12. Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

30 Μάιος 2026

1 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

1.1 Θεωρία

Οι εξισώσεις δευτέρου βαθμού (ή δευτεροβάθμιες εξισώσεις) με έναν άγνωστο είναι οι εξισώσεις που, μετά την εκτέλεση των πράξεων και τη μεταφορά όλων των όρων στο πρώτο μέλος, παίρνουν τη γενική μορφή: \(\alpha x^{2} + \beta x + \gamma = 0\).

Στον τύπο αυτό, το \(x\) είναι ο άγνωστος, ενώ οι αριθμοί \(\alpha, \beta, \gamma\) ονομάζονται συντελεστές. Απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι η εξίσωση δευτέρου βαθμού είναι ο συντελεστής του \(x^{2}\) να μην είναι μηδέν (\(\alpha \neq 0\)), διότι διαφορετικά η εξίσωση γίνεται πρώτου βαθμού.

1.2 1. Επίλυση Ελλιπών Εξισώσεων

Οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται ελλιπείς όταν ένας από τους συντελεστές \(\beta\) ή \(\gamma\) (ή και οι δύο) είναι ίσος με το μηδέν.

  • Περίπτωση \(\beta = 0\) και \(\gamma = 0\): Η εξίσωση έχει τη μορφή \(ax^{2} = 0\). Η μόνη λύση είναι η \(x = 0\), η οποία θεωρείται διπλή ρίζα.
    • Παράδειγμα: \(3x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0\).
  • Περίπτωση \(\gamma = 0\) (και \(\beta \neq 0\)): Η εξίσωση έχει τη μορφή \(\alpha x^{2} + \beta x = 0\). Λύνεται με την εξαγωγή του κοινού παράγοντα \(x\): \(x(ax + \beta) = 0\). Οι ρίζες είναι: \(x_{1} = 0\) και \(x_{2} = -\dfrac{\beta}{\alpha}\).
    • Παράδειγμα: \(3x^{2} - 5x = 0 \Rightarrow x(3x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0\) ή \(x = \frac{5}{3}\).
  • Περίπτωση \(\beta = 0\) (και \(\gamma \neq 0\)): Η εξίσωση έχει τη μορφή \(\alpha x^{2} + \gamma = 0 \Rightarrow x^{2} = -\dfrac{\gamma}{\alpha}\).
    • Αν το \(-\dfrac{\gamma}{\alpha} > 0\) (δηλαδή οι \(\alpha, \gamma\) είναι ετερόσημοι), η εξίσωση έχει δύο αντίθετες ρίζες: \(x = \pm \sqrt{-\dfrac{\gamma}{\alpha}}\).
      • Παράδειγμα: \(9x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{3}\).
    • Αν το \(-\dfrac{\gamma}{\alpha} < 0\) (δηλαδή οι \(\alpha, \gamma\) είναι ομόσημοι), η εξίσωση είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \(\mathbb{R}\), αφού το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό.
      • Παράδειγμα: \(2x^{2} + 5 = 0 \Rightarrow x^{2} = -\dfrac{5}{2}\) (Αδύνατη).

1.3 2. Επίλυση Πλήρους Εξίσωσης (\(\alpha x^{2} + \beta x + \gamma = 0\))

Η επίλυση της πλήρους εξίσωσης μπορεί νηα γίνει :

Α. Με την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου. Η μέθοδος της συμπλήρωσης τετραγώνου χρησιμοποιείται για τη μετατροπή ενός τριωνύμου σε διαφορά τετραγώνων, επιτρέποντας έτσι την ανάλυσή του σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων και την επίλυση της αντίστοιχης εξίσωσης.

Η Διαδικασία της Συμπλήρωσης Για να αναλυθεί ένα τριώνυμο της μορφής \(x^{2} + px + q\), ακολουθούνται τα εξής βήματα:

  1. Γράφουμε τον συντελεστή του πρωτοβάθμιου όρου (\(p\)) ως γινόμενο του 2 (π.χ. το \(p\) ως \(2 \cdot \dfrac{p}{2}\)).
  2. Προσθέτουμε και αφαιρούμε το τετράγωνο του δεύτερου παράγοντα, δηλαδή το \(\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}\). \[x^2+2\cdot\dfrac{p}{2}+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+q\]
  3. Οι πρώτοι τρεις όροι σχηματίζουν πλέον το ανάπτυγμα τετραγώνου ενός διωνύμου: \(\left(x + \dfrac{p}{2}\right)^{2}\).
  4. Το τριώνυμο παίρνει τη μορφή \(\left(x + \dfrac{p}{2}\right)^{2} - \left[\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2} - q\right]\), η οποία, αν η ποσότητα στην αγκύλη είναι θετική, αποτελεί διαφορά τετραγώνων και λύνεται περαιτέρω.

Παραδείγματα

  • Παράδειγμα 1: \(x^{2} - 8x + 15 = 0\)
    • Γράφουμε το \(8x\) ως \(2 \cdot 4x\).
    • Προσθαφαιρούμε το \(4^{2}=16\): \(x^{2} - 2 \cdot 4x + 16 - 16 + 15 = 0\).
    • Σχηματίζουμε το τετράγωνο: \((x - 4)^{2} - 1 = 0\).
    • Αναλύουμε ως διαφορά τετραγώνων: \((x - 4 + 1)(x - 4 - 1) = 0 \Rightarrow (x - 3)(x - 5) = 0\).
    • Οι ρίζες είναι \(x=3\) και \(x=5\).
  • Παράδειγμα 2: \(x^{2} - 6x + 8 = 0\)
    • Συμπληρώνουμε το τετράγωνο: \(x^{2} - 6x + 9 - 9 + 8 = 0\).
    • \((x - 3)^{2} - 1 = 0\).
    • \((x - 3 + 1)(x - 3 - 1) = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 4) = 0\).
    • Οι ρίζες είναι \(x=2\) και \(x=4\).
  • Παράδειγμα 3: \(x^{2} + 5x - 24 = 0\)
    • Γράφουμε το \(5x\) ως \(2 \cdot \frac{5}{2}x\).
    • Προσθαφαιρούμε το \(\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2} = \dfrac{25}{4}\).
    • \(\left(x + \dfrac{5}{2}\right)^{2} - \dfrac{25}{4} - 24 = \left(x + \dfrac{5}{2}\right)^{2} - \dfrac{121}{4} = 0\).
    • \(\left(x + \dfrac{5}{2}\right)^{2} - \left(\dfrac{11}{2}\right)^{2} = 0 \Rightarrow \left(x + \dfrac{5}{2} + \dfrac{11}{2}\right)\left(x + \dfrac{5}{2} - \dfrac{11}{2}\right) = 0\).
    • \((x + 8)(x - 3) = 0 \Rightarrow x=-8, x=3\).

Γενική (Κανονική) Μορφή Όταν ο συντελεστής \(\alpha\) του \(x^{2}\) δεν είναι μονάδα, τον βγάζουμε κοινό παράγοντα. Η γενική κανονική μορφή του τριωνύμου \(\alpha x^{2} + \beta x + \gamma\) μέσω συμπλήρωσης τετραγώνου είναι: \[\alpha \left[ \left( x + \frac{\beta}{2\alpha} \right)^{2} - \frac{\beta^{2} - 4\alpha\gamma}{4\alpha^{2}} \right]\].

Η παράσταση \(\Delta = \beta^{2} - 4\alpha\gamma\) ονομάζεται διακρίνουσα.

* Αν \(\Delta > 0\), το τριώνυμο αναλύεται σε γινόμενο δύο άνισων πρωτοβάθμιων παραγόντων.

* Αν \(\Delta = 0\), το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο διωνύμου.

* Αν \(\Delta < 0\), το τριώνυμο καταλήγει σε άθροισμα τετραγώνων και δεν αναλύεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

  1. Με τη χρήση της Διακρίνουσας (\(\Delta\)), η οποία ορίζεται ως: \(\Delta = \beta^{2} - 4\alpha\gamma\).

Αν κάνουμε γινόμενο την διαφορά τετραγώνων \[\alpha \left[ \left( x + \dfrac{\beta}{2\alpha} \right)^{2} - \dfrac{Δ}{4\alpha^{2}} \right]\] θα έχουμε διαδοχικά

\[\alpha \left[ \left( x + \dfrac{\beta}{2\alpha} \right)^{2} - \left(\sqrt{\dfrac{Δ}{4\alpha^{2}}}\right)^2 \right]=0\]

\[\alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2a} - \sqrt{\dfrac{Δ}{4a}} \right)\left( x + \dfrac{\beta}{2a} + \sqrt{\dfrac{Δ}{4a}} \right)=0\]

\[\alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2a} - \dfrac{\sqrt Δ}{2a} \right)\left( x + \dfrac{\beta}{2a} + \frac{\sqrtΔ}{2a} \right)=0\]

\[\alpha \left[ x -\left( \dfrac{-\beta+\sqrt Δ}{2a}\right) \right]\left[ x -\left( \dfrac{-\beta-\sqrt Δ}{2a}\right) \right]=0\]

Από όπου τελικά παίρνουμε (\(α\ne0\))

ή

\[ x -\left( \dfrac{-\beta+\sqrt Δ}{2a}\right)=0 \Rightarrow x = \dfrac{-\beta+\sqrt Δ}{2a}\]

η

\[ x -\left( \dfrac{-\beta-\sqrt Δ}{2a}\right) =0 \Rightarrow x = \dfrac{-\beta-\sqrt Δ}{2a}\]

Ανάλογα με την τιμή της Διακρίνουσας, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

  1. Αν \(\Delta > 0\): Η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, που δίνονται από τον τύπο: \(x_{1,2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}\).
  2. Αν \(\Delta = 0\): Η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα: \(x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}\).
  3. Αν \(\Delta < 0\): Η εξίσωση είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \(\mathbb{R}\).

Παραδείγματα:

  • Δύο άνισες ρίζες: \(x^{2} - 7x + 10 = 0\). \(\Delta = (-7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 > 0\). Οι ρίζες είναι \(x = \dfrac{7 \pm 3}{2}\), άρα \(x_{1} = 5\) και \(x_{2} = 2\).

  • Μία διπλή ρίζα: \(x^{2} + 12x + 36 = 0\). \(\Delta = 12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0\). Η ρίζα είναι \(x = -\dfrac{12}{2} = -6\).

  • Αδύνατη: \(2x^{2} - x + 4 = 0\). \(\Delta = (-1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31 < 0\).

1.4 3. Επίλυση με Παραγοντοποίηση

Αν είναι δυνατόν να αναλύσουμε το τριώνυμο του πρώτου μέλους σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων της μορφής \(\alpha(x - \rho_{1})(x - \rho_{2}) = 0\), τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί \(x = \rho_{1}\) και \(x = \rho_{2}\).

* Παράδειγμα:

\(x^{2} - 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 3\) ή \(x = 5\).

1.5 4. Γραφική Επίλυση

Η εξίσωση \(\alpha x^{2} + \beta x + \gamma = 0\) μπορεί να λυθεί και γραφικά με δύο τρόπους:

  1. Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = \alpha x^{2} + \beta x + \gamma\) (η οποία είναι παραβολή). Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι τετμημένες (\(x\)) των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα των \(x\) (ευθεία \(y = 0\)).
  2. Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή \(\alpha x^{2} = -\beta x - \gamma\). Οι ρίζες είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της παραβολής \(y = \alpha x^{2}\) και της ευθείας \(y = -\beta x - \gamma\).

Ανάλογα με το πλήθος των κοινών σημείων (δύο σημεία τομής, ένα σημείο επαφής ή κανένα κοινό σημείο), η εξίσωση έχει δύο ρίζες, μία διπλή ή καμία ρίζα αντίστοιχα. \[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{Αναλυτικά σε επόμενα μαθήματα}}\] ————————————————————————

1.6 Ασκήσεις

1.6.1 1. Ασκήσεις Ελλιπών Μορφών (όλων των κατηγοριών)

Κατηγορία \(\alpha x^{2} + \gamma = 0\) (\(b=0\)):

  1. \(3x^{2} - 48 = 0\)
  2. \(8x^{2} - 72 = 0\)
  3. \(5x^{2} + 80 = 0\)
  4. \(x^{2} - 64 = 0\)
  5. \(4x^{2} - 1 = 0\)
  6. \(x^{2} + 49 = 0\)
  7. \(9x^{2} - 16 = 0\)
  8. \(2x^{2} + 5 = 0\)
  9. \((2x+1)(2 x-1) = 399\) (μετά τις πράξεις)

Κατηγορία \(\alpha x^{2} + \beta x = 0\) (\(\gamma=0\)):

  1. \(x^{2} - 8 x = 0\)
  2. \(5x^{2} - 6 x = 0\)
  3. \(4x^{2} - 3 x = 9 x\)
  4. \(3x^{2} - 5 x = 0\)
  5. \(5x^{2} + 3 x = 0\)
  6. \((x+6)^{2} = 36\) (μετά τις πράξεις)

1.6.2 2. Ασκήσεις Πλήρων Μορφών (\(\alpha x^{2} + \beta x + \gamma = 0\))

  1. \(x^{2} + 16 x + 48 = 0\)
  2. \(2x^{2} - 7 x + 3 = 0\)
  3. \(49 x^{2} - 28 x + 4 = 0\)
  4. \(25 x^{2} + 10 x + 1 = 0\)
  5. \(x^{2} - 7 x + 10 = 0\)
  6. \(x^{2} + 12 x + 36 = 0\)
  7. \(3x^{2} - 11 x + 6 = 0\)
  8. \(2x^{2} + 5 x + 2 = 0\)
  9. \(x^{2} - 10 x + 24 = 0\)
  10. \(x^{2} - 16 x + 61 = 0\)
  11. \(x^{2} - 4 x - 8 = 0\)
  12. \(x( x-8) + 7 = 0\) (μετά τις πράξεις)
  13. \((x+1)( x-1) = 8 x - 13\) (μετά τις πράξεις)
  14. \(3x^{2} - 10 x + 3 = 0\)
  15. \(x^{2} - 5 x + 6 = 0\)

1.6.3 3. Ασκήσεις με Αριθμητικούς Παρονομαστές

  1. \(\dfrac{ x^{2}}{4} + \dfrac{ x}{3} = 6 x + 1\)
  2. \(\dfrac{2 x^{2}}{5} - \dfrac{3 x}{2} + 5 = \dfrac{ x^{2}}{2} - x\)
  3. \(\dfrac{ x^{2}-2 x}{3} - \dfrac{ x^{2}-3}{4} = \dfrac{3}{4}\)
  4. \(\dfrac{( x-5)( x+1)}{3} + \dfrac{( x+2)( x-3)}{5} = \dfrac{8( x-2)^{2}}{15}\)
  5. \(\dfrac{ x^{2}+2}{5} + \dfrac{ x^{2}-1}{2} = 14 - \dfrac{ x^{2}+3}{10}\)
  6. \(\left(\dfrac{ x+2}{3}\right)^{2} + \left(\dfrac{2 x-1}{3}\right)^{2} = 20\dfrac{5}{9}\)
  7. \(\dfrac{(3 x-1)(2 x+1)}{3} - \dfrac{(5-4 x)(7- x)}{5} = \dfrac{3(7- x)(2 x+1)}{15}\)
  8. \(x^{2} - x + \dfrac{1}{4} = 0\)
  9. \(9x^{2} - \dfrac{12 x}{5} + \dfrac{4}{25} = 0\)
  10. \(2x^{2} + 2 x + \dfrac{1}{2} = 0\)

1.6.4 4. Προβλήματα που λύνονται με Εξίσωση β’ βαθμού

  1. Μείωση Οικοπέδου: Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει διαστάσεις 15m x 12m. Κατά πόσα μέτρα πρέπει να ελαττώσουμε εξίσου τις δύο διαστάσεις του ώστε το εμβαδόν του να μειωθεί κατά 30 m²;

  2. Διαδοχικοί Περιττοί: Βρείτε δύο διαδοχικούς περιττούς ακέραιους των οποίων το γινόμενο είναι 255.

  3. Ακέραιοι και Γινόμενο: Βρείτε δύο ακέραιους που διαφέρουν κατά 5 και έχουν γινόμενο 84.

  4. Βολή Βλήματος: Το ύψος \(h\) ενός βλήματος δίνεται από τον τύπο \(h = 24t - 5t^{2}\). Μετά από πόσο χρόνο το βλήμα θα προσγειωθεί (\(h=0\));

  5. Άθροισμα Τετραγώνων: Βρείτε έναν αριθμό που το άθροισμα του τετραγώνου του και του τετραγώνου του επόμενου αριθμού να ισούται με 74.

  6. Ορθογώνιο Τρίγωνο: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η μία κάθετη πλευρά είναι κατά 2 cm μεγαλύτερη από την άλλη και η υποτείνουσα είναι 10 cm. Βρείτε τις πλευρές (Βασισμένο στις ιδιότητες του Πυθαγορείου θεωρήματος που οδηγούν σε \(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma=0\)).

  7. Εγγεγραμμένο ορθογώνιο σε κύκλο: Ένα ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R = 6,5m. Να βρεθούν οι διαστάσεις του, εάν γνωρίζουμε ότι αυτές διαφέρουν κατά 7m.

  8. Τμήμα σε ημικύκλιο: Ένα ημικύκλιο έχει διάμετρο ΑΒ = 13 cm. Στο σημείο Μ της διαμέρου υψώνουμε κάθετο τμήμα ΜΔ μέχρι το ημικύκλιο. Ποιο πρέπει να είναι το μήκος του τμήματος AM, ώστε το κάθετο τμήμα ΜΔ να έχει μήκος 6 cm;

Εκφράστε το \(ΑΔ^2\) και το \(ΒΔ^2\) απο το Π.Θ. (Αν ΑΜ=X, τότε ΜΒ=13-x)……..

  1. Πολλαπλασιασμός πολλαπλασίων: Να βρεθεί ο αριθμός εκείνος του οποίου το τριπλάσιο, όταν πολλαπλασιαστεί με το πενταπλάσιό του, δίνει αποτέλεσμα 766.140.

1.6.5 5. Να λύσετε τις εξισώσεις με παραγοντοποίηση

  1. \(x^{2} - 8x + 15 = 0\)

  2. \(x^{2} - 4x + 3 = 0\)

  3. \(9x^{2} - 1 = 0\)

  4. \(x^{2} + 5x - 24 = 0\)

  5. \(x^{2} - 6x + 8 = 0\)

  6. \(5x^{2} + 3x = 0\)

  7. \(x^{2} + 10x + 25 = 0\)

  8. \(2x^{2} - 5x - 3 = 0\)

  9. \(x^{2} - 3x - 10 = 0\)

  10. \(4x^{2} - 9 = 0\)

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!