08. Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση y = αx – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Η συνάρτηση της μορφής $y = \alpha x$ εκφράζει τη σχέση μεταξύ δύο ανάλογων ποσών.

1.1 Θεωρία

Ορισμός: Δύο ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα όταν ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερός: $\frac{y}{x} = \alpha$. Ο αριθμός $\alpha$ ονομάζεται συντελεστής αναλογίας ή κλίση της ευθείας.
Γραφική Παράσταση: Είναι πάντοτε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων $O(0,0)$.

Συμβουλή

Μετακινήστε (κλικ και σύρτε) τον δρομέα α για να αλλάξετε την τιμή του α.

Τι παρατηρείτε;

Όταν το α είναι θετικό
Όταν το α είναι αρνητικό

Η σημασία του $\alpha$:
- Αν $\alpha > 0$, η ευθεία βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
- Αν $\alpha < 0$, η ευθεία βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.
- Η κλίση υπολογίζεται από το λόγο της κατακόρυφης μεταβολής προς την οριζόντια μεταβολή: $\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}=εφ \hat{θ}$.
Ειδικές Περιπτώσεις: Η ευθεία $y = x$ είναι η διχοτόμος των γωνιών του 1ου και 3ου τεταρτημορίου, ενώ η $y = -x$ του 2ου και 4ου.

1.2 ασκήσεις και προβλήματα για τη συνάρτηση $y = \alpha x$ και τα ανάλογα ποσά:

Συμπλήρωση Πίνακα: Αν τα ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα με συντελεστή $\alpha=3$ ($y=3x$), συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα και στη συνέχεια κάνε την γραφική παράσταση.

block-beta
  
  block:group
  columns 8
    a["x"] b["-3"] c["-2"] d["-1"] e["0"] f["1"] g["2"] h["3"]
    k["y"] l["   "] m["  "] n["  "] p["  "] s["  "] t["  "] q["  "]
  end

Εύρεση Εξίσωσης: Βρες την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων $O(0,0)$ και από το σημείο $A(2, 6)$.
Πρόβλημα Ταχύτητας: Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα $70$ χλμ/ώρα. Εκφράστε την απόσταση $S$ ως συνάρτηση του χρόνου $t$. Κάντε την γραφική παράσταση της $S$ συναρτήσει του χρόνου $t$
Αύξηση Τιμών: Οι τιμές των προϊόντων αυξήθηκαν κατά $20\%$. Βρες τη σχέση που εκφράζει τη νέα τιμή $y$ ως συνάρτηση της παλιάς τιμής $x$ και αφού συμπληρώσετε τον πίνακα, να κάνετε την γραφική παράστασταση.

block-beta
  
  block:group
  columns 8
    a["x €"] b["20 €"] c["60 €"] d["100"] e["110"] f["140"] g["200"] h["300"]
    k["y €"] l["   "] m["  "] n["  "] p["  "] s["  "] t["  "] q["  "]
  end

Γραφική Παράσταση: Σχεδίασε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων την ευθεία $y = -0,82x$, βρίσκοντας ένα επιπλέον σημείο εκτός από την αρχή των αξόνων.
Παραγωγή Προϊόντος: Μια εταιρεία παράγει $0,4$ λίτρα χυμό από κάθε κιλό πορτοκάλια.

Εκφράστε την ποσότητα χυμού $y$ ως συνάρτηση των κιλών πορτοκαλιών $x$.
Κάντε ένα πίνακα τιμών με 4 διαφορετικές τιμές του $x$.
Κάντε την γραφική παράσταση.

Γεωμετρία: Εκφράστε την περίμετρο $Π$ ενός τετραγώνου ως συνάρτηση της πλευράς του $x$ και εξήγησε γιατί τα ποσά αυτά είναι ανάλογα.
Ισοτιμία Νομισμάτων: Αν η ισοτιμία είναι $100$ € προς $108$ $, βρες τη συνάρτηση $y = \alpha x$ που μετατρέπει τα ευρώ ($x$) σε δολάρια ($y$).

Πόσα € είναι τα 238 $.
Πόσα $ είναι τα 340 €.

Υπολογισμός Κλίσης: Βρες την κλίση $\alpha$ μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο $A(-1, 3)$.
Θεωρία Τεταρτημορίων: Εξήγησε σε ποια τεταρτημόρια βρίσκεται η ευθεία $y = \alpha x$ όταν ο συντελεστής $\alpha$ είναι θετικός και σε ποια όταν είναι αρνητικός.
Αν τα ποσά κ και λ είναι ανάλογα , να συμπληρώσετε τον πίνακα.

block-beta
  
  block:group
  columns 8
    a["κ"] b["5 "] c["12"] d[" "] e["16"] f[" "] g["28"] h[" "]
    k["λ"] l[" 4"] m["  "] n[" 12 "] p["  "] s["16"] t["  "] q["18"]
  end

Ποιά από τα παρακάτω γραφήματα είναι γραφήματα ανάλογων ποσών

Γράφημα 1	Γράφημα 2	Γράφημα 3	Γράφημα 4

Να σχεδιάσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων μια ευθεία η οποία να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και να έχει κλίση $a=1,2$
Ποιά ευθεία από τις πατακάτω έχει κλίση α=0,8

Ευθεία 1	Ευθεία 2	Ευθεία 3	Ευθεία 4
$y=\frac{4}{5}x$	$y=-0,8x$	$y=\frac{8}{5}x$	$y=-\frac{8}{10}x$

Σημαντικό

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !

08. Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση y = αx

1 Η συνάρτηση της μορφής \(y = \alpha x\) εκφράζει τη σχέση μεταξύ δύο ανάλογων ποσών.

1.1 Θεωρία

1.2 ασκήσεις και προβλήματα για τη συνάρτηση \(y = \alpha x\) και τα ανάλογα ποσά: