13. Εμβαδόν κυκλικού τομέα

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

29 Απρίλιος 2026

Τροποποιημένο

12 Μάιος 2026

1 Εμβαδόν κυκλικού τομέα

Κυκλικός τομέας (τομέας κύκλου) είναι το τμήμα του κύκλου που περικλείεται μεταξύ δύο ακτίνων και του αντίστοιχου τόξου τους.

  • Κεντρική γωνία (θ): η γωνία μεταξύ των δύο ακτίνων.
  • Ακτίνα (ρ) : η απόσταση από το κέντρο στον κύκλο.
  • Τόξο : το τμήμα της περιφέρειας που αντιστοιχεί στη γωνία θ.

Τύποι για το εμβαδόν κυκλικού τομέα

  • Όταν η γωνία \(\hatθ\) ή το αντίστοιχο τόξο δίνεται σε μοίρες \(μ^ο\)

\(E = \dfrac{μ^ο}{360^\circ} \cdot \pi ρ^2\) .

  • Όταν η γωνία δίνεται σε ακτίνια ( α rad)

\(E = \dfrac{1}{2} ρ^2 \cdot α\) .

Προέλευση του τύπου:

Τόξο Εμβαδόν
\(360^ο\) \(πρ^2\)
\(μ^ο\) Ε
α ακτίνια Ε

Ολόκληρος κύκλος έχει εμβαδόν \(Ε=\pi ρ^2\) το οποίο αντιστοιχεί σε γωνία \(360^\circ\) ή \(2\pi\) rad. Μια γωνία \(μ^o\) ή α ακτινίων θα είναι το κλάσμα \(\dfrac{μ^o}{360^ο}\) του εμβαδού Ε ή \(\dfrac{α}{2\pi}\) του εμβαδού Ε αντίστοιχα. Άρα και το εμβαδόν αναλογικά θα είναι \(E = \dfrac{μ^ο}{360^\circ} \cdot \pi ρ^2\) όταν η γωνία είναι σε μοίρες και \(E = \dfrac{1}{2} ρ^2 \cdot α\) όταν η γωνία είναι σε ακτίνια.

  • Συναρτήσει του μήκους l του τόξου

Γνωρίζουμε ότι το μήκος του τόξου είναι \(l = ρα\) (α σε rad), τότε:

\(E = \dfrac{1}{2} ρ \cdot l\)

1.1 Εφαρμογές

Ο κυκλικός τομέας εμφανίζεται σε:

  • Γεωμετρία – υπολογισμοί επιφανειών σε κύκλους.
  • Φυσική – ροπή αδράνειας, κίνηση σε τροχιά.
  • Μηχανική – γρανάζια, τομές σωλήνων.
  • Στατιστική – κυκλικά διαγράμματα (pie charts).
  • Αρχιτεκτονική – καμάρες, θόλοι, τομές σε σχέδια.

1.2 Ασκήσεις κατανόησης

  1. Να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού τομέα κύκλου ακτίνας ( ρ = 6 ) cm και κεντρικής γωνίας \(120^\circ\).

Λύση
\(E = \dfrac{120^o}{360^o} \cdot \pi \cdot 6^2 = \dfrac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi \text{ cm}^2 ≈ 37,70 \text{ cm}^2\).

  1. Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα είναι \(8\pi \text{ m}^2\) και η ακτίνα \(ρ = 4\) m.
    Να βρεθεί η κεντρική γωνία σε rad.

Λύση
\(8\pi = \dfrac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \theta \Rightarrow 8\pi = 8\theta \Rightarrow \theta = \pi \text{ rad} (180^\circ)\)

  1. Κυκλικός τομέας έχει μήκος τόξου \(l = 5\) cm και ακτίνα \(ρ = 2\) cm.
    Βρείτε το εμβαδόν.

Λύση
\(E = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5\text{ cm}^2\)

  1. (κατανόησης – σωστό/λάθος)
  • Αν διπλασιαστεί η γωνία ενός τομέα, το εμβαδόν διπλασιάζεται. → Σωστό (για σταθερή ακτίνα).
  • Για μια γωνία 1 rad, το εμβαδόν είναι \(ρ^2 / 2\). → Σωστό.
  • Για γωνία 90°, το εμβαδόν είναι το 1/3 του κύκλου. → Λάθος (είναι 1/4).
  1. (σύνθετη)

Ενας κυκλικός τομέας έχει γωνία 2 rad και εμβαδόν \(16\text{ cm}^2\).
Να βρεθούν: (α) η ακτίνα, (β) το μήκος τόξου.

