01. Η έννοια της μεταβλητής - Aλγεβρικές παραστάσεις

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

6 Απρίλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Η έννοια της μεταβλητής - Aλγεβρικές παραστάσεις

1.1 Η έννοια της μεταβλητής

Θεωρία και Ορισμοί

  • Μεταβλητή ονομάζεται ένα γράμμα (π.χ. \(x, y, \omega\)), το οποίο χρησιμοποιείται για να παριστάνει ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός μη κενού συνόλου \(A\).

  • Το σύνολο \(A\) ονομάζεται πεδίο ορισμού ή πεδίο μεταβολής της μεταβλητής,.

  • Σε αντίθεση με τη μεταβλητή, κάθε συγκεκριμένο στοιχείο του συνόλου \(A\) ονομάζεται σταθερά ή τιμή της μεταβλητής.

Ιδιότητες

  • Μια μεταβλητή μπορεί να παίρνει διάφορες τιμές μέσα στο πεδίο ορισμού της, ενώ μια σταθερά διατηρεί πάντα την ίδια τιμή,.
  • Στην Άλγεβρα, οι μεταβλητές μάς επιτρέπουν να διατυπώνουμε γενικούς κανόνες και ιδιότητες που ισχύουν για όλους τους αριθμούς ενός συνόλου.

Παραδείγματα

  1. Η ακτίνα ενός κύκλου (\(r\)) είναι μεταβλητή, καθώς μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή,.
  2. Το ύψος ενός τριγώνου είναι μεταβλητό μέγεθος.
  3. Στην έκφραση \(f(x) = 3x - 4\), το \(x\) είναι η μεταβλητή.
  4. Ο χρόνος περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι σταθερός, αλλά η απόσταση της Γης από τον Ήλιο μεταβάλλεται.
  5. Στον τύπο του εμβαδού τετραγώνου \(E = \alpha^2\), η πλευρά \(\alpha\) είναι η μεταβλητή.

Ασκήσεις

  1. Προσδιορίστε τις μεταβλητές στον τύπο του εμβαδού τραπεζίου \(E = \dfrac{(\alpha+\beta)h}{2}\).
  2. Εάν το ημερομίσθιο ενός εργάτη είναι 120 €, ποια θα είναι η αμοιβή του σε σχέση με τις ημέρες εργασίας \(x\).
  3. Ποιες είναι οι μεταβλητές στη σχέση \(3xy^2 - 2xy + 5x - 3 = 0\);.
  4. Τι τιμές μπορεί να πάρει η μεταβλητή \(x\) στην έκφραση \(\dfrac{1}{x}\).
  5. Αναφέρετε τρία παραδείγματα σταθερών ποσών από την καθημερινή ζωή.
  6. Αναφέρετε τρία παραδείγματα μεταβλητών ποσών από τη Φυσική.
  7. Αν \(x\) είναι η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου, γράψτε την περίμετρο \(y\).
  8. Στην κίνηση ενός αυτοκινήτου με σταθερή ταχύτητα, ποια μεγέθη είναι μεταβλητά;.
  9. Προσδιορίστε τη μεταβλητή στη σχέση \(x + 10 = 7\) και βρείτε τη σταθερή τιμή που την επαληθεύει.

1.2 Αλγεβρικές παραστάσεις

Θεωρία και Ορισμοί

  • Αλγεβρική παράσταση ονομάζεται κάθε έκφραση που αποτελείται από μεταβλητές και σταθερές, οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των αλγεβρικών πράξεων,.

  • Αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης είναι ο πραγματικός αριθμός που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς και εκτελέσουμε τις πράξεις,.

  • Μια αλγεβρική παράσταση μπορεί να είναι μονώνυμο (γινόμενο αριθμού επί δυνάμεις μεταβλητών) ή πολυώνυμο (άθροισμα μονωνύμων),.

Ιδιότητες

  • Μια αλγεβρική παράσταση δεν έχει αριθμητική τιμή αν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι μηδέν ή αν το υπόρριζο τετραγωνικής ρίζας είναι αρνητικός αριθμός,.

  • Οι αλγεβρικές παραστάσεις υπακούουν στις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική).

1.3 Αριθμητική παράσταση VS Αλγεβρική παράσταση

1.3.1 Διαφορές

Η κύρια διαφορά μεταξύ μιας αριθμητικής και μιας αλγεβρικής παράστασης έγκειται στην παρουσία ή την απουσία μεταβλητών. Πιο συγκεκριμένα:

  • Αριθμητική παράσταση: Είναι μια παράσταση που περιέχει μόνο αριθμούς και πράξεις μεταξύ αυτών. Για παράδειγμα, οι παραστάσεις \(3 + 2\) ή \(2 \cdot 3 - 4(-3) + 5\) είναι αριθμητικές. Το αποτέλεσμα που προκύπτει αν εκτελέσουμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ονομάζεται τιμή της παράστασης.
  • Αλγεβρική παράσταση: Είναι μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές. Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (όπως \(x, y, \omega, t\)) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου αριθμών. Για παράδειγμα, η παράσταση \(2x - 4x + 5\) είναι αλγεβρική. Οι προσθετέοι μιας αλγεβρικής παράστασης ονομάζονται όροι.

1.3.2 Για παράδειγμα,

στην αλγεβρική παράσταση \(2x - 5x + 5\), οι όροι είναι το \(2x\), το \(-5x\) και το \(5\). Κάθε όρος (που στην απλούστερη μορφή του είναι ένα μονώνυμο) αποτελείται από δύο διακριτά μέρη:

  • Τον συντελεστή, ο οποίος είναι ο αριθμητικός παράγοντας που προηγείται των μεταβλητών και περιλαμβάνει το πρόσημό του.

  • Το κύριο μέρος, το οποίο περιλαμβάνει όλες τις μεταβλητές του όρου μαζί με τους εκθέτες τους.

Ειδικότερα, ένας όρος που αποτελείται μόνο από έναν αριθμό και δεν περιέχει μεταβλητές ονομάζεται σταθερός όρος.

Επιπλέον, οι όροι μιας παράστασης διακρίνονται σε όμοιους, όταν έχουν το ίδιο κύριο μέρος (δηλαδή τις ίδιες μεταβλητές υψωμένες στους ίδιους ακριβώς εκθέτες).

Παραδείγματα

  1. \(2x - y\).
  2. \(\dfrac{1}{3}x^2y\).
  3. \(5x - y\sqrt{x^2+y}\).
  4. \(x^2 - 5x + 6\).
  5. \(\dfrac{3x}{x-2}\).
  6. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση: \(Α = 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8\). Ζητείται να υπολογιστεί η τιμή της όταν \(x = –0,45\).
  • Βήμα 1 (Απλοποίηση): Πριν την αντικατάσταση, είναι συχνά ευκολότερο να απλοποιήσουμε την παράσταση χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα: \(Α = 2x + 6 – 4x + 4 – 8\) \(Α = –2x + 2\).
  • Βήμα 2 (Αντικατάσταση): Θέτουμε όπου \(x\) τον αριθμό \(-0,45\): \(Α = –2 \cdot (–0,45) + 2\) \(Α = 0,9 + 2\)
  • Τελικό Αποτέλεσμα: Η αριθμητική τιμή είναι \(2,9\).
  1. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση: \(Α = 3(x + 2y) – 2(2x + y)\). Ζητείται να υπολογιστεί η τιμή της όταν \(x = 1\) και \(y = –2\).
  • Βήμα 1 (Απλοποίηση): Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων: \(Α = 3x + 6y – 4x – 2y\) \(Α = –x + 4y\).
  • Βήμα 2 (Αντικατάσταση): Αντικαθιστούμε τις μεταβλητές \(x\) και \(y\) με τις τιμές \(1\) και \(-2\) αντίστοιχα: \(Α = –(1) + 4 \cdot (–2)\) \(Α = –1 – 8\)
  • Τελικό Αποτέλεσμα: Η αριθμητική τιμή είναι \(–9\).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε την αριθμητική τιμή της \(x^3 - (\sqrt{3}+1)x^2 + (\sqrt{3}-1)x + 1\) για \(x=1\).
  2. Βρείτε την τιμή της παράστασης \(\dfrac{x-y}{1+xy}\) για \(x=2+\sqrt{3}\) και \(y=4-\sqrt{3}\).
  3. Γράψτε μια αλγεβρική παράσταση που να παριστάνει το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών.
  4. Ελέγξτε αν η παράσταση \(\dfrac{x^2-y}{x+y}\) έχει τιμή για \(x=-3\) και \(y=3\).
  5. Βρείτε την τιμή της \(3x+4\) αν \(x=-2\).
  6. Απλοποιήστε την παράσταση \(2(2xa-3) - 27\alpha x\).
  7. Βρείτε την τιμή της \(x^2-x+1\) για \(x=-1\).
  8. Υπολογίστε την \(f(x,y) = 3x^2-5y^2+xy-4\) για \(x=1, y=2\).
  9. Γράψτε ως αλγεβρική παράσταση το γινόμενο ενός αριθμού επί το άθροισμα άλλων δύο.
  10. Υπολογίστε την τιμή της \(2x^2-3x-5\) για \(x=3\).
  11. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης \(Α = 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8\), όταν \(x = –0,82\).
  12. Απλοποιήστε την παράσταση \(Α = 3(x + 2y) – 2(2x + y)\) και βρείτε την τιμή της για \(x = -1\) και \(y = 3\).
  13. Βρείτε την τιμή της παράστασης \(Β = 5(2\alpha – 3\beta) + 3(4\beta – \alpha)\), αν γνωρίζετε ότι \(\alpha = –3\) και \(\beta = 5\).
  14. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης \(Α = 2(\alpha – 3\beta) + 3(\alpha + 2\beta)\), για \(\alpha = 0,02\) και \(\beta = 2005\).
  15. Δίνεται η παράσταση \(Α = \alpha^2 + \beta^2 – \alpha + \beta + 1\). Ποια είναι η τιμή της όταν \(\alpha = 2\) και \(\beta = –3\);.
  16. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση \(y = 2x + 3\), βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x = –2\) και για \(x = 2\).
  17. Αν \(y = 3x – 2\), υπολογίστε την αριθμητική τιμή του \(y\) όταν το \(x\) είναι ίσο με \(-3\).
  18. Βρείτε την τιμή της παράστασης \(y = x^2 + 3x – 2\), αντικαθιστώντας το \(x\) με την τιμή \(-2\).
  19. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης \(y = \dfrac{1}{2}x^2\), όταν \(x = –4\).
  20. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου δίνεται από την απλοποιημένη παράσταση \(P = 6x + 4\). Ποια είναι η αριθμητική τιμή της περιμέτρου αν \(x = 5\);.

1.4 Αναγωγή ομοίων όρων

Θεωρία και Ορισμοί

  • Όμοια μονώνυμα ονομάζονται εκείνα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος (ίδιες μεταβλητές με τους ίδιους εκθέτες).

  • Αναγωγή ομοίων όρων είναι η διαδικασία κατά την οποία αντικαθιστούμε το άθροισμα δύο ή περισσότερων ομοίων μονωνύμων με ένα μόνο μονώνυμο.

  • Το αποτέλεσμα της αναγωγής είναι ένα μονώνυμο όμοιο με τα αρχικά, με συντελεστή το αλγεβρικό άθροισμα των συντελεστών τους,.

Ιδιότητες

  • Η αναγωγή στηρίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: \(\alpha\mu + \beta\mu = (\alpha+\beta)\mu\),.

  • Αν δύο όμοια μονώνυμα έχουν αντίθετους συντελεστές, το άθροισμά τους είναι μηδέν (μηδενικό μονώνυμο).

1.4.1 Για να γίνει σωστά η αναγωγή, ακολουθούνται τα εξής βήματα:

  1. Απαλοιφή παρενθέσεων: Αν η παράσταση περιέχει παρενθέσεις, τις αφαιρούμε εκτελώντας τις απαραίτητες πράξεις, συνήθως με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας.

  2. Αναγνώριση ομοίων όρων: Εντοπίζουμε τους όρους που είναι όμοιοι, δηλαδή εκείνους που έχουν το ίδιο κύριο μέρος (τις ίδιες μεταβλητές υψωμένες στους ίδιους εκθέτες). Σημειώνεται ότι και οι σταθεροί αριθμοί μεταξύ τους θεωρούνται όμοιοι όροι.

