1 Διανύσματα
1.1 βαθμωτά ή μονόμετρα μεγέθη
Βαθμωτά ή μονόμετρα μεγέθη είναι τα μεγέθη εκείνα που προσδιορίζονται πλήρως αν δώσουμε μόνο το μέτρο τους (δηλαδή έναν αριθμό και μια μονάδα μέτρησης).
Μερικά βασικά παραδείγματα από την καθημερινή ζωή και τη φυσική περιλαμβάνουν:
* Τον χρόνο: π.χ. 10 sec(δευτερόλεπτα), 8 min(λεπτά), 5 h(ώρες).
* Τη θερμοκρασία: π.χ.24 \(C^o\) (βαθμοί Κελσίου) ή 40 \(F^o\)(Φαρενάιτ).
* Τη μάζα: π.χ. 230 gr(γραμμάρια), 8,6 Kgr(χιλιόγραμμα).
* Την απόσταση: 5 m, που αποτελεί αριθμητικό μέγεθος και διαφέρει από τη μετατόπιση.
Σε αντίθεση με αυτά, υπάρχουν τα διανυσματικά μεγέθη (όπως η ταχύτητα και η δύναμη), τα οποία εκτός από μέτρο χρειάζονται και κατεύθυνση για να οριστούν.
1.2 διανυσματικά μεγέθη
Τα διανυσματικά μεγέθη είναι εκείνα για τα οποία, εκτός από το μέτρο τους, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και την κατεύθυνσή τους.
Ένα διανυσματικό μέγεθος παριστάνεται με ένα βέλος, που ονομάζεται διάνυσμα, και ορίζεται από τρία βασικά στοιχεία:
Μέτρο: Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (ένας αριθμός μαζί με τη μονάδα μέτρησης).
Στο παρακάτω σχήμα ποιά διανύσματα έχουν ίδιο μέτρο;Διεύθυνση: Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα.
Στο παρακάτω σχήμα ποιά διανύσματα έχουν ίδια διεύθυνση;Φορά: Ο προσανατολισμός του πάνω στην ευθεία (προς τα πού δείχνει το βέλος).
Στο παρακάτω σχήμα ποιά διανύσματα έχουν ίδια φορά και ποιά αντίθετη;
Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση του μεγέθους.
Κλασικά παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών είναι η ταχύτητα, η δύναμη, η μετατόπιση και η επιτάχυνση.
Συμβολισμός
Τα διανύσματα συμβολίζονται με ένα βέλος από πάνω τους. π.χ. \(\vec{AB}\) \(\quad\) η \(\quad\) \(\vecα\).
Θέλοντας να δηλώσουμε και το μέτρο τους \(\vec{|AB|}\) \(\quad\) ή \(\quad\) \(\vec{|α|}\) και
την φορά τους \(\vec{(AB)}\), \(\quad\) \(\vec{(BA)}\) \(\quad\) η \(\quad\) \(\vec{(α)}\)
1.3 Ίσα Διανύσματα:
Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο.
Παράδειγμα: Αν το \(\vec{a}\) έχει μέτρο 5 cm και φορά προς τα δεξιά, κάθε διάνυσμα με μέτρο 5 cm και φορά προς τα δεξιά είναι ίσο με το \(\vec{a}\).
- Στο παραπάνω σχήμα βρείτε ίσα διανύσματα
1.4 Αντίθετα Διανύσματα:
Δύο διανύσματα είναι αντίθετα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετη φορά.
Παράδειγμα: Αν \(\vec{a}\) δείχνει “Βόρεια” με μέτρο 3, το αντίθετό του \(-\vec{a}\) δείχνει “Νότια” με το ίδιο μέτρο 3.
- Στο παραπάνω σχήμα βρείτε αντίθετα διανύσματα
1.5 Ασκήσεις
Αναγνώριση Μεγεθών: Ποια από τα παρακάτω μεγέθη χρειάζονται διάνυσμα για να παρασταθούν πλήρως και γιατί: α) βάρος, β) ύψος, γ) μάζα, δ) ταχύτητα;
Χαρακτηριστικά Στοιχεία: Ένα διάνυσμα συμβολίζεται ως \(\vec{AB}\). Ποιο σημείο ονομάζεται αρχή, ποιο πέρας και ποια είναι τα τρία βασικά στοιχεία που το προσδιορίζουν;
Ίσα και Αντίθετα σε Τετράγωνο: Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Εξετάστε ποια από τα διανύσματα \(\vec{AB}, \vec{BΓ}, \vec{ΓΔ}, \vec{ΔΓ}, \vec{ΔΑ}, \vec{ΑΔ}\) έχουν ίσα μέτρα, ποια είναι ίσα και ποια είναι αντίθετα.
Ιδιότητες στο Εξάγωνο: Σε ένα κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ με κέντρο Ο, προσδιορίστε τρία διανύσματα που είναι ίσα με το \(\vec{AB}\) και τρία διανύσματα που είναι αντίθετα με το \(\vec{AZ}\).
Ορισμός μεγεθών Ποιο από τα παρακάτω μεγέθη είναι διανυσματικό;
α) Η μάζα ενός σώματος. β) Ο χρόνος μιας διαδρομής. γ) Η μετατόπιση ενός αντικειμένου. δ) Η θερμοκρασία ενός δωματίου.
- Στοιχεία διανύσματος Ένα διάνυσμα καθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε:
α) Μόνο το μέτρο του. β) Μόνο την κατεύθυνσή του. γ) Το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά του.
Ίσα διανύσματα (Σωστό ή Λάθος) Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια διεύθυνση, ανεξάρτητα από τη φορά τους. (Σ/Λ)
Αντίθετα διανύσματα Δύο διανύσματα ονομάζονται αντίθετα όταν:
α) Έχουν την ίδια διεύθυνση και το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετη φορά. β) Έχουν διαφορετική διεύθυνση και το ίδιο μέτρο. γ) Έχουν την ίδια διεύθυνση αλλά διαφορετικό μέτρο.
Μέτρο διανύσματος Το μέτρο ενός διανύσματος μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός; Εξηγήστε σύντομα γιατί.
Σχεδιασμός σε πλέγμα
Σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί, σχεδιάστε ένα οριζόντιο διάνυσμα \(\vec{a}\) με μήκος 4 τετραγωνάκια και φορά προς τα δεξιά. Στη συνέχεια, σχεδιάστε το αντίθετό του διάνυσμα \(-\vec{a}\).
- Αναγνώριση Διεύθυνσης και Φοράς Ένα αυτοκίνητο κινείται στην Εθνική Οδό Αθηνών-Λαμίας με κατεύθυνση προς Λαμία.
α) Ποια είναι η διεύθυνση της κίνησης; β) Ποια είναι η φορά της κίνησης;
Σχέση Διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα \(\vec{u}\) και \(\vec{v}\) που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια αιχμή βέλους. Πώς ονομάζονται αυτά τα διανύσματα και τι ισχύει για τα μέτρα τους;
Μέτρο και Κλίμακα Αν σχεδιάσουμε ένα διάνυσμα δύναμης \(\vec{F}\) με μήκος 5 cm και η κλίμακα είναι 1 cm = 10 Νιούτον (N), ποιο είναι το μέτρο της δύναμης;
Παράλληλα διανύσματα Σχεδιάστε δύο διανύσματα \(\vec{x}\) και \(\vec{y}\) που να είναι ομόρροπα (ίδια κατεύθυνση) αλλά να έχουν διαφορετικά μέτρα (\(|\vec{x}| \neq |\vec{y}|\)).
Σε αυτά τα προβλήματα, δοκιμάστε πρώτα να κάνετε ένα πρόχειρο σχήμα (τα διανύσματα) και ακολουθήστε τους κανόνες.
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !