10. Πράξεις ρητών παραστάσεων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

27 Μάιος 2026

1 Πράξεις ρητών παραστάσεων

1.1 Θεωρία

Οι πράξεις μεταξύ των ρητών αλγεβρικών παραστάσεων γίνονται με τον ίδιο τρόπο που εκτελούνται οι πράξεις των αριθμητικών κλασμάτων. Για κάθε ρητή παράσταση, υποθέτουμε πάντα ότι οι μεταβλητές δεν παίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή της, ώστε η παράσταση να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

1.1.1 1. Πρόσθεση και Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων

ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΟΜΩΝΥΜΑ

Για να υπολογίσουμε το αλγεβρικό άθροισμα ρητών παραστάσεων, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

  • Ανάλυση παρονομαστών: Αναλύουμε τους παρονομαστές σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.
  • Εύρεση Ε.Κ.Π.: Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών.
  • Τροπή σε ομώνυμα: Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το πηλίκο της διαίρεσης του Ε.Κ.Π. διά του παρονομαστή του.
  • Εκτέλεση πράξεων: Σχηματίζουμε μια νέα ρητή παράσταση με τον ίδιο παρονομαστή και αριθμητή το αλγεβρικό άθροισμα των νέων αριθμητών.

Παράδειγμα: Για να υπολογίσουμε την παράσταση: \(\dfrac{2}{x-y} - \dfrac{x}{x+y} - \dfrac{4x}{x^2-y^2}\).

  1. Οι παρονομαστές είναι \((x-y)\), \((x+y)\) και \(x^2-y^2 = (x+y)(x-y)\).

  2. Το Ε.Κ.Π. είναι \((x+y)(x-y)\).
    Από το πρώτο κλάσμα λείπει στον παρονομαστή ο παράγοντας \(x+y\) , άρα θα πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή με το \(x+y\) και επομένως θα γίνει \(\dfrac{2(x+y)}{(x-y)(x+y)}\)
    Από το δεύερο κλάσμα λείπει στον παρονομαστή ο παράγοντας \(x-y\) , άρα θα πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή με το \(x-y\) και επομένως το κλάσμα θα γίνει \(\dfrac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}\)
    Το τρίτο κλάσμα είναι ΟΚ

  3. Η παράσταση γίνεται: \(\dfrac{2(x+y) - x(x-y) - 4x}{(x+y)(x-y)} = \dfrac{2x+2y-x^2+xy-4x}{(x+y)(x-y)}\) .

    (Σημείωση: Το τελικό αποτέλεσμα πρέπει πάντα να απλοποιείται αν είναι δυνατόν).

  4. Απλοποίηση

    1. Ομαδοποίηση όρων στον αριθμητή Παρατηρούμε τους τέσσερις όρους του αριθμητή: \(-x^2 - 2x + 2y + xy\). Μπορούμε να τους χωρίσουμε σε δύο ζευγάρια για να βγάλουμε κοινό παράγοντα:

      • Από τους όρους \(-x^2 + xy\), βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(-x\), οπότε έχουμε: \(-x(x - y)\).
      • Από τους όρους \(-2x + 2y\), βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(-2\), οπότε έχουμε: \(-2(x - y)\). Συνδυάζοντας τα δύο μέρη, ο αριθμητής γίνεται: \[-x(x - y) - 2(x - y) = (-x - 2)(x - y)\]
        Βγάζοντας το αρνητικό πρόσημο (\(-\)) έξω από την πρώτη παρένθεση, ο αριθμητής γράφεται τελικά: \[-(x + 2)(x - y)\]

    2. Αντικατάσταση και απλοποίηση Τώρα, τοποθετούμε τον νέο αριθμητή πίσω στο αρχικό κλάσμα: \[\dfrac{-(x + 2)(x - y)}{(x + y)(x - y)}\]

    3. Διαγραφή κοινών παραγόντων Εφόσον η παρένθεση \((x - y)\) υπάρχει τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή (και με την προϋπόθεση ότι \(x \neq y\)), μπορούμε να την απλοποιήσουμε: \[\require{cancel}\dfrac{-(x + 2)\cancel{(x - y)}}{(x + y)\cancel{(x - y)}} = -\dfrac{x + 2}{x + y}\]

    4. Τελικό Αποτέλεσμα.

