17. Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

1 Ιούνιος 2026

Τροποποιημένο

2 Ιούνιος 2026

1 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

1.1 Θεωρία

Η αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους συνίσταται στην εύρεση του συνόλου των κοινών λύσεών τους, δηλαδή των διατεταγμένων ζευγών (x, y) που επαληθεύουν ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις. Επειδή η γραφική επίλυση δεν παρέχει πάντα απόλυτη ακρίβεια, χρησιμοποιούνται αριθμητικές (αλγεβρικές) μέθοδοι που μετατρέπουν το σύστημα σε ισοδύναμο της μορφής x = α, y = β.

Αλγεβρικές Μέθοδοι Επίλυσης

Κάθε αλγεβρική μέθοδος χωρίζεται ουσιαστικά σε τρία στάδια:

  1. Δημιουργία ενός ισοδύναμου συστήματος όπου η μία εξίσωση περιέχει μόνο έναν άγνωστο.
  2. Επίλυση αυτής της εξίσωσης με τον έναν άγνωστο.
  3. Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε στην άλλη εξίσωση για τον υπολογισμό του δεύτερου αγνώστου.

1.2 Οι βασικότερες μέθοδοι είναι οι εξής:

  1. Μέθοδος της Αντικατάστασης (Substitution): Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε την έκφραση αυτή στην άλλη εξίσωση. Η μέθοδος αυτή προτιμάται συχνά όταν ένας από τους αγνώστους έχει συντελεστή 1 ή -1.

Παράδειγμα

Να λυθεί το σύστημα:

\(\begin{cases} x - 2y + 17 = 0 \quad (1)\\ 3x + y + 16 = 0 \quad (2) \end{cases}\)

Αναλυτική Λύση

Στάδιο 1ο: Επίλυση της μίας εξίσωσης ως προς έναν άγνωστο

Επιλέγουμε την εξίσωση (1) και λύνουμε ως προς \(x\), καθώς έχει συντελεστή τη μονάδα:

\(x - 2y + 17 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 2y - 17}\) (3)

Στάδιο 2ο: Αντικατάσταση στην άλλη εξίσωση

Αντικαθιστούμε την έκφραση του \(x\) από την εξίσωση (3) στην εξίσωση (2):

\(3(2y - 17) + y + 16 = 0\)

Στάδιο 3ο: Επίλυση της εξίσωσης με έναν άγνωστο

Τώρα έχουμε μια πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο μόνο το \(y\). Εκτελούμε τις πράξεις:

  • Επιμεριστική ιδιότητα: \(6y - 51 + y + 16 = 0\)
  • Αναγωγή ομοίων όρων: \(7y - 35 = 0\)
  • Χωρισμός γνωστών από αγνώστους: \(7y = 35\)
  • Διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου: \(y = \dfrac{35}{7} \Rightarrow \mathbf{y = 5}\)

Στάδιο 4ο: Υπολογισμός του δεύτερου αγνώστου

Αντικαθιστούμε την τιμή \(y = 5\) στην εξίσωση (3) για να βρούμε το \(x\):

\(x = 2 \cdot 5 - 17\) \(x = 10 - 17 \Rightarrow \mathbf{x = -7}\)

Τελικό Αποτέλεσμα

Η λύση του συστήματος είναι το διατεταγμένο ζεύγος αριθμών \((-7, 5)\).

Επαλήθευση:

Για \(x = -7\) και \(y = 5\) έχουμε:

  • Εξίσωση (1): \(-7 - 2(5) + 17 = -7 - 10 + 17 = 0\) (Ισχύει)
  • Εξίσωση (2): \(3(-7) + 5 + 16 = -21 + 21 = 0\) (Ισχύει)
  1. Μέθοδος της Σύγκρισης (Comparison): Λύνουμε και τις δύο εξισώσεις ως προς τον ίδιο άγνωστο και εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη τους, δημιουργώντας μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο.

Παράδειγμα

Να λυθεί το σύστημα:

\(\begin{cases} x - 2y + 17 = 0 \quad (1)\\ 3x + y + 16 = 0 \quad (2) \end{cases}\)

Αναλυτική Λύση

Στάδιο 1ο: Επίλυση και των δύο εξισώσεων ως προς τον ίδιο άγνωστο

Επιλέγουμε να λύσουμε και τις δύο εξισώσεις ως προς \(y\) (θα μπορούσαμε και ως προς \(x\)):

  • Από την (1): \(-2y = -x - 17 \Rightarrow \mathbf{y = \dfrac{x + 17}{2}}\) (3)
  • Από την (2): \(\mathbf{y = -3x - 16}\) (4)

Στάδιο 2ο: Εξίσωση των δύο εκφράσεων (Σύγκριση)

Εφόσον και οι δύο εκφράσεις (3) και (4) είναι ίσες με το \(y\), πρέπει να είναι και ίσες μεταξύ τους: \[\frac{x + 17}{2} = -3x - 16\]

Στάδιο 3ο: Επίλυση της προκύπτουσας εξίσωσης με έναν άγνωστο

Λύνουμε την εξίσωση ως προς \(x\):

  • Πολλαπλασιάζουμε με το 2 για να διώξουμε τον παρονομαστή: \(x + 17 = 2(-3x - 16)\)
  • Εκτελούμε την πράξη: \(x + 17 = -6x - 32\)
  • Χωρίζουμε αγνώστους από γνωστούς: \(x + 6x = -32 - 17\)
  • Αναγωγή όμοιων όρων: \(7x = -49\)
  • Διαίρεση με τον συντελεστή: \(x = \dfrac{-49}{7} \Rightarrow \mathbf{x = -7}\)

Στάδιο 4ο: Υπολογισμός του δεύτερου αγνώστου

Αντικαθιστούμε την τιμή \(x = -7\) σε μία από τις αρχικές εκφράσεις του \(y\) (π.χ. στην εξίσωση 4):

  • \(y = -3(-7) - 16\)
  • \(y = 21 - 16 \Rightarrow \mathbf{y = 5}\)

Τελικό Αποτέλεσμα

Η λύση του συστήματος είναι το διατεταγμένο ζεύγος \((-7, 5)\).

Επαλήθευση:

Αντικαθιστώντας τις τιμές \(x = -7\) και \(y = 5\) στις αρχικές εξισώσεις, διαπιστώνουμε ότι επαληθεύονται πλήρως:

  • (1): \(-7 - 2(5) + 17 = -7 - 10 + 17 = 0\) (Αληθεύει)
  • (2): \(3(-7) + 5 + 16 = -21 + 21 = 0\) (Αληθεύει)
  1. Μέθοδος των Αντίθετων Συντελεστών ή Γραμμικού Συνδυασμού: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές ενός αγνώστου να γίνουν αντίθετοι. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη, οπότε ο ένας άγνωστος απαλείφεται.

Να λυθεί το σύστημα:

\(\begin{cases} x - 2y + 17 = 0 \quad (1)\\ 3x + y + 16 = 0 \quad (2) \end{cases}\)

Αναλυτική Λύση

Στάδιο 1ο: Πολλαπλασιασμός για τη δημιουργία αντίθετων συντελεστών

Επιλέγουμε να απαλείψουμε τον άγνωστο \(y\). Παρατηρούμε ότι στην εξίσωση (1) ο συντελεστής του \(y\) είναι \(-2\), ενώ στην (2) είναι \(+1\).

  • Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης (1) επί 1.
  • Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης (2) επί 2.

Προκύπτει το ισοδύναμο σύστημα:

\(\begin{cases} x - 2y + 17 = 0 \quad (1')\\ 6x + 2y + 32 = 0 \quad (2') \end{cases}\)

Στάδιο 2ο: Πρόσθεση των εξισώσεων κατά μέλη (Απαλοιφή)

Προσθέτουμε τις εξισώσεις (1’) και (2’) κατά μέλη:

\((x + 6x) + (-2y + 2y) + (17 + 32) = 0 + 0\)

\(7x + 49 = 0\)

Στάδιο 3ο: Επίλυση της εξίσωσης με έναν άγνωστο

Λύνουμε ως προς \(x\):

\(7x = -49\) \(x = \dfrac{-49}{7} \Rightarrow \mathbf{x = -7}\)

Στάδιο 4ο: Υπολογισμός του δεύτερου αγνώστου

Για να βρούμε τον άγνωστο \(y\), μπορούμε είτε να επαναλάβουμε τη διαδικασία απαλείφοντας το \(x\), είτε να αντικαταστήσουμε την τιμή \(x = -7\) σε μια από τις αρχικές εξισώσεις (π.χ. στην εξίσωση 2):

\(3(-7) + y + 16 = 0\) \(-21 + y + 16 = 0\) \(y - 5 = 0 \Rightarrow \mathbf{y = 5}\)

Τελικό Αποτέλεσμα

Η λύση του συστήματος είναι το διατεταγμένο ζεύγος \((-7, 5)\).

Επαλήθευση:

Αντικαθιστούμε \(x = -7\) και \(y = 5\) στις αρχικές εξισώσεις:

  • (1): \(-7 - 2(5) + 17 = -7 - 10 + 17 = 0\) (Αληθεύει)
  • (2): \(3(-7) + 5 + 16 = -21 + 5 + 16 = 0\) (Αληθεύει)
  1. Μέθοδος των Οριζουσών (Cramer): Το σύστημα επιλύεται με τη χρήση της ορίζουσας του συστήματος (\(D\)) και των οριζουσών των αγνώστων (\(D_x, D_y\)). Αν \(D \neq 0\), η μοναδική λύση δίνεται από τους τύπους \(x = \dfrac{D_x}{D}\) και \(y =\dfrac{D_y}{D}\).

Θεωρία: Ο Κανόνας του Cramer

Για ένα γραμμικό σύστημα της μορφής:

\(\begin{cases} \alpha x + \beta y = \gamma \quad(1)\\ \alpha' x + \beta' y = \gamma' \quad(2)\end{cases}\)

  1. Ορίζουσα του συστήματος (\(\Delta\) ή \(D\)): Περιλαμβάνει τους συντελεστές των αγνώστων:

\(\Delta = \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \alpha' & \beta' \end{vmatrix} = \alpha\beta' - \alpha'\beta\).

  1. Ορίζουσα του \(x\) (\(\Delta_x\) ή \(D_x\)):

Αντικαθιστούμε τους συντελεστές του \(x\) με τους σταθερούς όρους: \(\Delta_x = \begin{vmatrix} \gamma & \beta \\ \gamma' & \beta' \end{vmatrix} = \gamma\beta' - \gamma'\beta\).

  1. Ορίζουσα του \(y\) (\(\Delta_y\) ή \(D_y\)):

Αντικαθιστούμε τους συντελεστές του \(y\) με τους σταθερούς όρους:

\(\Delta_y = \begin{vmatrix} \alpha & \gamma \\ \alpha' & \gamma' \end{vmatrix} = \alpha\gamma' - \alpha'\gamma\).

Αν \(\Delta \neq 0\), το σύστημα έχει μοναδική λύση που δίνεται από τους τύπους: \(x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}\) και \(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}\).

Παράδειγμα

Να λυθεί το σύστημα:

\(\begin{cases} 2x - 3y = 12 \quad(1)\\ 3x + 2y = 5 \quad (2) \end{cases}\)

Αναλυτική Λύση

Στάδιο 1ο: Υπολογισμός της ορίζουσας του συστήματος (\(\Delta\))

\[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (3 \cdot (-3)) = 4 - (-9) = 4 + 9 = \mathbf{13}\] Επειδή \(\Delta = 13 \neq 0\), το σύστημα έχει μοναδική λύση.

Στάδιο 2ο: Υπολογισμός της ορίζουσας του \(x\) (\(\Delta_x\))

Αντικαθιστούμε την πρώτη στήλη (συντελεστές του \(x\)) με τους σταθερούς όρους \(12\) και \(5\): \[\Delta_x = \begin{vmatrix} 12 & -3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (12 \cdot 2) - (5 \cdot (-3)) = 24 - (-15) = 24 + 15 = \mathbf{39}\]

Στάδιο 3ο: Υπολογισμός της ορίζουσας του \(y\) (\(\Delta_y\))

Αντικαθιστούμε τη δεύτερη στήλη (συντελεστές του \(y\)) με τους σταθερούς όρους \(12\) και \(5\):

\[\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 12 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 5) - (3 \cdot 12) = 10 - 36 = \mathbf{-26}\]

Στάδιο 4ο: Εύρεση των τιμών \(x\) και \(y\)

  • \(x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{39}{13} \Rightarrow \mathbf{x = 3}\)

  • \(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-26}{13} \Rightarrow \mathbf{y = -2}\)

Τελικό Αποτέλεσμα

Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \((3, -2)\).

Επαλήθευση: Αντικαθιστούμε στις αρχικές εξισώσεις:

  • (1): \(2(3) - 3(-2) = 6 + 6 = 12\) (Ισχύει)

  • (2): \(3(3) + 2(-2) = 9 - 4 = 5\) (Ισχύει)

1.3 Διερεύνηση Λύσεων

Ένα γραμμικό σύστημα

\(\begin{cases} \alpha x + \beta y = \gamma \\ \alpha'x + \beta'y = \gamma'\end{cases}\)

μπορεί να είναι:

  • Συμβιβαστό ή Δυνατό: Έχει μοναδική λύση όταν οι συντελεστές των αγνώστων δεν είναι ανάλογοι (\(\dfrac{\alpha}{\alpha'} \neq \dfrac{\beta}{\beta'}\)).

