11. Η εξίσωση αx + β = 0

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

29 Μάιος 2026

1 Η εξίσωση αx + β = 0 Ας ξαναθυμηθούμε.

1.1 Θεωρία

Η εξίσωση της μορφής \(\alpha x + \beta = 0\), όπου \(x\) είναι ο άγνωστος και τα \(\alpha, \beta\) είναι σταθερές (αριθμοί ή παραστάσεις ανεξάρτητες από το \(x\)), ονομάζεται πρωτοβάθμια εξίσωση με έναν άγνωστο.

1. Βασική Θεωρία και Ορισμοί

* Ρίζα ή λύση της εξίσωσης ονομάζεται κάθε αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο \(x\), επαληθεύει την ισότητα.

* Επίλυση είναι η διαδικασία εύρεσης του συνόλου των ριζών της εξίσωσης.

* Ισοδύναμες εξισώσεις είναι εκείνες που έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις. Για την επίλυση, χρησιμοποιούνται δύο βασικά θεωρήματα:

  1. Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε το ίδιο πολυώνυμο και στα δύο μέλη, προκύπτει ισοδύναμη εξίσωση.
  2. Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο αριθμό (διάφορο του μηδενός), προκύπτει ισοδύναμη εξίσωση.

2. Διερεύνηση της Εξίσωσης \(\alpha x = -\beta\) Η τελική μορφή της εξίσωσης είναι η \(\alpha x = -\beta\). Η λύση της εξαρτάται από τις τιμές των \(\alpha\) και \(\beta\):

  • Αν \(\alpha \neq 0\): Η εξίσωση έχει μοναδική λύση την \(x = -\dfrac{\beta}{\alpha}\).
  • Αν \(\alpha = 0\) και \(\beta \neq 0\): Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(0 \cdot x = -\beta\). Επειδή το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν είναι μηδέν, η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση).
  • Αν \(\alpha = 0\) και \(\beta = 0\): Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(0 \cdot x = 0\). Αυτή η ισότητα αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\), επομένως η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα.

1.2 Παραδείγματα Επίλυσης

1.2.1 Παράδειγμα 1: Αριθμητική εξίσωση με μοναδική λύση

Να λυθεί η εξίσωση: \((x + 3)^2 = x(x - 5)\)

  1. Εκτέλεση πράξεων: \(x^2 + 6x + 9 = x^2 - 5x\)
  2. Χωρισμός γνωστών από αγνώστους: \(x^2 + 6x - x^2 + 5x = -9\)
  3. Αναγωγή ομοίων όρων: \(11x = -9\)
  4. Εύρεση ρίζας: \(x = -\dfrac{9}{11}\)

1.2.2 Παράδειγμα 2: Εξίσωση με κλάσματα

Να λυθεί η εξίσωση: \(\dfrac{2x - 1}{7} + \dfrac{x}{3} = x - 7\)

  1. Εύρεση Ε.Κ.Π. παρονομαστών: Το Ε.Κ.Π. των 7 και 3 είναι το 21.
  2. Απαλοιφή παρονομαστών: \(3(2x - 1) + 7x = 21(x - 7)\)
  3. Εκτέλεση πράξεων: \(6x - 3 + 7x = 21x - 147\)
  4. Αναγωγή: \(-8x = -144 \Rightarrow 8x = 144 \Rightarrow x = 18\).

1.2.3 Παράδειγμα 3: Αδύνατη εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση \(\dfrac{2x-1}{5}+\dfrac{7x-8}{15}-2x=-x-\dfrac{2x}{15}\).

  1. Εύρεση Ε.Κ.Π. και απαλοιφή παρονομαστών

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών 5 και 15 είναι το 15.

Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το 15 για να διώξουμε τα κλάσματα: \[15 \cdot \frac{2x-1}{5} + 15 \cdot \frac{7x-8}{15} - 15 \cdot 2x = 15 \cdot (-x) - 15 \cdot \frac{2x}{15}\] \[3(2x-1) + 1(7x-8) - 30x = -15x - 2x\]

  1. Εκτέλεση πράξεων

Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα για να βγάλουμε τις παρενθέσεις: \[6x - 3 + 7x - 8 - 30x = -15x - 2x\]

  1. Χωρισμός γνωστών από αγνώστους

Μεταφέρουμε όλους τους όρους που περιέχουν τον άγνωστο \(x\) στο α’ μέλος και τους σταθερούς αριθμούς στο β’ μέλος, αλλάζοντας το πρόσημό τους: \[6x + 7x - 30x + 15x + 2x = 3 + 8\]

  1. Αναγωγή ομοίων όρων

Προσθέτουμε τους συντελεστές των αγνώστων και τους σταθερούς όρους: \[(6 + 7 - 30 + 15 + 2)x = 11\] \[0x = 11\]

  1. Συμπέρασμα

Η εξίσωση κατέληξε στη μορφή \(0x = 11\). Επειδή το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται πάντα με μηδέν (\(0=11\)), η ισότητα αυτή δεν αληθεύει για καμία τιμή του \(x\). Επομένως, η εξίσωση είναι αδύνατη.

1.2.4 Παράδειγμα 4: Παραμετρική εξίσωση (Διερεύνηση)

Να λυθεί η εξίσωση \(\lambda(\lambda x - 2) = x - 2\) ως προς \(x\):

  1. Μετασχηματισμός: \(\lambda^2 x - 2\lambda = x - 2 \Rightarrow (\lambda^2 - 1)x = 2\lambda - 2\).
  2. Αν \(\lambda \neq \pm 1\): Η εξίσωση έχει μοναδική λύση \(x = \dfrac{2(\lambda - 1)}{(\lambda - 1)(\lambda + 1)} = \dfrac{2}{\lambda + 1}\).
  3. Αν \(\lambda = 1\): Γίνεται \(0x = 0\) (αόριστη).
  4. Αν \(\lambda = -1\): Γίνεται \(0x = -4\) (αδύνατη).

1.3 4. Γεωμετρική Ερμηνεία

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = \alpha x + \beta\) είναι μια ευθεία γραμμή. Η ρίζα της εξίσωσης \(\alpha x + \beta = 0\) είναι η τετμημένη (\(x\)) του σημείου στο οποίο η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα \(Ox\).

1.4 Ασκήσεις

1. Απλές Αριθμητικές Εξισώσεις με Παρενθέσεις

  1. \(7x - 4 = -2x + 5\)
  2. \(45x + 18 = -132 - 5x\)
  3. \((2x - 1) - (3x + 7) = 5 - [(x - 3) - 4x]\)
  4. \(3(x - 2) - 2(x + 1) - 5(x - 3) = 7(2x - 1) - 4(x + 5)\)

2. Εξισώσεις με Αριθμητικούς Παρονομαστές (Κλάσματα)

  1. \(\dfrac{x - 3}{5} = -\dfrac{x + 1}{2}\)
  2. \(\dfrac{3x + 7}{12} = \dfrac{2x - 5}{8}\)
  3. \(x + \dfrac{2x - 7}{3} - \dfrac{x - 5}{2} = 1\)
  4. \(3x - \dfrac{x - 2}{3} + \dfrac{2x - 1}{2} - 1 = \dfrac{3(x - 1)}{2} + \dfrac{x - 1}{6}\)

3. Εξισώσεις που περιέχουν Ταυτότητες

  1. \((x + 3)^2 = x(x - 5)\) (Μετασχηματίζεται σε πρωτοβάθμια)
  2. \((3x + 1)^2 - (x\sqrt{2} - 1)^2 = 7(x - 3)(x - \sqrt{2})\)

4. Ειδικές Περιπτώσεις: Αδύνατες και Αόριστες (Ταυτότητες)

  1. \(2(2x + 3) - 7 - 2x = 9 + 2(x - 5)\)
  2. \((3x + 5) - (x + 2) = 2(x - 1) + 3\)
  3. \((3x-1)(x+5)-7x=3(x+2)^{2}+5(2-x)\)

5. Παραμετρικές Εξισώσεις (Διερεύνηση με παράμετρο \(\lambda\))

  1. \(\lambda(\lambda x - 2) = x - 2\) (Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του \(\lambda\))
  2. \((\lambda^2 - 1)x + 5(3 - \lambda) = 8x\)
  3. \(\dfrac{x + 2}{3\lambda} - \dfrac{1}{6\lambda} = \dfrac{\lambda}{6} - \dfrac{x}{2\lambda}\)

6. Ρητές (Κλασματικές) Εξισώσεις (με \(x\) στον παρονομαστή) Σημείωση: Πρέπει πρώτα να τεθούν περιορισμοί για το \(x\).