Το κλάσμα απλοποιείται στην εξής τελική μορφή: \[-\dfrac{x + 2}{x + y}\]

Οι πράξεις μεταξύ των ρητών αλγεβρικών παραστάσεων γίνονται με τον ίδιο τρόπο που εκτελούνται οι πράξεις των αριθμητικών κλασμάτων. Για κάθε ρητή παράσταση, υποθέτουμε πάντα ότι οι μεταβλητές δεν παίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή της, ώστε η παράσταση να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

1.1.2 2. Πολλαπλασιασμός Ρητών Παραστάσεων

Για να πολλαπλασιάσουμε ρητές παραστάσεις, σχηματίζουμε μια νέα ρητή παράσταση που έχει:
* Αριθμητή: Το γινόμενο των αριθμητών των κλασμάτων.
* Παρονομαστή: Το γινόμενο των παρονομαστών τους. \[\dfrac{κ}{λ}\cdot\dfrac{μ}{ν}=\dfrac{κ\cdot μ}{λ\cdotν}\]

Σημαντική οδηγία: Πριν εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό των όρων, αναλύουμε αριθμητές και παρονομαστές σε γινόμενα παραγόντων ώστε να κάνουμε όλες τις δυνατές απλοποιήσεις.

Παράδειγμα: \(\dfrac{2x}{x-3} \cdot \dfrac{x^2-9}{2x^2+4x} = \dfrac{\cancel{2x} \cdot (x+3)\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)} \cdot \cancel{2x}(x+2)}\). Μετά τη διαγραφή των κοινών παραγόντων \(2x\) και \((x-3)\), το αποτέλεσμα είναι: \(\dfrac{x+3}{x+2}\).

1.1.3 3. Διαίρεση Ρητών Παραστάσεων

Για να διαιρέσουμε μια ρητή παράσταση Α με μια ρητή παράσταση Β, πολλαπλασιάζουμε την Α με την αντίστροφη της Β.

\[A:B=A\cdot\dfrac{1}{B}\] η \[\dfrac{κ}{λ}:\dfrac{μ}{ν}=\dfrac{κ}{λ}\cdot\dfrac{ν}{μ}=\dfrac{κ\cdot ν}{λ\cdotμ}\]

Παράδειγμα: \(\dfrac{4\alpha^2-2\alpha\beta}{x+y} : \dfrac{4\alpha^2}{x^2-y^2} = \dfrac{4\alpha^2-2\alpha\beta}{x+y} \cdot \dfrac{x^2-y^2}{4\alpha^2}\). Αναλύουμε σε γινόμενα: \(\dfrac{2\alpha(2\alpha-\beta) \cdot (x+y)(x-y)}{(x+y) \cdot 4\alpha^2}\). Μετά την απλοποίηση \(\dfrac{\cancel{2}\cancel{α}(2\alpha-\beta) \cdot \cancel{(x+y)}(x-y)}{\cancel{(x+y)} \cdot \cancel{4}(2)a^{\cancel{2}}}\), προκύπτει: \(\dfrac{(2\alpha-\beta)(x-y)}{2\alpha}\).

1.1.4 4. Σύνθετα Ρητά Κλάσματα

Ένα σύνθετο κλάσμα (κλάσμα που έχει κλάσματα στον αριθμητή ή στον παρονομαστή του) τρέπεται σε απλό αν διαιρέσουμε τον αριθμητή του με τον παρονομαστή του.

Παράδειγμα: \(\dfrac{\dfrac{2x+2}{x}}{\dfrac{(x+1)^2}{x^2}} = \dfrac{2x+2}{x} : \dfrac{(x+1)^2}{x^2} = \dfrac{2(x+1)}{x} \cdot \dfrac{x^2}{(x+1)^2}\). Μετά την απλοποίηση, \(\dfrac{2\cancel{(x+1)}}{\cancel{x}} \cdot \dfrac{x^{\cancel{2}}}{(x+1)^{\cancel{2}}}\) το αποτέλεσμα είναι: \(\dfrac{2x}{x+1}\).

Σημείωση: Συχνά απαιτείται πρώτα να εκτελέσουμε τις πράξεις που είναι σημειωμένες στον αριθμητή και τον παρονομαστή του σύνθετου κλάσματος πριν το μετατρέψουμε σε απλό.

1.2 Ασκήσεις

Να κάνετε τις πράξεις και τις απλοποιήσεις (όπου γίνονται) στις παρακάτω παραστάσεις.