    • Αδύνατο: Δεν έχει καμία λύση όταν οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι μεταξύ τους αλλά όχι με τους σταθερούς όρους (\(\dfrac{\alpha}{\alpha'} = \dfrac{\beta}{\beta'} \neq \dfrac{\gamma}{\gamma'}\)).
    • Αόριστο: Έχει άπειρες λύσεις όταν όλοι οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι είναι ανάλογοι (\(\dfrac{\alpha}{\alpha'} = \dfrac{\beta}{\beta'} = \dfrac{\gamma}{\gamma'}\)).

1.4 Ασκήσεις

  1. Με τη μέθοδο της αντικατάστασης: Λύστε το σύστημα:

\(\begin{cases}5x - 7y = 2 \\ y = 2x + 1 \end{cases}\) (Λύση: x = -1, y = -1)

  1. Με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών: Λύστε το σύστημα:

\(\begin{cases} 4x + 7y = 11 \\ 6x - 10y = -4\end{cases}\) (Λύση: x = 1, y = 1)

  1. Σύστημα με κλάσματα: Λύστε το σύστημα:

\(\begin{cases} \dfrac{2x+y}{3} = 5 \\ \dfrac{3x-y}{5} = 1 \end{cases}\) (Υπόδειξη: Απαλείψτε πρώτα τους παρονομαστές)

  1. Διερεύνηση: Προσδιορίστε για ποιες τιμές του \(k\) το σύστημα είναι αδύνατο:

\(\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x - 6y = k \end{cases}\) (Απάντηση: Για κάθε \(k \neq 3\))

Να λύσετε τα συστήματα

  1. \(\begin{cases} x + 3y = 1 \\ 2x + y = 27 \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases}2x - 5y = 25 \\ 3x + y = 12 \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases}x + 7y = 42 \\ y - 3x = 6 \end{cases}\)

  4. \(\begin{cases} 4x + 3y = 44 \\ 2x - y = 12 \end{cases}\)

  5. \(\begin{cases}3x + 2y + 1 = 0 \\ 5x - y + 32 = 0\end{cases}\)

  6. \(\begin{cases}2x - y = 3 \\ x + 3y = 5 \end{cases}\)

  7. \(\begin{cases}3x - 4y - 5 = 0 \\ 2x - 5y + 10 = 0 \end{cases}\)

  8. \(\begin{cases} 7x - 3y = 14 \\ 5x + y = 10 \end{cases}\)

  9. \(\begin{cases}0,3x + 0,5y = 4,7 \\ 0,9x - 0,2y = 2,2\end{cases}\)

  10. \(\begin{cases}2,4x = 1,7y + 0,1 \\ 3,2x = 2,3y - 0,1 \end{cases}\)

  11. \(\begin{cases}4,9y = 3,2x + 1,9 \\ 3,5y = 2,4x + 0,9 \end{cases}\)

  12. \(\begin{cases}0,7x - 0,9y = 1 \\ 0,5x + 0,7y = 7\end{cases}\)

  13. \(\begin{cases}0,8x - 0,3y = 0,34 \\ 0,5x + 0,7y = 7\end{cases}\)

  14. \(4,1x - 4,8y = 0,17\) και \(0,32y - 0,84x = 0,1\)

  1. \(\begin{cases}\dfrac{2x+y}{3} = 5 \\ \dfrac{3x-y}{5} = 1\end{cases}\)

  2. \(\begin{cases}\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{2} = 1 \\ 2x - 5y = -2\end{cases}\)

  3. \(\begin{cases}\dfrac{7x+4y}{5} = \dfrac{5x+1}{2} \\ \dfrac{15x+13y}{8} = \dfrac{7x-1}{5} \end{cases}\)

  4. \(\begin{cases}\dfrac{3x-y+2}{2} = \dfrac{x+2y}{5} \\ \dfrac{x-2y-3}{3} = \dfrac{2x-y}{2}\end{cases}\)

  5. \(\begin{cases}\dfrac{x+3y}{5} - \dfrac{2x-y}{4} = 2y + \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{2x+5y}{4} + \dfrac{x-y}{3} = x - 3\end{cases}\)

  6. \(\begin{cases}3x - 2y = 5 \\ 9x - 6y = 1 \end{cases}\)

  7. \(\begin{cases}8x - 4y = 1 \\ 6x - 3y = -4 \end{cases}\)

  8. \(\begin{cases}x - 2y = 1 \\ 3x - 6y = 8 \end{cases}\)

  9. \(\begin{cases}2x + 5y = -1 \\ -10x - 25y = 5 \end{cases}\)

  10. \(\begin{cases}x + 3y = 4 \\ 5x + 15y = 20\end{cases}\)

  11. \(\begin{cases}x - 2y = 5 \\ 3x - 6y = 15\end{cases}\)

Προβλήματα που λύνονται με συστήματα

  1. Άθροισμα και διαφορά αριθμών: Να βρεθούν δύο αριθμοί οι οποίοι έχουν άθροισμα 5 και διαφορά 4.
  2. Ηλικίες πατέρα και γιου: Το άθροισμα των ηλικιών ενός πατέρα και του γιου του είναι σήμερα 74 έτη. Να βρεθούν οι ηλικίες τους, αν γνωρίζουμε ότι μετά από 3 έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου.
  3. Ηλικίες αδελφών: Ο Πέτρος είναι σήμερα κατά 8 χρόνια μεγαλύτερος από τον αδελφό του Γιάννη. Μετά από 6 χρόνια οι ηλικίες τους θα έχουν λόγον όπως ο 11 προς τον 9. Να βρείτε τις ηλικίες των δύο αδελφών.
  4. Σχέσεις δύο αριθμών (Α): Δύο αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε το διπλάσιο του πρώτου και το τριπλάσιο του δευτέρου ισούται με 52. Αν από το διπλάσιο του δευτέρου αφαιρέσουμε τον πρώτον, βρίσκουμε 16. Ποιοι είναι οι αριθμοί;
  5. Σχέσεις δύο αριθμών (Β): Να βρεθούν δύο αριθμοί οι οποίοι έχουν διαφορά 9 και το τριπλάσιο του μεγαλύτερου μείον το διπλάσιο του μικρότερου δίνει τον αριθμό 32.
  6. Λόγος και πρόσθεση: Να βρεθούν δύο αριθμοί των οποίων ο λόγος είναι 1:4, αν δε στον μεγαλύτερο προσθέσουμε τον αριθμό 8, βρίσκουμε το πενταπλάσιο του μικρότερου.
  7. Διαστάσεις ορθογωνίου: Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 120 m και η διαφορά των δύο προσκείμενων πλευρών του είναι 4 m. Να βρεθεί το εμβαδόν του.
  8. Μαθητές και θρανία: Αν σε κάθε θρανίο μιας τάξης καθίσουν 2 μαθητές, μένουν όρθιοι 3. Αν όμως καθίσουν 3 σε κάθε θρανίο, μένουν 5 θρανία κενά. Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών και των θρανίων.
  9. Τα μήλα των φίλων: Ο Γιάννης λέει στον Κώστα: «αν μου δώσεις ένα μήλο, θα έχω διπλάσια από τα δικά σου». Ο Κώστας του απαντά: «αν μου δώσεις 3 μήλα, τότε θα έχεις τα τετραπλάσια από τα δικά μου». Πόσα μήλα έχει ο καθένας;
  10. Πορτοκάλια και καφάσια: Ένας φρουτέμπορος γέμισε 63 ομοιόμορφα καφάσια με πορτοκάλια και του περίσσεψε 1 κιλό. Αν είχε ακόμα 47 κιλά, θα γέμιζε ακριβώς 67 καφάσια. Πόσα κιλά πορτοκάλια είχε και πόσα κιλά χωράει κάθε καφάσι;
  11. Εύρεση κλάσματος: Να βρεθεί ένα κλάσμα τέτοιο ώστε, αν προσθέσουμε και στους δύο όρους του τον αριθμό 4 να γίνει ίσο με 2/3, ενώ αν αφαιρέσουμε και από τους δύο όρους του το 1 να γίνει ίσο με 1/2.
  12. Άνδρες και γυναίκες σε εκδρομή: Σε μια εκδρομή οι γυναίκες ήταν 5 λιγότερες από τους άνδρες. Οι άνδρες πλήρωσαν συνολικά 1800 €. και οι γυναίκες 800 €. Να βρεθεί πόσοι ήταν οι άνδρες και οι γυναίκες, αν κάθε άνδρας πλήρωσε 40 δρχ. περισσότερα από κάθε γυναίκα.
  13. Κίνηση κινητών: Δύο πόλεις Α και Β απέχουν 800 km. Δύο κινητά ξεκινώντας ταυτόχρονα, αν κινούνται με αντίθετη φορά συναντώνται μετά από 8 ώρες, ενώ αν κινούνται προς την ίδια φορά συναντώνται μετά από 30 ώρες. Να βρεθούν οι ταχύτητές τους.
  14. Αγορά και πώληση μόσχων: Ένας γεωργός αγόρασε δύο μόσχους συνολικά για 1.800 €.. Αργότερα τους πούλησε: για τον έναν έλαβε τα 5/4 της τιμής αγοράς του και για τον δεύτερο τα 5/9 αυτής. Αν το συνολικό του κέρδος από τη συναλλαγή ήταν 100 €., να βρεθεί πόσο αγόρασε τον κάθε μόσχο.
  15. Επένδυση κεφαλαίων με τόκο: Κάποιος επένδυσε δύο κεφάλαια με επιτόκια 5% και 7% αντίστοιχα, εισπράττοντας συνολικό ετήσιο τόκο 2.580 δρχ.. Αν αντάλλαζε τα επιτόκια μεταξύ των δύο κεφαλαίων, ο συνολικός τόκος θα αυξανόταν κατά 120 δρχ.. Να υπολογιστούν τα δύο κεφάλαια.
  16. Ανάμειξη υλικών (Βούτυρο και Λίπος): Ένας παντοπώλης διαθέτει βούτυρο που κοστίζει 25 €. το κιλό και λίπος που κοστίζει 5 €. το κιλό. Πόσα κιλά από το κάθε είδος πρέπει να αναμείξει ώστε να δημιουργήσει ένα μείγμα 200 κιλών που να κοστίζει 10 €. το κιλό;
  17. Αμοιβή και πρόστιμο εργάτη: Ένας εργάτης συμφώνησε να εκτελέσει ένα έργο σε 63 ημέρες. Για κάθε ημέρα εργασίας θα λάμβανε 80 €, ενώ για κάθε ημέρα απουσίας θα πλήρωνε πρόστιμο 100 €. Να βρεθεί πόσες ημέρες εργάστηκε αν τελικά εισέπραξε 3.060 €.
  18. Πωλήσεις Εισιτηρίων Σε μια θεατρική παράσταση κόπηκαν συνολικά 150 εισιτήρια.
  • Το κανονικό εισιτήριο κοστίζει 12€.
  • Το μειωμένο εισιτήριο κοστίζει 8€.
  • Οι συνολικές εισπράξεις ήταν 1.520€.

Πόσα κανονικά και πόσα μειωμένα εισιτήρια πουλήθηκαν;

  1. Ανάμειξη Διαλυμάτων (Χημεία) Ένας χημικός θέλει να δημιουργήσει 10 λίτρα ενός διαλύματος με περιεκτικότητα 35% σε οξύ. Έχει στο εργαστήριο δύο αρχικά διαλύματα:
  • Το πρώτο έχει περιεκτικότητα 20% σε οξύ.
  • Το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 50% σε οξύ.

Πόσα λίτρα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει;

  1. Θερμίδες και Διατροφή (Υγεία) Ένα γεύμα αποτελείται από δύο τροφές, την τροφή Α και την τροφή Β.
  • Κάθε γραμμάριο της τροφής Α δίνει 4 θερμίδες.
  • Κάθε γραμμάριο της τροφής Β δίνει 9 θερμίδες.
  • Το συνολικό βάρος του γεύματος είναι 200 γραμμάρια.
  • Το γεύμα αποδίδει συνολικά 1.100 θερμίδες.

Πόσα γραμμάρια από κάθε τροφή περιέχει το γεύμα;

  1. Συνδρομητικές Υπηρεσίες (Τεχνολογία) Μια εταιρεία προσφέρει δύο πακέτα συνδρομής, το Basic και το Premium.
  • Τον προηγούμενο μήνα είχε συνολικά 500 ενεργούς χρήστες.
  • Το πακέτο Basic κοστίζει 10€ τον μήνα.
  • Το πακέτο Premium κοστίζει 15€ τον μήνα.
  • Τα συνολικά έσοδα της εταιρείας ήταν 6.100€.

Πόσους συνδρομητές είχε κάθε πακέτο;

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!