  3. Ομαδοποίηση: Τοποθετούμε τους όμοιους όρους σε γειτονικές θέσεις για να διευκολυνθούν οι πράξεις, χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα.

  4. Υπολογισμός: Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους συντελεστές των ομοίων όρων (αλγεβρικό άθροισμα) και διατηρούμε το ίδιο κύριο μέρος.

1.4.1.1 Δύο παραδείγματα αναγωγής ομοίων όρων.
  • Παράδειγμα 1 Θεωρούμε την αλγεβρική παράσταση: \(3(x + 2y) - 2(2x + y)\).

  1. Απαλοιφή παρενθέσεων: Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό έξω από κάθε παρένθεση με τους όρους στο εσωτερικό της, οπότε η παράσταση γίνεται: \(3x + 6y - 4x - 2y\).

  2. Ομαδοποίηση ομοίων όρων: Τοποθετούμε μαζί τους όρους που έχουν την ίδια μεταβλητή, δηλαδή τα \(x\) με τα \(x\) και τα \(y\) με τα \(y\). Αυτοί είναι το \(\color{red}{3x}\) με το \(\color{red}{-4x}\) και το \(\color{green}{6y}\) με το \(\color{green}{-2y}\).

  3. Υπολογισμός (Αναγωγή): Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους συντελεστές των ομοίων όρων: \(\color{red}{(3 - 4)}x + \color{green}{(6 - 2)}y\).

  4. Τελικό Αποτέλεσμα: Η απλούστερη μορφή της παράστασης είναι \(-x + 4y\).

  • Παράδειγμα 2 Θεωρούμε την αλγεβρική παράσταση: \(3(x - 2y) - 4(2x - 5y)\).

  1. Απαλοιφή παρενθέσεων: Χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα, προσέχοντας το πρόσημο έξω από τη δεύτερη παρένθεση, με αποτέλεσμα η παράσταση να πάρει τη μορφή: \(3x - 6y - 8x + 20y\).

  2. Αναγνώριση ομοίων όρων: Εντοπίζουμε ότι όμοιοι όροι είναι τα \(\color{red}{3x, -8x}\) και τα \(\color{green}{-6y, 20y}\).

  3. Ομαδοποίηση: Συγκεντρώνουμε τους όρους ανά μεταβλητή: \((3 - 8)x + (-6 + 20)y\).

  4. Τελικό Αποτέλεσμα: Μετά τις πράξεις, η παράσταση γράφεται ως \(-5x + 14y\).

ΣημείωσηΣημαντικές παρατηρήσεις

  • Συντελεστές 1 και -1: Αν ένας όρος δεν έχει αναγεγραμμένο αριθμό, ο συντελεστής του είναι το 1 (π.χ. \(x = 1x\)), ενώ αν υπάρχει μόνο το μείον, ο συντελεστής είναι το -1 (π.χ. \(-x = -1x\)).

  • Θεωρητική βάση: Η αναγωγή ομοίων όρων βασίζεται στην αντίστροφη επιμεριστική ιδιότητα, δηλαδή στη διαδικασία εξαγωγής κοινού παράγοντα. Για παράδειγμα: \(7\alpha + 8\alpha = (7 + 8)\alpha = 15\alpha\).

  • Περιορισμοί: Μόνο οι όμοιοι όροι μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν μεταξύ τους. Όροι που δεν είναι όμοιοι, όπως το \(3x\) και το \(2y\), δεν αναγόνται περαιτέρω και παραμένουν ως έχουν στην τελική παράσταση.

  • Μηδενισμός: Αν το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν, τότε ο όρος αυτός απαλείφεται από την παράσταση.

Παραδείγματα

  1. \(3x^2y\omega - \dfrac{1}{2}x^2y\omega + x^2y\omega = \dfrac{7}{2}x^2y\omega\).
  2. \(-5xy - 2xy = -7xy\).
  3. \(2x^2 + 3x^2 = 5x^2\).
  4. \(10x^3y - 17x^3y = -7x^3y\).
  5. \(8x - 12x = -4x\).

Ασκήσεις

  1. Απλοποιήστε την παράσταση: \(3(x-y) + 2(x-y) - (2x+3y)\).
  2. Απλοποιήστε: \(-8y + 7xy - 2x + 8xy - 13xy + 3y + 8x - 15xy\).
  3. Κάνετε αναγωγή ομοίων όρων στην παράσταση: \(x^2 + 2x - 4x^2 + 5x\).
  4. Απλοποιήστε το άθροισμα των μονωνύμων: \(xy\omega, \dfrac{1}{2}xyω, -\dfrac{2}{3}xy\omega\).
  5. Στην παράσταση \(P = -3xy + y - 2xy + xy - 2y + 3xy - 5x + 7 + x + 5x + 1\), κάνετε τις απαραίτητες αναγωγές.
  6. Απλοποιήστε την παράσταση: \(4x - 3xy + 6y - 4x + 4.5xy - 6y\).
  7. Κάνετε αναγωγή ομοίων όρων: \(5\alpha\beta - 3\alpha\beta + 2\alpha\beta - \alpha\beta\).
  8. Απλοποιήστε το πολυώνυμο: \(3 - 2x + 7y - x^2y - \frac{1}{2}xy^2\).
  9. \(20x - 4x + x\)
  10. \(-7\alpha - 8\alpha - \alpha\)
  11. \(14y + 12y + y\)
  12. \(14\omega - 12\omega - \omega + 3\omega\)
  13. \(-6x + 3 + 4x - 2\)
  14. \(2x - 4y + 3x + 3y\)
  15. \(6\omega - 2\omega + 4\alpha + 3\omega + \alpha\)
  16. \(x + 2y - 3x - 4y\)
  17. \(-8x + \omega + 3\omega + 2x - x\)
  18. \(3(x + 2y) - 2(2x + y)\)

1.5 μετατροπή μιας γλωσσικής έκφρασης σε μαθηματική

ΣημαντικόΑυτά θα διδαχθούν και στις εξισώσεις

αποτελεί μια από τις υψηλότερες γνωστικές λειτουργίες στην Άλγεβρα, καθώς απαιτεί τη μετάφραση από την πολυσημία της φυσικής γλώσσας στη μονοσημία και την ακρίβεια των μαθηματικών συμβόλων. Η διαδικασία αυτή βασίζεται στη χρήση μεταβλητών, δηλαδή γραμμάτων (όπως \(x, y, \omega\)) που χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου αριθμών.

Για την επιτυχή “μετάφραση” από τον λόγο στο σύμβολο, είναι απαραίτητη η αναγνώριση συγκεκριμένων λέξεων-κλειδιών που αντιστοιχούν στις μαθηματικές πράξεις:

  • Πρόσθεση (+): Χρησιμοποιούνται φράσεις όπως «αυξημένο κατά», «άθροισμα», «περισσότερα από», «συνολικά». Για παράδειγμα, «η ηλικία του Γιώργου σε 5 χρόνια, αν σήμερα είναι \(x\)» γράφεται ως \(x + 5\).
  • Αφαίρεση (-): Χρησιμοποιούνται φράσεις όπως «ελαττωμένο κατά», «διαφορά», «λιγότερα από», «υπολείπεται». Για παράδειγμα, «ένας αριθμός ελαττωμένος κατά 8» γράφεται \(x - 8\).
  • Πολλαπλασιασμός (\(\cdot\)): Χρησιμοποιούνται φράσεις όπως «γινόμενο», «πολλαπλάσιο», «φορές», «το τριπλάσιο/διπλάσιο». Για παράδειγμα, «το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 12» αποδίδεται ως \(3x + 12\).
  • Διαίρεση (:): Χρησιμοποιούνται φράσεις όπως «πηλίκο», «λόγος», «μερισμός», «το μισό», «το ένα τρίτο». Για παράδειγμα, «το πενταπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά το μισό του» μεταφράζεται ως \(5x - \dfrac{x}{2}\).