Λύση
(α) \(16 = \dfrac{1}{2} ρ^2 \cdot 2 \Rightarrow 16 = ρ^2 \Rightarrow ρ = 4\) cm.
(β) \(l = ρα = 4 \cdot 2 = 8\) cm.

1.3 Ασκήσεις

  1. Δίνεται ένα τετράγωνο ABΓΔ με πλευρά 8 cm. Να βρείτε το εμβαδόν της μεικτόγραμμης περιοχής που βρίσκεται έξω από το τετράγωνο αλλά μέσα στον γραμμασκιασμένο τομέα.


  2. Να βρείτε το εμβαδόν της κοινής τομής των τριών τομέων (καμπυλόγραμμο μπλέ τρίγωνο Reuleaux) στο παρακάτω σχήμα.

  1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κόκκινου μεικτόγρσμμου σχήματος.

  1. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι ακτίνων \(ρ_1 = 5\) cm και \(ρ_2 = 3\) cm. Ένας κυκλικός τομέας του μεγάλου κύκλου με γωνία \(120^\circ\) επικαλύπτει έναν αντίστοιχο τομέα του μικρού κύκλου. Να βρείτε το εμβαδόν του δακτυλιοειδούς τομέα καφέ χρώμα (τμήμα του μεγάλου τομέα που βρίσκεται έξω από τον μικρό κύκλο).

  1. Σε κύκλο ακτίνας ρ = 10 cm, παίρνουμε χορδή μήκους \(10\sqrt{2}\) cm.

  • Τι τρίγωνο είναι το \(\overset\triangle{ΑΟΒ}\);

  • Να βρείτε το εμβαδόν του μικρότερου κυκλικού τμήματος (το τμήμα μεταξύ χορδής και τόξου, γραμμοσκιασμένο).


Τι είναι μηνίσκος Μηνίσκος είναι η τομή δύο κύκλων, παράδειγμα

παράδειγμα υπολογισμού εμβαδού για καθένα από τα τρία βασικά είδη μηνίσκων.

Κυρτός μηνίσκος (lune) – Μηνίσκος Ιπποκράτη

Δίνονται: Ορθογώνιο τρίγωνο ( ABΓ ) με ( A = 90^), ( AB = 3 ), ( AΓ = 4 ), άρα ( BΓ = 5 ) (τρίγωνο 3-4-5).

Ζητείται: Εμβαδόν των δύο μηνίσκων με τις τελείες ισούτε με το εμβαδόν του τριγώνου.

Λύση:

  • Εμβαδόν τριγώνου: Για το τρίγωνο με κάθετες πλευρές \(ΑΒ=3\) και \(ΑΓ=4\), το εμβαδόν είναι:

\[E_{\text{τριγώνου}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\]

Επαλήθευση (μαθηματικά):

  • Ημικύκλιο με διάμετρο \(ΑΒ=3\): \(E_{ΑΒ} = \dfrac{1}{2} \pi (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9\pi}{8}\)

  • Ημικύκλιο με διάμετρο \(ΑΓ=4\): \(E_{ΑΓ} = \dfrac{1}{2} \pi (\dfrac{4}{2})^2 = 2\pi\)

  • Ημικύκλιο με διάμετρο \(ΒΓ=5\): \(E_{ΒΓ} = \dfrac{1}{2} \pi (\dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{25\pi}{8}\)

  • Το εμβαδόν των μηνίσκων προκύπτει από: \((E_{ΑΒ} + E_{ΑΓ}) - (E_{ΒΓ} - E_{\text{τριγώνου}})\).

  • \((\dfrac{9\pi}{8} + \dfrac{16\pi}{8}) - \dfrac{25\pi}{8} + 6 = \dfrac{25\pi}{8} - \dfrac{25\pi}{8} + 6 = 6\).

Κοίλος μηνίσκος (meniscus)

Σχήμα: Δύο ομόκεντροι κύκλοι ακτίνων ( R = 5 ) (εξωτερικός) και ( r = 3 ) (εσωτερικός). Παίρνουμε το τμήμα του δακτυλίου που αντιστοιχεί σε κεντρική γωνία \(120^\circ\).

Ζητείται: Εμβαδόν του κοίλου μηνίσκου (δακτυλιοειδούς τομέα).

Λύση:

  • Εμβαδόν μεγάλου τομέα:
    \(E_R = \dfrac{120}{360} \cdot \pi \cdot 5^2 = \dfrac{1}{3} \cdot 25\pi = \dfrac{25\pi}{3}\)

  • Εμβαδόν μικρού τομέα:
    \(E_r = \dfrac{120}{360} \cdot \pi \cdot 3^2 = \dfrac{1}{3} \cdot 9\pi = 3\pi\)

  • Εμβαδόν κοίλου μηνίσκου:
    \(E = E_R - E_r = \dfrac{25\pi}{3} - 3\pi = \dfrac{25\pi}{3} - \dfrac{9\pi}{3} = \dfrac{16\pi}{3}\)

Αριθμητικά: \(\approx 16,76\) τ.μ.

Αμφίκυρτος μηνίσκος (lens / φακός) – τομή δύο ίσων κύκλων (μπορεί να έχουμε και διαφορετικούς κύκλους)

Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι με:

  • ακτίνα ( ρ = 5 )
  • απόσταση κέντρων ( α = 6 )

Ζητείται το εμβαδόν της κοινής περιοχής τους (κυκλικός φακός).

Ενώνουμε τα κέντρα των κύκλων (\(K_1, K_2\)) και ένα σημείο τομής (A).

Τότε:

  • (\(K_1A = 5\))
  • (\(K_2A = 5\))
  • (\(K_1K_2 = 6\))

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Η κάθετη από το μέσο της βάσης χωρίζει τη βάση σε: \(\dfrac{6}{2}=3\)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο: \(συν\theta=\dfrac{3}{5}\)

Άρα: Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι \(θ\approx 53{,}13^\circ\)

Η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι: \(2\theta \approx 106{,}26^\circ\)

Το εμβαδόν ενός τομέα είναι: \(E_{\text{τομέα}}=\dfrac{106{,}26^\circ}{360^\circ}\cdot \pi \cdot 5^2\) \(E_{\text{τομέα}}\approx 23{,}18\)

Κάθε μισό του φακού είναι: τομέας − τρίγωνο.

Εμβαδόν τριγώνου

Ημιδιάμετρος βάσης: 3

Ύψος: \(υ=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\)

Άρα: \(E_{\triangle}=\frac12\cdot 6\cdot 4=12\)

Εμβαδόν φακού \(E=2(23{,}18-12)\)

\(E\approx 22{,}36\)

Τελικό αποτέλεσμα

Το εμβαδόν της τομής των δύο κύκλων είναι περίπου:

\(\boxed{22{,}36 \text{ τετρ. μονάδες}}\)

  1. Σε ημικύκλιο διαμέτρου ( AB = 12 ) cm, κατασκευάζουμε δύο μικρότερα ημικύκλια διαμέτρων ( AΓ ) και ( ΓB ), όπου ( Γ ) είναι μέσο της ( AB ). Η περιοχή μεταξύ του μεγάλου ημικυκλίου και των δύο μικρών ημικυκλίων ονομάζεται μηνίσκος του Ιπποκράτη (πάνω από την ( AB )). Να βρείτε το εμβαδόν του μηνίσκου.

  2. Σε κύκλο ακτίνας ( ρ ), εγγράφουμε κανονικό εξάγωνο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν καθενός από τα έξι κυκλικά τμήματα που βρίσκονται μεταξύ των πλευρών του εξαγώνου και του κύκλου (εξωτερικά του εξαγώνου).

  3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής (καρδιά) στο παρακάτω σχήμα που περικλείεται από την μπλε γραμμή . Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο με πλευρά 6 cm

  4. Να υπολογίσετε τον μηνίσκο που δημιουργείται στο παρακάτω σχήμα

  5. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την πράσινη γραμμή. Η πλευρά του τετραγώνου είναι 8 cm.

  1. Έχουμε δυο ίσους κύκλους ακτίνας ( ρ=5 ) των οποίων τα κέντρα απέχουν ( ρ ). Να βρείτε το εμβαδόν της κοινής τομής (αμφίκυρτου φακού) που σχηματίζεται.
    Υπόδειξη: Η τομή αποτελείται από δύο κυκλικά τμήματα.

  2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμασκιασμένου χωρίου στα παρακάτω σχήματα

  3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της πράσινης μεικτόγραμμης περιοχής στα παρακάτω σχήματα.

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή