08. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

26 Μάιος 2026

1 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Ο προσδιορισμός του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) και του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλασίου (Ε.Κ.Π.) αλγεβρικών παραστάσεων βασίζεται στην ανάλυσή τους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

1.1 Θεωρία

Για να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων πολυωνύμων, ακολουθούμε τα εξής στάδια:

  1. Ανάλυση σε Πρώτους Παράγοντες: Κάθε πολυώνυμο είτε είναι «πρώτο» (δεν αναλύεται περαιτέρω) είτε μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Η ανάλυση αυτή (παραγοντοποίηση) είναι απαραίτητο στάδιο πριν την εύρεση των Μ.Κ.Δ. και Ε.Κ.Π..
  2. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.):
    • Είναι το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων των παραστάσεων, όπου ο καθένας λαμβάνεται με τον μικρότερο εκθέτη του.
    • Ως αριθμητικός συντελεστής του Μ.Κ.Δ. λαμβάνεται συνήθως ο Μ.Κ.Δ. των αριθμητικών συντελεστών των παραστάσεων.
  3. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.):
    • Είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών πρώτων παραγόντων των παραστάσεων, όπου ο καθένας λαμβάνεται με τον μεγαλύτερο εκθέτη του.
    • Ως αριθμητικός συντελεστής του Ε.Κ.Π. λαμβάνεται συνήθως το Ε.Κ.Π. των αριθμητικών συντελεστών των παραστάσεων.

1.2 Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Μονώνυμα

Δίνονται τα μονώνυμα: \(18\alpha^{3}\beta^{2}\gamma\), \(12\alpha^{4}\beta\gamma^{2}\) και \(6\alpha^{5}\beta^{2}\).

  • Αριθμητικοί συντελεστές:
    Οι αριθμοί παραγοντοποιημένοι \(18=2\cdot3^2\), \(12=3\cdot2^2\), \(6=2\cdot3\) , άρα το Ε.Κ.Π. = \(\mathbf{2^2\cdot3^2=36}\).

  • Μεταβλητές:

  • Για το Ε.Κ.Π., επιλέγουμε κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τους μεγαλύτερους εκθέτες: \(\alpha^{5}\), \(\beta^{2}\) και \(\gamma^{2}\).

  • Ε.Κ.Π. = \(36\alpha^{5}\beta^{2}\gamma^{2}\).

Παράδειγμα 2: Πολυώνυμα

Δίνονται τα πολυώνυμα: \(2x(x+1)\), \(x^{2}(x+1)(x-1)\) και \(4x(x+1)^{2}\).

  • Αριθμητικοί συντελεστές: Οι αριθμοί 2, 1, 4 έχουν Ε.Κ.Π. το 4 .

  • Αλγεβρικοί Παράγοντες:

  • Κοινοί και μη κοινοί παράγοντες με μεγαλύτερο εκθέτη: \(x^{2}\), \((x+1)^{2}\) και \((x-1)\).

  • Ε.Κ.Π. = \(4x^{2}(x+1)^{2}(x-1)\).

Παράδειγμα 3: Παραγοντοποιημένα Πολυώνυμα

Έστω τα πολυώνυμα: \(A=(x-1)^{2}(x+2)^{2}\), \(B=5x(x-1)^{3}(x+2)^{2}\) και \(\Gamma=(x+2)^{2}(x+1)^{2}(x-1)\).

  • Ε.Κ.Π.: Όλοι οι παράγοντες με τους μέγιστους εκθέτες: \(5\), \(x\), \((x-1)^{3}\), \((x+2)^{2}\) και \((x+1)^{2}\).

  • Ε.Κ.Π. = \(5x(x-1)^{3}(x+2)^{2}(x+1)^{2}\).

Παράδειγμα 1: Μονώνυμα

Δίνονται τα μονώνυμα: \(18\alpha^{3}\beta^{2}\gamma\), \(12\alpha^{4}\beta\gamma^{2}\) και \(6\alpha^{5}\beta^{2}\).

  • Αριθμητικοί συντελεστές: Οι αριθμοί \(18=2\cdot3^2\), \(12=3\cdot2^2\), \(6=2\cdot3\) έχουν Μ.Κ.Δ. το \(\mathbf{2\cdot3=6}\) .

  • Μεταβλητές:

  • Για τον Μ.Κ.Δ., επιλέγουμε τους κοινούς παράγοντες με τους μικρότερους εκθέτες: \(\alpha^{3}\) και \(\beta^{1}\) (ο παράγοντας \(\gamma\) δεν είναι κοινός και στα τρία).

  • Μ.Κ.Δ. = \(6\alpha^{3}\beta\).

Παράδειγμα 2: Πολυώνυμα

Δίνονται τα πολυώνυμα: \(2x(x+1)\), \(x^{2}(x+1)(x-1)\) και \(4x(x+1)^{2}\).

  • Αριθμητικοί συντελεστές: Οι αριθμοί 2, 1, 4 έχουν Μ.Κ.Δ. το 2 .

  • Αλγεβρικοί Παράγοντες:

  • Κοινοί παράγοντες με μικρότερο εκθέτη: \(x\) και \((x+1)\).

  • Μ.Κ.Δ. = \(2x(x+1)\).

Παράδειγμα 3: Παραγοντοποιημένα Πολυώνυμα

Έστω τα πολυώνυμα: \(A=(x-1)^{2}(x+2)^{2}\), \(B=5x(x-1)^{3}(x+2)^{2}\) και \(\Gamma=(x+2)^{2}(x+1)^{2}(x-1)\).

  • Μ.Κ.Δ.: Οι κοινοί παράγοντες είναι το \((x-1)\) (μικρότερος εκθέτης 1) και το \((x+2)\) (μικρότερος εκθέτης 2).

  • Μ.Κ.Δ. = \((x-1)(x+2)^{2}\).

1.3 Ασκήσεις

Περίπτωση 1: Μονώνυμα

Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των παρακάτων μονωνύμων.

  1. \(12\alpha^{3}\beta^{2}\gamma\), \(15\alpha^{2}\beta^{3}\gamma\), \(6\alpha^{4}\beta^{3}\),

  2. \(8\alpha^{2}x^{3}\), \(4\alpha^{3}x^{5}\), \(12\alpha^{3}x^{3}\)

  3. \(12\alpha\beta x\), \(6\alpha x\psi\), \(8\alpha\beta x\psi\)

  4. \(18\alpha^{3}\beta^{2}\gamma\), \(12\alpha^{4}\beta\gamma^{2}\), \(6\alpha^{5}\beta^{2}\)

  5. \(15\alpha^{3}\beta^{2}x\psi\), \(-12\alpha^{2}\beta^{3}x^{2}\omega\), \(36\alpha\beta x\omega^{3}\), \(-5\alpha^{2}\beta x^{3}\omega^{2}\psi^{2}\)

  6. \(6\alpha\beta\), \(-15\alpha^{4}\beta^{2}\gamma\), \(45\alpha\beta^{3}\gamma x\), \(-30\alpha^{2}\beta\gamma^{3}\omega\)

  7. \(10x^{2}y^{2}\), \(20x^{3}y\), \(30xy^{3}\), \(40x^{4}y^{4}\)

  8. \(4a^{3}b^{2}\), \(8a^{2}b^{3}\), \(12ab^{4}\), \(16a^{4}b\)

Περίπτωση 2: Μονώνυμα και Πολυώνυμα

Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των παρακάτων παραστάσεων.

  1. \(2x(x+1)\), \(x^{2}(x+1)(x-1)\), \(4x(x+1)^{2}\)

  2. \(3\alpha^{2}(\alpha-\beta)^{2}\), \(6\alpha^{2}\beta(\alpha-\beta)^{2}(\alpha+\beta)\), \(9\alpha(\alpha-\beta)^{3}\)

  3. \(x\), \(x+1\), \(x^{2}+x\)

  4. \(35x^{4}(x^{3}-\psi^{3})\), \(-42x\psi^{3}(x-\psi)^{2}(x^{2}+\psi^{2})\), \(7x^{2}\psi(x^{2}-\psi^{2})(x+\psi)^{2}\)

  5. \(2a\), \(4(a+b)\), \(6a(a+b)\), \(8a^{2}(a+b)^{2}\)

  6. \(x\), \(x+1\), \(x^{2}+x\), \(x^{2}-1\)

  7. \(5y\), \(10(y-2)\), \(15y(y-2)\), \(20y^{2}(y-2)^{2}\)

  8. \(2z^{2}\), \(4z(z+3)\), \(6(z+3)^{2}\), \(8z^{2}(z+3)^{2}\)

Περίπτωση 3: Πολυώνυμα

Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των παρακάτων παραστάσεων.

  1. \(4(x^{2}-y^{2})\), \(6(x+y)^{2}\), \(3(x-y)^{2}\),

  2. \(\alpha^{2}-\beta^{2}\), \((\alpha-\beta)^{2}\), \(\alpha^{3}-\beta^{3}\)

  3. \(\alpha^{3}-6\alpha^{2}+12\alpha-8\), \(\alpha^{2}-4\), \(\alpha^{2}-2\alpha\)

  4. \((x^{2}-1)^{2}(x+3)\), \((x^{2}+3x)(x+1)^{2}\), \((x^{2}+6x+9)(x-1)^{2}\)

  5. \(\alpha^{2}-3\alpha+2\), \(\alpha^{2}+3\alpha-4\), \(\alpha^{3}-\alpha\), \(\alpha^{2}-2\alpha+1\)

  6. \(x^{2}-1\), \(x^{2}+1\), \(x^{4}-1\), \(x^{8}-1\)

  7. \(x^{2}-4x+4\), \(x^{2}+x-6\), \(x^{2}-4\), \((x^{2}+6x+9)(x-2)^{2}\)

  8. \(a^{2}-b^{2}\), \((a+b)^{2}\), \(a^{2}+2ab+b^{2}\), \(a+b\)

Συμβουλή
Σημείωση

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!