1.5.1 Σημαντικές Παρατηρήσεις στη Μετατροπή

  1. Χρήση Παρενθέσεων: Η χρήση παρενθέσεων είναι συχνά απαραίτητη για τη σωστή ομαδοποίηση των πράξεων. Για παράδειγμα, η φράση «το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9» απαιτεί τη μορφή \(9(x + y)\), ώστε ο πολλαπλασιασμός να αφορά ολόκληρο το άθροισμα και όχι μόνο τον έναν αριθμό.
  2. Γενίκευση Προβλημάτων: Η χρήση μεταβλητών επιτρέπει τη δημιουργία μαθηματικών μοντέλων που περιγράφουν το γενικό πρόβλημα και όχι μόνο ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγμα, αν η ομιλία κοστίζει 0,005 € το δευτερόλεπτο, το κόστος για \(x\) δευτερόλεπτα εκφράζεται γενικά ως \(x \cdot 0,005\).
  3. Γεωμετρικές Εφαρμογές: Η γλωσσική περιγραφή γεωμετρικών σχημάτων μετατρέπεται επίσης σε αλγεβρικές παραστάσεις. Η φράση «η περίμετρος ενός ορθογωνίου με μήκος 2 m μεγαλύτερο από το πλάτος του» μπορεί να εκφραστεί ως \(2x + 2(x + 2)\), όπου \(x\) είναι το πλάτος.
  4. Από την Παράσταση στην Εξίσωση: Όταν η γλωσσική έκφραση περιλαμβάνει τη λέξη «είναι ίσο», τότε η αλγεβρική παράσταση μετατρέπεται σε εξίσωση. Για παράδειγμα, «το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 4 είναι ίσο με 32» μεταφράζεται στην εξίσωση \(2x + 4 = 32\).
Σημαντικό

Η ικανότητα αυτή επιτρέπει στα Μαθηματικά να λειτουργούν ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων της καθημερινότητας και των φυσικών επιστημών, μετατρέποντας μια περιγραφική πρόταση σε μια μορφή συμβατή με τη μαθηματική γλώσσα.

1.5.2 Δύο χαρακτηριστικά παραδείγματα μετατροπής γλωσσικών εκφράσεων σε μαθηματικές αλγεβρικές παραστάσεις:

  1. Το πενταπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 18:
    • Γλωσσική έκφραση: «Το πενταπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 18».
    • Μαθηματική μορφή: \(5x + 18\).
    • Ανάλυση: Η λέξη «πενταπλάσιο» υποδηλώνει τον πολλαπλασιασμό του αριθμού (που συμβολίζουμε με τη μεταβλητή \(x\)) επί 5, ενώ η φράση «αυξημένο κατά» αντιστοιχεί στην πράξη της πρόσθεσης.
  2. Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 8:
    • Γλωσσική έκφραση: «Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 8».
    • Μαθηματική μορφή: \(8(x + y)\).
    • Ανάλυση: Χρησιμοποιούμε δύο διαφορετικές μεταβλητές, \(x\) και \(y\), για να παραστήσουμε τους δύο αριθμούς. Η λέξη «άθροισμα» υποδηλώνει πρόσθεση, ενώ η χρήση παρενθέσεων είναι απαραίτητη για να δείξουμε ότι ο αριθμός 9 πολλαπλασιάζει το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και όχι μόνο τον έναν από τους δύο αριθμούς.

1.5.3 Ασκήσεις για τη μετατροπή γλωσσικών εκφράσεων σε μαθηματικές (αλγεβρικές παραστάσεις ή εξισώσεις):

  1. Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 12.
  2. Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9.
  3. Την περίμετρο ενός ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι 2 m μεγαλύτερο από το πλάτος του.
  4. Το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε για να αγοράσουμε 5 κιλά πατάτες, αν γνωρίζουμε την τιμή \(x\) του ενός κιλού.
  5. Την τελική τιμή ενός προϊόντος, αν γνωρίζουμε ότι αυτή είναι η αναγραφόμενη τιμή \(x\) συν 24% ΦΠΑ.
  6. Το διπλάσιο ενός αριθμού, αν το ελαττώσουμε κατά 8.
  7. Το πενταπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά το μισό του.
  8. Η ηλικία του Γιώργου σε 5 χρόνια, αν σήμερα η ηλικία του είναι \(x\).
  9. Το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών.
  10. Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 4 είναι ίσο με το 32. (Εδώ ζητείται η διατύπωση εξίσωσης).
ΣυμβουλήΣημαντική παρατήρηση:

Κατά την αντικατάσταση, αν μια μεταβλητή παίρνει αρνητική τιμή, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούμε παρενθέσεις (ειδικά σε δυνάμεις) για να αποφύγουμε λάθη στα πρόσημα.

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !