωνίσματος).

Ορισμός και Υπολογισμός Πιθανότητας

Σε δειγματικούς χώρους με ισοπίθανα στοιχεία (όπου κάθε αποτέλεσμα έχει την ίδια πιθανότητα να συμβεί), η μαθηματική πιθανότητα ενός ενδεχομένου \(A\) ορίζεται ως ο λόγος:

\[P(A) = \frac{\text{πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων}}{\text{πλήθος δυνατών περιπτώσεων}}\]

Βασικές Ιδιότητες:

  • Για κάθε ενδεχόμενο \(A\), ισχύει: \(0 \le P(A) \le 1\).

  • Η πιθανότητα του βέβαιου γεγονότος είναι 1 και του αδύνατου 0.

  • Για το αντίθετο ενδεχόμενο \(A'\), ισχύει: \(P(A') = 1 - P(A)\).

Πράξεις με Πιθανότητες

  • Κανόνας Πρόσθεσης (Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα): Αν δύο ενδεχόμενα \(A\) και \(B\) είναι ασυμβίβαστα (ξένα μεταξύ τους, δηλαδή δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα), η πιθανότητα να συμβεί το ένα ή το άλλο είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους: \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\)

  • Κανόνας Πολλαπλασιασμού (Ανεξάρτητα ενδεχόμενα): Δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα όταν η πραγματοποίηση του ενός δεν επηρεάζει την πιθανότητα του άλλου. Τότε, η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο ταυτόχρονα είναι το γινόμενο των πιθανοτήτων τους: \(P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)\)

  • Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α U Β) + Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

Παραδείγματα Εφαρμογής

  1. Ρίψη Ζαριού: Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε περιττό αριθμό;
    • Δυνατές περιπτώσεις: 6 (\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)).
    • Ευνοϊκές περιπτώσεις: 3 (\(\{1, 3, 5\}\)).
    • Πιθανότητα: \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) (ή 50%).
  2. Τράπουλα: Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε έναν άσσο από μια τράπουλα 52 φύλλων;
    • Δυνατές περιπτώσεις: 52.
    • Ευνοϊκές περιπτώσεις: 4 (οι τέσσερις άσσοι).
    • Πιθανότητα: \(P = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\).
  3. Ρίψη Δύο Ζαριών: Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των ενδείξεων να είναι 7;
    • Δυνατές περιπτώσεις: \(6 \times 6 = 36\).
    • Ευνοϊκές περιπτώσεις: 6 (\(\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}\)).
    • Πιθανότητα: \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
  4. Ανεξάρτητα Γεγονότα: Ρίχνουμε ένα ζάρι και ένα νόμισμα. Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει “6” στο ζάρι και “Κορώνα” στο νόμισμα;
    • \(P(\text{6}) = \dfrac{1}{6}\) και \(P(\text{Κ}) = \dfrac{1}{2}\).
    • Επειδή τα πειράματα είναι ανεξάρτητα: \(P = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{{12}\).

1.2 Ασκήσεις

  1. Σε ποιο από τα παρακάτω πειράματα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα;
  • α) Από ένα κουτί που περιέχει 15 μπάλες, από τις οποίες 5 είναι μπλε, 5 κόκκινες και 5 κίτρινες, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της.
  • β) Από ένα κουτί που περιέχει 10 μπάλες, από τις οποίες 6 είναι μπλε, 3 κόκκινες και 1 κίτρινη, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της.
  • γ) Από τη λέξη «πίνακας» επιλέγουμε ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι.
  • δ) Από τη λέξη «μήλο» επιλέγουμε ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι.
  1. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα γράμμα από τη λέξη «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ», τότε η πιθανότητα να επιλέξουμε το γράμμα «Α» είναι:
  • α) \(\dfrac{1}{10}\)
  • β) \(\dfrac{3}{10}\)
  • γ) \(\dfrac{2}{5}\)
  • δ) \(\dfrac{1}{5}\)
  1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.
  • α) Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α μπορεί να είναι \(P(A) = 0,05\).
  • β) Αν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι \(45\%\), τότε γράφουμε \(P(A) = 0,45\).
  • γ) Το βέβαιο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα \(0\) και το αδύνατο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα \(1\).
  • δ) Αν η πιθανότητα να κερδίσω σε ένα παιχνίδι είναι \(15\%\), τότε η πιθανότητα να χάσω είναι \(75\%\).
  1. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Α είναι \(P(A) = \dfrac{1}{6}\), τότε η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α (αντίθετο ενδεχόμενο) είναι:
  • α) \(\dfrac{1}{6}\)
  • β) \(\dfrac{5}{6}\)
  • γ) \(\dfrac{1}{5}\)
  • δ) \(\dfrac{6}{5}\)

  1. Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουν \(P(A) = \dfrac{3}{10}\), \(P(B) = \dfrac{4}{10}\) και \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}\). Ένας μαθητής υπολόγισε ότι \(P(A \cup B) = \dfrac{8}{10}\). Είναι σωστή η απάντησή του; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας.

  2. Επιλέγουμε στην τύχη έναν ακέραιο αριθμό από το 1 έως και το 20. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι: α) περιττός, β) πολλαπλάσιο του 5;

  3. Σε μια κλήρωση υπάρχουν 800 λαχνοί από τους οποίους κερδίζει ο ένας. Πόση % πιθανότητα έχει να κερδίσει κάποιος που αγόρασε 4 λαχνούς;

  4. Σε μια τράπουλα 52 φύλλων υπάρχουν 4 άσοι. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα φύλλο, ποια είναι η πιθανότητα να μην είναι άσος;

  5. Σε ένα κουτί υπάρχουν 10 μπάλες, από τις οποίες οι 3 είναι κόκκινες, 4 είναι πράσινες και 3 είναι μπλε. Βγάζουμε στην τύχη μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες:

  • Α: Η μπάλα να είναι πράσινη.
  • Β: Η μπάλα να μην είναι κόκκινη.
  • Γ: Η μπάλα να είναι πράσινη ή μπλε.

Λύση

    1. \(P(A) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\).
    1. \(P(B) = 1 - P(\text{κόκκινη}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}\).
    1. \(P(\Gamma) = P(\text{πράσινη}) + P(\text{μπλε}) = \dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}\).
  1. Έστω ότι επιλέγουμε έναν μαθητή από μια τάξη 20 ατόμων οπου τα δεδομένα της βαθμολογίας τους στο τεστ είναι: 10 άτομα έγραψαν 10, 6 άτομα έγραψαν 15 και 4 άτομα έγραψαν 18. Ποια η πιθανότητα ο μαθητής να έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 15;

Λύση

    1. Μαθητές με βαθμό \(\ge 15\) είναι \(6 + 4 = 10\).
    1. Πιθανότητα: \(\dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}\).
  1. Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις δύο φορές το ίδιο αποτέλεσμα;

Ευνοϊκά \(\{ΚΚ, ΓΓ\}\), άρα 2 αποτελέσματα. Πιθανότητα: ………..

  1. Ρίχνουμε ένα ζάρι μία φορά. Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε αριθμό μεγαλύτερο του 4.

Ευνοϊκά: \(\{5, 6\}\), άρα 2 αποτελέσματα. Πιθανότητα: ………….

  1. Σε μια ομάδα 20 ατόμων, 5 έχουν διαβάσει ένα βιβλίο. Αν επιλέξουμε δύο άτομα διαδοχικά χωρίς επανατοποθέτηση, ποια είναι η πιθανότητα το δεύτερο άτομο να έχει διαβάσει το βιβλίο, αν το πρώτο είχε διαβάσει;

Αφού το πρώτο άτομο έχει διαβάσει, έμειναν 19 άτομα συνολικά και 4 που έχουν διαβάσει. Πιθανότητα: ……………

  1. Η πιθανότητα να βρέξει είναι διπλάσια από την πιθανότητα να μην βρέξει. Ποια είναι η πιθανότητα να βρέξει;

Έστω \(x\) η πιθανότητα να μην βρέξει. Τότε \(2x\) είναι η πιθανότητα να βρέξει. \(x + 2x = 1\) . Πιθανότητα να βρέξει: ………………

  1. Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουν \(P(A) = \dfrac{4}{10}, P(B) = \dfrac{3}{10}\) και \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}\). Να βρείτε την \(P(A \cup B)\).

  2. Αν \(P(A) = \dfrac{5}{10}, P(B) = \dfrac{4}{10}\) και \(P(A \cup B) = \dfrac{7}{10}\), να βρείτε την \(P(A \cap B)\).

  3. Η πιθανότητα να ξέρει κάποιος Ισπανικά είναι \(30\%\), Γερμανικά \(20\%\) και και τις δύο γλώσσες \(10\%\). Ποια η πιθανότητα να ξέρει μία τουλάχιστον από τις δύο;

  4. Σε ένα τμήμα 30 μαθητών, 20 έχουν κινητό, 15 έχουν τάμπλετ και 10 έχουν και τα δύο. Αν επιλέξουμε έναν μαθητή, ποια η πιθανότητα να έχει μόνο κινητό ή μόνο τάμπλετ;

Μόνο κινητό: \(20 - 10 = 10\). Μόνο τάμπλετ: \(15 - 10 = 5\). Σύνολο ευνοϊκών: ……………. Πιθανότητα: ……………

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!