  1. \(\dfrac{\omega - 5}{\omega - 1} = \dfrac{\omega - 4}{\omega + 2}\) Πολλαπλασιάστε χιαστί
  2. \(\dfrac{3x - 2}{x + 1} = \dfrac{6x - 1}{2x + 3}\) Πολλαπλασιάστε χιαστί
  3. \(\dfrac{2}{x + 5} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{x - 3}{(x + 5)(x + 2)}\) Πολλαπλασιάστε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π=\((x+5)(x+2)\) των παρονομαστών για να απλοποιήσετε τους παρονομαστές

7. Προβλήματα με τη χρήση Εξισώσεων

  1. Πρόβλημα με μαθητές και θρανία (Πρόβλημα Κατανομής)

Σε μια τάξη Γυμνασίου, αν οι μαθητές καθίσουν ανά 3 σε κάθε θρανίο, μένουν 5 όρθιοι. Αν όμως καθίσουν ανά 4, τότε μένουν 19 κενές θέσεις στα θρανία. Πόσοι είναι οι μαθητές;

  • Επίλυση: Αν \(x\) είναι ο αριθμός των μαθητών, η εξίσωση που προκύπτει από τον σταθερό αριθμό των θρανίων είναι: \[\dfrac{x - 5}{3} = \dfrac{x + 19}{4}\].
  1. Πρόβλημα ηλικίας

Ένας πατέρας είναι 61 ετών και έχει τρία παιδιά ηλικίας 24, 21 και 18 ετών. Ζητείται να βρεθεί πότε η ηλικία του πατέρα ήταν ή θα είναι τριπλάσια από το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών του.

  • Επίλυση: Αν \(x\) είναι τα χρόνια που θα περάσουν (ή έχουν περάσει αν το \(x\) είναι αρνητικό), τότε οι ηληκίες όταν συνέβη το γεγονός θα είναι(ήταν) \(61+x\), \(24+x\), \(21+x\) και \(18+x\), αρα η εξίσωση θα είναι:

    \[3(24+x+21+x+18+x=61+x \Rightarrow 3(63 + 3x) = 61 + x\].

  • Η λύση \(x = -16\) δείχνει ότι αυτό συνέβη πριν από 16 χρόνια.

  1. Πρόβλημα με εισιτήρια (Πρόβλημα Είσπραξης)

Ένας εισπράκτορας διέθεσε 33 εισιτήρια των 2, 3 και 5 δραχμών και εισέπραξε συνολικά 117 δραχμές. Γνωρίζουμε ότι τα δίδραχμα εισιτήρια ήταν διπλάσια από τα τρίδραχμα. Πόσα είναι τα εισητήρια κάθε κατηγορίας;

  • Επίλυση: Αν \(x\) είναι τα εισιτήρια των 3 δραχμών, τότε τα δίδραχμα είναι \(2x\) και τα πεντάδραχμα \(33 - 3x\). Η εξίσωση είναι: \[3x + 2(2x) + 5(33 - 3x) = 117\].
  1. Πρόβλημα Γεωμετρίας (Ορθογώνιο)

Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 75 cm. Το μήκος της μίας πλευράς του είναι κατά 13 cm μεγαλύτερο από το μήκος της άλλης πλευράς. Ζητείται να βρεθούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου. * Επίλυση: Αν \(x\) είναι το μήκος της μεγάλης πλευράς τότε το μήκος της μικρής θα είναι \(x-13\), άρα θα έχουμε την εξίσωση: \[2x+2(x-13)=75\].

Συμβουλή
  • Για τις αριθμητικές εξισώσεις, ακολουθήστε τα στάδια: εκτέλεση πράξεων, απαλοιφή παρονομαστών (αν υπάρχουν), χωρισμός γνωστών από αγνώστους, αναγωγή ομοίων όρων και διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.
  • Για τις παραμετρικές, εξετάστε τις περιπτώσεις όπου ο συντελεστής του \(x\) μηδενίζεται.

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!