Ομώνυμες ρητές παραστάσεις (Ίδιοι παρονομαστές) Σε αυτές τις περιπτώσεις, το αποτέλεσμα έχει τον ίδιο παρονομαστή και αριθμητή το αλγεβρικό άθροισμα των αριθμητών.

  1. \(\dfrac{3}{2x} + \dfrac{5}{2x}\)

  2. \(\dfrac{5}{-3\alpha} + \dfrac{2}{3\alpha}\)

Ετερώνυμες παραστάσεις με αριθμητικούς ή μονοωνυμικούς παρονομαστές Εδώ απαιτείται η εύρεση του Ε.Κ.Π. των παρονομαστών για τη μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα.

  1. \(\dfrac{2x-4}{2} + \dfrac{x-3}{6} - \dfrac{4x-5}{3}\)

  2. \(\dfrac{x-2}{4xy} - \dfrac{2-x}{6xy}\)

  3. \(x - \dfrac{3-x^2}{x}\)

  4. \(\dfrac{\alpha}{\beta\gamma} - \dfrac{\beta}{\alpha\gamma} - \dfrac{\gamma}{\alpha\beta}\)

  5. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\psi} + \dfrac{1}{\omega} - \dfrac{1}{x\psi\omega}\)

Ρητές παραστάσεις με πολυωνυμικούς παρονομαστές (Απλές μορφές) Απαιτείται παραγοντοποίηση των παρονομαστών για τον προσδιορισμό του Ε.Κ.Π..

  1. \(\dfrac{3}{2\alpha+2} - \dfrac{2}{3\alpha-3} + \dfrac{5\alpha+3}{6\alpha^2-6}\)

  2. \(\dfrac{\alpha}{\alpha-\beta} + \dfrac{\alpha\beta}{\beta^2-\alpha^2}\)

  3. \(\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{3}{x^2-1}\)

Ρητές παραστάσεις με σύνθετους παρονομαστές (Ταυτότητες και Τριώνυμα) Αυτές οι ασκήσεις καλύπτουν περιπτώσεις όπως διαφορά τετραγώνων, αθροίσματα κύβων και ανάλυση τριωνύμων.

  1. \(\dfrac{2\beta}{\alpha-2\beta} + \dfrac{\alpha}{2\beta+\alpha} - \dfrac{4\alpha\beta}{\alpha^2-4\beta^2}\)

  2. \(\dfrac{1}{\alpha^2-\beta^2} + \dfrac{1}{\alpha^2+\alpha\beta} - \dfrac{1}{2\alpha^2-2\alpha\beta}\)

  3. \(\dfrac{2xy}{x^3+y^3} - \dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2} + \dfrac{1}{x+y}\)

  4. \(\dfrac{1}{x^2-3x+2} + \dfrac{3}{x^2+x-2} + \dfrac{1}{x^2-4}\)

  5. \(\dfrac{2x-1}{x^2-x-2} - \dfrac{2x+1}{x^2+x-6} + \dfrac{2x+4}{x^2-4x+4}\)

Σημείωση

Για όλες τις παραπάνω ασκήσεις, υποθέτουμε ότι οι μεταβλητές παίρνουν τιμές τέτοιες ώστε οι παρονομαστές να είναι πάντα διάφοροι του μηδενός, προκειμένου οι παραστάσεις να έχουν νόημα πραγματικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με Μονώνυμα

Σε αυτές τις περιπτώσεις εφαρμόζονται οι κανόνες πολλαπλασιασμού αριθμών και δυνάμεων.

  1. \(\dfrac{-4\alpha}{3\beta\gamma} \cdot \dfrac{6\beta^{2}\gamma}{5\alpha^{2}}\)
  2. \(12xy \cdot \dfrac{x^{2}}{6y^{3}}\)
  3. \(\dfrac{-\alpha^{2}}{12\beta} \cdot \dfrac{-2\alpha\beta}{3\gamma^{2}\delta} \cdot \dfrac{9\beta\gamma\delta}{-\alpha^{4}}\)

Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμου με Μονώνυμο ή Διώνυμο

Εδώ απαιτείται η εξαγωγή κοινού παράγοντα ή απλή παραγοντοποίηση πριν από την απλοποίηση.

  1. \((\alpha+3) \cdot \dfrac{\alpha^{2}\beta}{\alpha^{2}-9}\)
  2. \(\dfrac{2x}{x-3} \cdot \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}+4x}\)
  3. \(\dfrac{\alpha+2}{\beta-4} \cdot \dfrac{\beta^{2}-\alpha\beta}{4-\alpha^{2}}\)
  4. \(\dfrac{\alpha^{2 \nu}-1}{x^{2}} \cdot \dfrac{x^{2}}{\alpha^{\nu}+1}\)

Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων με Παραγοντοποίηση (Ταυτότητες κ.λπ.)

Αυτές οι ασκήσεις απαιτούν τη χρήση ταυτοτήτων όπως η διαφορά τετραγώνων ή η ανάλυση τριωνύμου.

  1. \(\dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}+7x+12} \cdot \dfrac{x+3}{x-3}\)
  2. \(\dfrac{x^{2}-x}{x^{2}+4x+4} \cdot \dfrac{x^{2}+3x+2}{2-x} \cdot \frac{x^{2}-4}{x^{2}-1}\)
  3. \(\dfrac{x^{4}-x^{2}-4x+4}{x^{3}+8} \cdot \dfrac{x^{2}-4x+4}{x^{3}-4x}\)
  4. \(\dfrac{\alpha^{2}\beta^{2}-\beta^{4}}{\alpha^{3}-\beta^{3}} \cdot \dfrac{\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}}{\alpha\beta^{2}+\beta^{3}}\)

Σύνθετες Μορφές (Με προηγούμενη πρόσθεση/αφαίρεση)

Σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει πρώτα να εκτελεστούν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.

  1. \(\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}\right) \cdot \dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)
  2. \(\left(\dfrac{x}{y}-1\right) \cdot \left(\dfrac{x}{y}+1\right) \cdot \left(1-\dfrac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}\right)\)
  3. \(\dfrac{3\alpha-5\beta}{7\gamma^{2}} \cdot \dfrac{42\alpha\gamma-42\beta\gamma}{3\alpha x-5\beta x+3\alpha y-5\beta y} \cdot (x+y)\)
  4. \(\dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}-y^{2}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y}-x}\)
Σημείωση

Οδηγία: Για την επίλυση, αναλύετε πάντα τους όρους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και διαγράφετε τους κοινούς παράγοντες αριθμητή και παρονομαστή πριν τον τελικό πολλαπλασιασμό. Θεωρούμε ότι οι μεταβλητές παίρνουν τιμές τέτοιες ώστε οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός.

Διαίρεση με Μονώνυμα και Απλές Παραστάσεις

Στις περιπτώσεις αυτές, η διαίρεση μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό με την αντίστροφη παράσταση και ακολουθεί απλοποίηση των συντελεστών και των δυνάμεων.

  1. \(\dfrac{2x^{2}}{3y^{2}} : \dfrac{4x^{2}}{9y^{3}}\)
  2. \(\left(\dfrac{-3x^{2}}{4\alpha y^{2}} : \dfrac{-5y}{6\alpha}\right) : \dfrac{4x}{5y^{3}}\)
  3. \(\dfrac{x^{2}-2x}{\alpha^{3}} : (x^{2}-4)\)
  4. \(\left(\dfrac{6x^{3}}{7\alpha\beta} - \dfrac{9x^{2}}{14\beta^{2}} + \dfrac{3x}{21\alpha^{2}}\right) : \dfrac{3x}{7\alpha}\)

Διαίρεση Πολυωνύμων με χρήση Ταυτοτήτων

Εδώ απαιτείται η ανάλυση των όρων σε γινόμενα (παραγοντοποίηση) ώστε να διαγραφούν οι κοινοί παράγοντες μετά τη μετατροπή της διαίρεσης σε πολλαπλασιασμό.

  1. \((\alpha^{3}+\beta^{3}) : \dfrac{\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2}}{\alpha-\beta}\)
  2. \(\left(\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}} + \dfrac{1}{xy}\right) : (x^{3}-y^{3})\)
  3. \(\left[\dfrac{x^{2}}{2} + y\left(x+\dfrac{y}{2}\right)\right] : \dfrac{\alpha x+\alpha y-x-y}{\alpha^{2}-1}\)

Λύση

Για να επιλύσουμε τη ρητή αλγεβρική παράσταση \(\left[\dfrac{x^{2}}{2} + y\left(x+\dfrac{y}{2}\right)\right] : \dfrac{\alpha x+\alpha y-x-y}{\alpha^{2}-1}\), ακολουθούμε τα βήματα που ορίζονται στις πηγές για τις πράξεις και την απλοποίηση κλασμάτων.

  1. Απλοποίηση του διαιρετέου (της παράστασης στην αγκύλη) Αρχικά, εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό μέσα στην αγκύλη: \[\dfrac{x^{2}}{2} + y\left(x+\dfrac{y}{2}\right) = \dfrac{x^{2}}{2} + xy + \dfrac{y^{2}}{2}\]

Στη συνέχεια, μετατρέπουμε τους όρους σε ομώνυμους με κοινό παρονομαστή το 2 για να τους προσθέσουμε: \[\dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{2xy}{2} + \dfrac{y^{2}}{2} = \mathbf{\dfrac{x^{2} + 2xy + y^{2}}{2}}\]

Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής είναι ανάπτυγμα τετραγώνου διωνύμου, σύμφωνα με την ταυτότητα \(\alpha^{2} + 2\alpha\beta + \beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2}\). Έτσι, ο διαιρετέος γίνεται: \[\mathbf{\dfrac{(x+y)^{2}}{2}}\]

  1. Απλοποίηση του διαιρέτη (του δεύτερου κλάσματος) Αναλύουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε γινόμενα παραγόντων:
  • Αριθμητής: Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της ομαδοποίησης: \[\alpha x + \alpha y - x - y = \alpha(x+y) - (x+y) = \mathbf{(\alpha-1)(x+y)}\]
  • Παρονομαστής: Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων: \[\alpha^{2} - 1 = \mathbf{(\alpha+1)(\alpha-1)}\]

Έτσι, ο διαιρέτης γίνεται: \[\dfrac{\cancel{(a-1)}(x+y)}{(\alpha+1)\cancel{(a-1)}}\] Διαγράφοντας τον κοινό παράγοντα \((a-1)\), το κλάσμα απλοποιείται σε: \[\mathbf{\dfrac{x+y}{\alpha+1}}\] (με τον περιορισμό \(\alpha \neq 1\)).

  1. Εκτέλεση της διαίρεσης Σύμφωνα με τη θεωρία, για να διαιρέσουμε δύο ρητές παραστάσεις, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με την αντίστροφη της δεύτερης:

\[\begin{equation} \dfrac{(x+y)^{2}}{2}:\dfrac{x+y}{\alpha+1} = \dfrac{(x+y)^{\cancel{2}}}{2} \cdot \dfrac{\alpha+1}{\cancel{x+y}} \end{equation}\]

Διαγράφουμε τον κοινό παράγοντα \((x+y)\) από τον αριθμητή και τον παρονομαστή: \[\mathbf{\frac{(x+y)(\alpha+1)}{2}}\]

Περιορισμοί: Για να έχει νόημα η παράσταση, οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός, δηλαδή \(\alpha \neq \pm 1\) και \(x+y \neq 0\).

  1. \(\dfrac{x^{2}-4}{x-3} \cdot \dfrac{x^{2}-6x+9}{x^{3}-8} : \dfrac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x}\)

Σύνθετα Ρητά Κλάσματα (Διαίρεση Κλασμάτων)

Ένα σύνθετο κλάσμα μετατρέπεται σε απλό αν διαιρέσουμε τον αριθμητή του με τον παρονομαστή του.

  1. \(\dfrac{1+x}{1+\dfrac{1}{x}}\)
  2. \(\dfrac{1-\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x}}\)
  3. \(\dfrac{\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha\beta^{3}}}{\beta-1+\dfrac{1}{\beta}}\)
  4. \(\dfrac{\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha\beta}-2}{\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}}\)
  5. \(\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{1}{y^{2}}} - \left(y \cdot \dfrac{1}{x}\right)^{2}\)

Συνδυασμένες Πράξεις με Διαίρεση

Ασκήσεις που απαιτούν προηγούμενη εκτέλεση προσθέσεων ή αφαιρέσεων πριν την τελική διαίρεση.

  1. \(\left(\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\beta} - \alpha\right) \cdot \dfrac{\alpha^{2}-\beta^{2}}{\alpha^{3}+\beta^{3}} : \left(\dfrac{1}{\beta} - \dfrac{1}{\alpha}\right)\)
  2. \(\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x}} + \dfrac{1}{\dfrac{x}{3}-1} - \dfrac{2}{\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}}\)
Σημείωση

Οδηγία: Για την επίλυση, θυμηθείτε να αναλύετε πάντα αριθμητές και παρονομαστές σε γινόμενα πρώτων παραγόντων για να κάνετε όλες τις δυνατές απλοποιήσεις. Υποθέτουμε πάντα ότι οι μεταβλητές παίρνουν τιμές τέτοιες ώστε οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός.

Σύνθετες ασκήσεις για τις ρητές αλγεβρικές παραστάσεις, οι οποίες συνδυάζουν και τις τέσσερις βασικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση):

  1. \(\left[ \left( \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} - \dfrac{1}{\alpha\beta} \right) (\alpha + \beta + 1) \right] : (\alpha^{2} + 2\alpha\beta - 1 + \beta^{2})\) (Περιλαμβάνει πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση).

  2. \(\left( \dfrac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{\beta} - \alpha \right) \cdot \dfrac{\alpha^{2} - \beta^{2}}{\alpha^{3} + \beta^{3}} : \left( \dfrac{1}{\beta} - \dfrac{1}{\alpha} \right)\) (Περιλαμβάνει αφαίρεση στους παρονομαστές και τους όρους, πρόσθεση στην ταυτότητα του κύβου, πολλαπλασιασμό και διαίρεση).

  3. \(\dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} \cdot \dfrac{x - 1 + \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} : \dfrac{x^{2} + \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}\) (Σύνθετη άσκηση με όλες τις πράξεις μέσω των κλασματικών όρων και των μεταξύ τους σχέσεων).

  4. \(\left[ \left( x^{2} - 2 + \dfrac{1}{x^{2}} \right) : \left( \dfrac{1}{x} - 1 \right)^{2} \right] - x^{2} - 1\) (Περιλαμβάνει διαίρεση, αφαίρεση και πρόσθεση εντός και εκτός παρενθέσεων).

  5. \(\dfrac{1}{1 + \dfrac{3}{x}} + \dfrac{1}{\dfrac{x}{3} - 1} - \dfrac{2}{\dfrac{x}{3} - \dfrac{3}{x}}\) (Άσκηση με σύνθετα κλάσματα που απαιτεί πρόσθεση, αφαίρεση και διαίρεση για την απλοποίηση των όρων).

  6. \(\dfrac{1 - \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}}{\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{y}{x^{2}}} \cdot \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right)\) (Συνδυάζει πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση του σύνθετου κλάσματος).

  7. \(\dfrac{x^{2} - 4}{x - 3} \cdot \dfrac{x^{2} - 6x + 9}{x^{3} - 8} : \dfrac{x^{2} - x - 6}{x^{2} + x}\)** (Απαιτεί παραγοντοποίηση μέσω όλων των πράξεων και εκτέλεση πολλαπλασιασμού και διαίρεσης).

  8. \(\left( \dfrac{x}{y} - 1 \right) \left( \dfrac{x}{y} + 1 \right) \left( 1 - \dfrac{x^{2}}{x^{2} - y^{2}} \right)\) (Συνδυασμός πράξεων εντός παρενθέσεων και τελικός πολλαπλασιασμός).

  9. \(\dfrac{y}{2} \left( \dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x - y} \right) \cdot \dfrac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}y + xy^{2}} \cdot (x + y)\) (Περιλαμβάνει πρόσθεση και αφαίρεση εντός των όρων και διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς).

  10. \(\dfrac{1}{(x + y)^{2}} \cdot \left( \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}} \right) + \dfrac{2}{(x + y)^{3}} \cdot \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right)\) (Σύνθετη παράσταση που απαιτεί προτεραιότητα στον πολλαπλασιασμό και μετά πρόσθεση ομώνυμων ή ετερώνυμων όρων).

Σημείωση

Οδηγία για την επίλυση: Σε όλες τις παραπάνω ασκήσεις, το πρώτο βήμα είναι ο καθορισμός των περιορισμών (οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός). Στη συνέχεια, εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, ακολουθεί η μετατροπή των σύνθετων κλασμάτων σε απλά και οι τελικές απλοποιήσεις μέσω παραγοντοποίησης.

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!